清华附中高中数学精练 集合、函数、三角与向量答案

预备知识...........................................................................................................................................................................................1

第一章集合.................................................................................................................................................................................3

第二章函数................................................................................................................................................................................16

第三章基本初等函数(I).....................................................................................................................................................30

第四章基本初等函数(Ⅱ).....................................................................................................................................................38

第五章平面向量.....................................................................................................................................................................54

第六章三角恒等变换............................................................................................................................................................64

第七章解三角形....................................................................................................................................................................75

预备知识3.(1)2—√3;(2)—√2.

0.1因式分解基础4.(1)x-1+2-x=1;(2)2x-1-x+2=x+1.

因式分解：5.(1)2√5;(2)√10;(3)4√10.

1.(x-2)(x—4)

6.√5.

2.(x-6)(x+1)

7.证明：因为a>b>0,所以√a—√b>0,√a-b>0.欲证

3.(x-2)(x-3)

√a—√b<√a-b,只要证(√a-√b)²<(√a-b)²,即

4.(x-1)(x-5)

该不等式

5.(x—5y)(x+y)a+b-2√ab<a—b,b<√ab,b²<ab,b<a,

6.(x-a-1)(x-a+1)显然成立，故当a>b>0时，有√a—√b<√a-b.

7.(3x-4y)(x-2y)8.(1)3;(2)3;(3)4.

8.(2x-3)(2x+1)

9.,故

9.(3x-4)(4x—3)

10.(3x+2)(2x-5)10.3组.提示：(32,32,33),(32,33,32),(33,32,32).

11.(x-a)(x+2)0.4韦达定理

12.(x+a-5)(x+2—a)

13.(a—b)(x+2)2.7;1.

14.(a+b)(a—b+3)3.(1)3;(2)-1;(3)11;(4)-3.

15.(a+b+c)(a-b-c)4.(1)-2;(2)2√3;(3)52.

16.(x+y+1)(x+y-1)5.-1.

17.(5a+b)(a—5b)

6.—2.

18.(a—b—c)(a—b+c)7.(1)4;(2)—10.

19.(x-y)(2x+2y+3)

8.

20.(x-2-y)(x-2+y)

21.(2a+1+3b)(2a+1-4b)

9.

22.(c+d)(c-d)(a+b)(a—b)

23.(x+y)(xy-1)10.(1)6;(2)0.

24.(a+b+2)²11.[3,+∞].

0.2因式分解进阶0.5直线与抛物线的位置关系基础

1.(1)(x+y+2)(x-2y+3);(2)(x²+x+2)(x²—x+2);1.D.提示：因为ab>0,所以a>0,b>0或a<0,b<0.当

(3)(x-1)²(x+2);(4)(x-1)²(x²+2x+3)a>0,b>0时，函数y=ax²的图像开口向上，顶点在原

2.2.提示：因为(x+y)(x-y)=2²×5×101,x+y>r-点；函数y=ax+b的图像经过第一、三、四象限，故选项

y,且x+y与x-y同为奇数或同为偶数，所以A,B错误，不符合题意；

当a<0,b<0时，函数y=ax²的图像开口向下，顶点在

或,故有2组正整

原点，函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限，故选

数解.项C错误，不符合题意，故D正确.

3.x=0,y=3;x=3,y=0;x=1,y=1;x=—3,y=-3;2.C.提示：把A(-3,0)代人y=ax²+x-6得，0=9a-

x=-5,y=-2;x=-2,y=-5.提示：原式可化为3-6,解得a=1,所以y=x²+x—6,对称轴直线为

(x+1)(y+1)=4.

,故A错误；

4.x=3,y=21;x=7,y=7;x=35,y=5.提示：原式化简

可得3xy-14x-7y=0,因式分解得(3x-7)(3y—14)=令y=0,x²+x-6=0,解得x₁=-3,x₂=2,所以AB=

2—(一3)=5,所以A,B两点之间的距离为5,故C正确；

98,即或或

当时,故B错误；

5.4.提示：两式相加得(x+2y-4)(x+2y+3)=0.当x+

2y-4=0时，有解；当x+2y+3=0时，无解.故x+由图像可知当时，y的值随x值的增大而增大，

2y=4.

故D错误.

0.3立方公式与根式

3.D.提示：因为抛物线y=ax²—a(a≠O)与直线y=kz交

1.(1)x³-2x²+5x;(2)x³+2x²+20x+4.

于A(z₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，所以kx=az²-a,ax²-

2.(1)(x—3y)(x²+3xy+9y²);(a+b)(a²—ab+b²+1).

答案详解

解得a=-2,b=-4,此时点D的坐标为(-2,-4).

kx-a=0,所以

③若以BC为对角线，设BC的中点为F,则点F的坐标

当a>0,k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限，

当a<0,k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限，

为,设点D的坐标为(a,b),则有

综上，直线y=ax+k一定经过第一、四象限.故选D.

4.C.提示：平移后得到的二次函数的解析式为y=—(x—

解得a=4,b=4,此时点D的坐标为(4,4),综上所述，点

2)²+2,则消去y得到一(x-2)²+

D的坐标为(-4,4)或(-2,-4)或(4,4).

2=-3整理得所以△

x-b,x²-7x+2—b=0;=7.提示：(1)由题意得，抛物线的表达式为y=a(x+1)

(一7)²—4×1×(2—b)≥0,所以(x-3)=a(x²—2x-3),则-3a=3,解得a=-1,故抛

物线的表达式为y=-x²+2x+3.

5.B.提示：对于①,因为直线y₁=mx+n与抛物线y₂=

(2)由点和点的坐标得，

ax²+bx-3相交于点A,B,所以由图像可知：当-2<BC

直线的表达式为y=

x<3时，直线y₁=mx+n在抛物线y₂=ax²+bx-3的BC

上方，所以y₁>y₂,所以①正确.一x+3,如图所示，过点P作

y轴的平行线交CB于点H,

对于②,由图像可知：抛物线y₂=ax²+bx-3有两个交

设点P(x,-x²+2x+3),则

点，所以方程ax²+bx-3=0有两个不相等的实数根.所

点H(x,一x+3),则△PBC

以x=3是方程ax²+bx-3=0的一个解，所以②正确.

对于③,将点(-2,5)和点(3,0)代入y=ax²+bx-3得

解得所以抛物线解析式为y=

,即△PBC的

x²-2x-3.

面积的最大值为,此时点

当x=-1时，t₁=0;

当x=4时，t₂=5.所以t₁<t₂,所以③正确.

0.6直线与抛物线的位置关系进阶

对于④,由③可知(-2,5)与点(4,5)关于对称轴x对称，

1.B.提示：一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象

所以对称轴将x=1代入抛物线解析式得

限，所以a<0,b>0,所,二次函数y=ax²+bx

y=-4,所以当-2<x<1时，-4<y<5;当-2<x<3

的图像开口方向向下，对称轴在y轴右侧，交坐标轴于

时，一4≤y<5.所以④错误.

(0,0)点.

6.分析：第(2)问要分三种情况，先确定四边形的对角线，找

到对角线的中点.2.C.提示：从图像可以看出，两个交点坐标分别为(-2,0),

(1,3),所以当y₂>y₁时，有-2<x<1.

提示：(1)把点A的坐标代入解析式得,所以抛

3.C.提示：如图所示，直线y=m与x轴重合或位于顶点A

的下方时，直线与新图像有2个交点，

物线的解析式为所以点C的坐标

当y=m与x轴重合时，m=0;

为(0,4),点B的坐标为(1,0).

当直线y=m不与x轴重合时，由y=-x²+x+6=

(2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，分三种

情况：

得到顶点,此时m<

①若AC为对角线，设AC的中点为F,则根据中点坐标

公式可得F的坐标为,设点D的坐标为(a,b),

综上所述，m的取值范围是：或m=0.

则有

4.B.提示：因为经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的

为自变量)与轴有

解得a=—4,b=4,此时点D的坐标为(-4,4).x

②若以AB为对角线，设AB的中点为F,则F的坐标为交点，所以

(-1,0),设点D的坐标为(a,b),则有

,所以b=c+1,b²≤4c,所以

第一章集合

(c+1)²≤4c,所以(c—1)²≤0,所以c-1=0,解得c=1,

(p,0),因为

所以b=c+1=2,所以AB=|(4b+c-1)一(2—3b)|

=|4b+c-1-2+3b|点C,B分别平移至点P,D,

=|7b+c-3I所以点B,点C向下平移的距

=|7×2+1-3

离相同，所以

=12.

5.C.提示：一次函数Y₃过点A(一1,—2),B(2,1),则解析,解得m=-4.

式为Y₃=x—1.

由(2)知,所以,所以抛物线N的解析式

对于①,当x<-1时，Y₁,Y₂,Y₃中最小的函数值为Y₁,

所以M=Y₁,故①正确；

为：,将B(0,6)代人可得：p=±4√2,所

对于②,当-1<x<0时，Y₂<Y₃<Y₁,故②正确；

对于③,当0<时，无最小值和最大值，故③错误；

x<2M以抛物线N的解析式为：

对于④,当x≥2时，Y₁,Y₂,Y₃中最小的函数值为Y₁,则

(x+4√2)².

M最大值是1,无最小值，故④正确.

第一章集

6.提示：(1)因为抛物线与x轴交于A(1,0)和B(一5,0)两

1.1集合与集合的表示方法

在y=

点，所以抛物线对称轴为直线1.1.1集合的概念

—3x+3中，令x=-2得y=9,所以抛物线顶点为1.D.提示：集合的元素具有“确定性”“互异性”“无序性”,选

(一2,9).设抛物线函数解析式为y=a(z+2)²+9,将项A,B,C均不满足“确定性”,故选D.

提示：对于①,集合中的最小数为所以①错误；

A(1,0)代入得0=9a.+9,解得a=-1,所以抛物线解析2.A.N0,

②∈则-0∈所以②错误；

式为y=—(x+2)²+9=—x²—4x+5;ON,N,

③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2,因为当a=b=0

(2)在，令得所以C(0,

y=-x²-4x+5中x=0y=5,时，a+b=0,所以③错误；

5).由B(-5,0),C(0,5)得直线BC解析式为y=x+5,

④所有小的正数组成一个集合错误，违背集合中元素的确

所以E(m,-m²—4m+5),F(m,m+5),所以EF=定性，所以④错误.

3.C.提示：解得a≠±2且a≠1.

.当时，EF取最大值,所以m的值为一

4.D.提示：因为3-1=2>√3,所以3∈A.又-3-1=

,的最大值为

EF-4<√3,所以—3∈A.

5.D.提示：由集合中元素的互异性，可知a,b,c互不相等，

7.提示：(1)因为直线6与x轴交于点A,y轴交

故选D.

于点B,6.D.提示：对于①,x,y,z全部为负数时，则xyz也为负

当x=0时，代人得：y=6,故B(0,6),

数，则·

当y=0时，代入得：x=—8,故A(一8,0).

对于②,x,y,z中有一个为负数时，则xyz为负数，则

(2)设

则可设抛物线的解析式为,因为

对于③,x,y,z中有两个为负数时，则xyz为正数，则

抛物线M经过点B,将B(0,6)代入得：

对于④,全部为正数时，则也正数，则

6,因为m≠0,所以,即,所以将x,y,zxyz

,整理得y=

则M={4,0,-4},故选D.

,故

7.①④⑤.提示：①不超过2π的正整数的全体是确定的，能

构成集合，所以选项①正确；

(3)如图所示，因为CD//x轴，点·P在x轴上，所以设P

②高一数学课本中的所有难题是不确定的，所以构不成

答案详解

集合，选项②不正确；2.A.提示：在A中，{x|x是不大于9的非负奇数},表示的

③中国的大城市是不确定的，所以选项③不正确；是集合{1,3,5,7,9},故A正确；

④平方后等于自身的实数是0和1,所以选项④正确；在B中，{x|1≤x≤9},表示的集合是1≤x≤9的实数集，

⑤高一(2)班中考500分以上的学生的全体是确定的，能故B错误；

构成集合，所以选项⑤正确.在C中，{x|x≤9,x∈N},表示的集合是{0,1,2,3,4,5,

8.(1)丈；(2)∈;(3)丈；(4)∈;(5)∈;(6)∈.6,7,8,9},故C错误；

在中，{∈表示的集合是{0,1,2,3,4,5,

9.2个.提示：,所以当x=0时，这DxZ|o≤x≤9},

几个实数均为0;6,7,8,9},故D错误.

提示：在轴上的点(必有在轴上的点

当x>0时，它们分别是x,一x,x,一x;3.C.xx,y),y=0;y

(x,y),必有x=0.所以xy=0.

当x<0时，它们分别是x,一x,一x,一x,故元素最多有

2个.所以直角坐标系中，x轴上的点的集合{(x,y)ly=0},y

轴上的点的集合{(所以坐标轴上的点的集

10.(3,+∞).提示：关于x的不等式x-a≥0的解集为A,x,y)|x=0},

则A={x|x≥a},因为3∉A,所以a>3.合可表示为{(x,y)|y=0}U{(x,y)|x=0}={(x,y)|

xy=0}.

11.分析：由已知2是集合M的元素，分类讨论列出方程，求

出x的值，将x的值代入集合，检验集合的元素需满足互4.D.提示：根据集合的定义和表示方法分别进行判断.

提示：设则集合中的元

异性.提示：当3x²+3x-4=2时，3x²+3x—6=0,x²十5.D.A={1,2},B={0,2},A*B

素可能为：0,2,0,4,又由集合元素的互异性，可知

x—2=0,x=-2或x=1.经检验，x=-2,x=1均不合A*

题意.B={0,2,4},故所有元素之和为6.

6.B.提示：A两个集合的元素不相同，点的坐标不同，C中

当x²+x-4=2时，x²+x-6=0,x=-3或2.经检验，

M的元素为点，N的元素为数，D中M的元素为点，N的

x=-3或x=2均合题意.

元素为数，两个集合的元素相同.

所以x=-3或x=2.B

12.8.提示：当a=0时，由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;7.③⑤⑥.提示：由题意可知方程组的解为

当a=2时，由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;

x=1,y=2,故

当a=5时，由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.

8.0,1,2.提示：因为且(2,1)∈A,

由集合元素的互异性可知，P+Q中的元素为1,2,3,4,6,A={(x,y)lax-y≤3}

7,8,11,共8个.(1,-4)A,即解得-1<a≤2

13.提示：①若a∈A,则：

又因为a∈Z,所以a=0,或a=1,或a=2.

9.9.提示：因为集合M={x∈N|8-x∈N},所以x≥0且

又因为2∈A,所以：

8-x≥0,且x为整数，所以0≤x≤8,且x为整数，所以

因为-1∈A,所以M中元素是0,1,2,3,4,5,6,7,8,共9个.

因为,所以10.1.提示：由集合相等的概念得解得a=1,

经检验成立.

所以A中另外两个元素为-1,11.(答案不唯一)提示：(1){能被3整除，且小于10的正

数}={3,6,9}.

且∈

②若A为单元素集，则,即a²-a+1=0,方程(2){x|x=lxl,x<5,xZ}={0,1,2,3,4}.

(3){(x,y)|x+y=6,x∈N",y∈N*}={(1,5),(2,4),

无实数解.

(3,3),(4,2),(5,1)}.

所以,所以A不可能为单元素集.(4){-3,-1,1,3,5}={x|x=2k—1,-1≤k≤3,k∈Z}.

1.1.2集合的表示方法12.提示：1,且xy≥0}.

1.提示：因为{∈所以正确；

A.x|x²=1,xR}={-1,1},A13.提示：(1)因为a∈A,b∈B;

集合{0}中有一个元素0,所以B不正确；

所以分别存在n₁,n₂∈z使得：a=3n₁+1,b=3n₂+2;

√13>2√3,所以C不正确；所以a+b=3(n₁+n₂)+3;

{1,2}与{2,1}是相等的两个集合，所以D不正确.而集合C中的条件是x=6n+3=3·2n+3,

第一章集合

所以n₁+n₂=2n,存在a∈A,b∈B,使c=a+b成立；若1=ab且b=a²,则a=b=1不满足条件，综上所述：

(2)要使a+b∈C,则n₁+n₂=2n,这显然不一定；a=-1,b=0.

所以不一定有a+b=c且c∈C.12.0或1或—1.提示：若集合A有且仅有两个子集，则方程

1.2集合之间的关系与运算ax²+2x+a=0只有一个解，a=0时，x=0,A={0},

1.2.1集合之间的关系A的子集是A和空集，a≠0时，方程ax²+2x+a=0是

1.B.提示：在①中，空集的子集是空集，故①错误；一元二次方程，△=4-4a²=0,解得：a=±1,所以A=

在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；{1},或A={-1},A的子集是A和空集.

在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；13.(0,3).

在④中，若A,则A≠,故④正确.1.2.2集合的运算(一)

2.B.提示：由N={x|x²+x=0},得N={-1,0}.

因为M={-1,0,1},所以NM.1.A.提示：

3.A.提示：因为集合A={xlx≥0},且BSA,所以集合B

是集合A的子集，当集合B={1,2}时，满足题意，当集合2.C.提示：若a∈(AUB),则a不一定属于A,故①不

B={x|x≤1}时，-1∉A,不满足题意，当集合B={-1,正确；

0,1}时，-1∈A,不满足题意，当集合B=R时，一1A,若a∈(A∩B),则a是A和B的公共元素，则a∈AUB,

不满足题意.故②正确；

若ASB,则AUB=B正确；

4.A.提示：对于集合

若AUB=A,则BSA,A∩B=B,故④正确；

当n=2k(k∈Z)时3.A.提示：因为A={x|1≤x≤3},B={x|x<0,或x≥

2},所以AUB={x|x<0,或x≥1}.

5.B.提示：因为集合A={xla-1≤x≤a+2},B={x|3<

4.A.提示：因为全集U=R,A={x∈N|1≤x≤10}={1,2,

x<5},又A≥B,所以解得3≤a≤4.3,4,5,6,7,8,9,10},B={x|x²+x-6=0}={2,-3},

所以A∩B={2}.

6.B.提示：依次对六个关系式判断，注意集合符号的应用.

5.C.提示：因为集合A={x|x≤-1或x≥3},B={xla<

7.B三A.提示：A={(x,y)|y=x},由于x∈R,可知A的

x<4},且AUB=R,所以a∈(-∞,-1).

点(x,y)为直线y=x上的所有点.

6.B.提示：满足条件MU{1}={1,2,3}的集合M,M必须

,可知x≠0,因此B中的点(x,y)为包含元素2,3,所以不同的M集合，其中的区别就是是否

包含元素1.

直线y=x上去掉(0,0)后剩下的所有点.

那么可能的集合有{2,3}和{1,2,3}.

8.{-1,0,1}.提示：M={x|x²-1=0}={-1,1},因为M

所以当时，当时，

NSM,N=øa=0,N≠xa≠0,N=7.A∩B={(2,1)}.提示：由题意得解得

,所以1,解得a=±1.

8.[-1,+∞].提示：由交集的运算可得答案.

9.-4.提示：所以a=1,b=6,所以2a-b=2-6=-4.

9.{0,2,4}.提示：

10.x=—√2或x=√2.提示：由AUB=A,所以BSA.

所以a=2k,k∈Z;又A={0,1,2,x},B={1,x²},所以x²=0,或x²=2,或

又{∈

x|2x-a=0,xZ}{xl-1<x<3};x²=x.

所以x²=0时，集合A违背元素的互异性，所以x²≠0.

x²=2时，x=—√2或x=√2.符合题意.

所以—2<a<6,又a=2k,k∈

时，得或集合均违背元素互异性，

所以a=0,2,4;x²=xx=0x=1,A

所以

所以a的所有取值组成的集合为{0,2,4}.x²≠x.

11.提示：x²-1=3,故x=±2,A∩B={1,3}.x²-1=5,故

10.6.提示：因为集合A{0,1,2},且集合A中至少含有一

x=±√6,A∩B={1,5}.

个偶数，所以满足条件的集合A可以为{0},{2},{0,1},

{1,2},{0,2},{0,1,2},共6个.12.由A={x|x²—3x+2=0}={1,2},因为AUB=A,所以

11.a=-1,b=0.提示：因为集合A={1,a,b},B={a,a²,BSA,集合B有两种情况，B=,B≠Ø.

ab},且A=B,所以a≠1(1)B=×时，方程x²-4x+a=0无实数根，所以△=

16-4a<0,所以a>4.

则1=a²且b=ab,或1=ab且b=a²,若1=a²且b=ab;

则a=-1,b=0,此时A=B={-1,0,1}满足条件；(2)B≠时，当△=0时，a=4,B={2}SA满足条件；

答案详解

当△>0时，若1,2是方程x²-4x+a=0的根，由根与系(20-x)=42,得x=14.

数的关系知矛盾，无解，所以a=4.集合复习课

综上所述，a的取值范围是[4,+∞].1.D.提示：因为全集I={1,2,3,4,5,6,7,8},集合M={3,

13.a=-2,b=0.4,5},集合N={1,3,6},所以MUN={1,2,3,6,7,8},

1.2.3集合的运算(二)M∩N={3};C₁MUCN={1,2,4,5,6,7,8};C₁M∩

1.C.提示：集合的交集运算.C₁N={2,7,8}.

2.D.提示：用集合的交集运算可求得结果.