北京市昌平区高考数学二模试卷(文科)

高考数学二模试卷（文科）

题号―-二三总分

得分

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合U={.rWZ|/<9},集合A={-2,2},则CM=（）

A.{-1,0,1}B.{-1,1}C.[-1,1]D.（-1,I）

2.已知复数z=l+〃（1+i）（i为虚数单位，〃为实数）在复平面内对应的点位于第二

象限，则复数z的虚部可以是（）

A.一》B.3C.一：D.

3.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的。的值是（）

A.-1B.\C.1D.2

4.已知实数x£R,则“4V0”是“In（x+1）V0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

5.在平行四边形ABCD中，ABWCD,=（>-2）,：=（2，1）,则[〉（)

A.-3B.2C.3D.4

,x+y-3<0,

6.若X,F满足“一，；产°，且2x+y的最小值为1，则实数小的值为（）

A.-5B.-1C.1

7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的

长度为（）

A.衽

B.2也

C.24

D.3

8.一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得I分，答错倒扣

1分.一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得

分情况为

（）

A.当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数

B.当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数

C.小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关

D.小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9.已知基函数.f（x）=A-（a是实数）的图象经过点（2,也），则八4）的值为.

1（）.为了落实“回天计划”，政府准备在呵I龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园.针

对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进

行了调查.已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700

人，51岁至65岁的居民有560人.若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人,

则这次抽样调查抽取的总人数是.

11.能说明"设"，〃为实数，若^+房加，则直线ar+〃y-l=0弓圆相切”为假

命题的一组〃，〃的值依次为.

12.等差数列｛4“｝满足。2+。5+。9=俏+8，则05=；若由=16,则”时，｛诙｝

的前〃项和取得最大值.

13.已知双曲线J：/卫=>若抛物线0:f=2py（p>0）的焦点到双曲线Q的渐近

线的距离为1,则抛物线。2的方程为.

14.已知函数/（X）=COS（3.r+（p）（co>0,（p<0）的最小正周期为兀，且/'⑶2/。对

任意的实数力都成立，则8的值为；①的最大值为.

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

15.在等差数列｛%｝中，%=8,且与+。5=4。2.

（I）求等差数列｛4｝的通项公式；

（口）设各项均为正数的等比数列也｝满足n=%，坛=。4,求数列出小%｝的前〃

项和S”.

16.在A/WC中，AC=4,8。=娟，乙BAC=；.

（I）求44BC的大小;

（口）若。为8c边上一点，AD=j,求。。的长度.

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17.某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测

试.现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如

图：

《国家学生体质健康标准》的等级标准如表.规定：测试数据次0,体质健康为合

格.

等级良好及格不及格

测试数据[90,100][80,89][60,79][0,59]

(I)从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的

概率；

(n)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的

测试数据平均数大于95的概率；

(HI)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为X1，高二学生测试数据

的平均数和方差分别为X2,S：，试估计X1与X2、与£的大小.(只需写出结论)

5

73

67

06

0

18.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A8C。为矩形，平面PCZ1L平面48CQ,AB=2,

BC=1,PC=PD=aE为PB中点.

(I)求证：平面ACE：

(n)求证：PDL平面P8C；

(HI)求三棱锥E-A8C的体积.

19.已知椭圆G：(+3=l(a〉b〉O)的离心率为经过点8(0,1).设椭圆G的

右顶点为A,过原点。的直线/与椭圆G交于P,Q两点(点。在第一象限)，且

与线段48交于点

(I)求椭圆G的标准方程；

(D)是否存在宜线/,使得ASO尸的面积是△3MQ的面积的3倍？若存在，求直

线/的方程；若不存在，请说明理由.

20.已知函数/(x)=[A2+(fl+1)x+l]er.

(I)若曲线)可Cx)在点(0,/(0))处的切线与x轴平行，求。的值；

(D)若/(x)在户-1处取得极大值，求〃的取值范围；

(HI)当。=2时，若函数g(x)=〃如(幻-1有3个零点，求m的取值范围.(只

需写出结论)

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•.•集合户{XWZ]/V9}={XWZ1-3VIV3}={2・1,0,1,2},

集合A={-2,2},

•••CM={-1，0,1).

故选:A.

求出集合U,集合A,补集定义能求出Cu4.

本题考杳补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

化Z为4+万(m的形式，由实部小于。且虚部大于0求得〃的范围，则答案可求.

【解答】

解：•复数z=-l+a(1+i)=-1+〃+川在复平面内对应的点位于第二象限，

1+QV0

•••[a>0，即OVgL

故选D

3.【答案】D

【解析】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：

是否继续循环4/

循环前21

第一圈是:2

第二圈是-13

第三圈是24

第9圈是210

第10圈否

故最后愉出的〃值为2.

故选：D.

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是

利用循环计算变量〃的值并输出，即可得解.

本题主要考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属「,基

础题.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考杳了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力

与计算能力，属于基础题.

根据In(x+1)VO”=DVx+lVl=/VxVO,再集合充分条件必要条件的定义判断即

可求解.

【解答】

解：“In(x+1)VO”<=>(XA+1<!<=>-1<x<0,

・・・“xVO”是“In(x+EVO”的必要不充分条件,

故选8.

5.【答案】C

【解析】解：在平行四辿形ABCO中，ABWCD,二二⑵-2),：=(2,1),

rr1r

===

ACABAD(%-1)，DBABAD=(0，⑴，

则［.>4x0+(-1)(-3)=3.

故选：c.

利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可.

本题考杳半血向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力.

6.【答案】B

【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图

所示：，

由｛x—%―3=0，解得：A(2/z?+3,m),

由z=2r+y得:y=-2x+zt

显然直线过A(2m+3,w)时，z最小，

.•.4/72+6+/??=1,解得：m~-1»

故选：B.

画出满足条件的平面区或，求出角点的坐标，

由z=2x+y得:y=-2x+zt显然直线过A(1,2-m)

时，z最小，代入求出川的值即可.

本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题.

7.【答案】D

【解析】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，

底面是一个直角梯形，ADLAB.AD\\BC,AD=AB=2.BC=\,

PA1底面A8CO,且PA=2,

•••该四棱锥最长棱的棱长为

PC=^PA2+AC2=yj22+22+12=3,

故选：D.

由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元

素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长楂的校长.

本题考杳几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考杳空间想象

能力.

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8.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查合情推理的应用，属于中档题.

计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键.先计算一个人

得总分是偶数，若加题不答，则总分少4机分，为偶数，若〃题答错，则总分少6〃分

为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可.

【解答】

解：每个人得的总分是6x5=30,

在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分，

即在满分的基础上若加题不答，则总分少4机分，若〃题答错，则总分少6〃分，

则每个人的得分一定是，禺数，

则小组的总得分也是偶数，与小组人数无关，

故选：C.

9.【答案】2

【解析】解：基函数/5）的图象过点（2,也），

所以/（2）=2吐也，解得a=g,

所以/（X）=%2,

则/（4）=yft=2.

故答案为：2.

由某函数/（X）的图象过点（2,也）求出a的值，写出/（x）的解析式，再求了（4）

的值.

本题考查了基函数的定义与应用问题，是基础题.

10.【答案】300

【解析】解：这次抽样调查抽取的总人数是二^二二300.

840+700+560

故答案为：300.

根据分层抽样是按比例抽样列式可得.

本题考杳了分层抽样，属基础题.

11.【答案】1，1（答案不唯一）

【解析】解：设小〃为实数，若。2+〃和，则直线”+31=0与圆/+）,2=]相切，

10+0-11

若为真命题，可得jJ-1，即为标十〃二1,

若为假命题，只要+力

要说明“设。，。为实数，若宗+济翔,则直线=+切・1=0与圆W+y2=i相切”

为假命题的一组小〃的值依次可为1,1.

故答案为：1,1.

由直线和圆相切的条件：d=r,求得屋+/=[,若为假命题，只要。2+62,1,取值。=1,

b=l,即可.

本题考查命题的真假判断，以及直线和圆相切的条件：d=r,考查运算能力，属于基础

题.

12.【答案】46

［解析］解：等差数列3｝满足42+45+49=46+8,

所以3a1+13d=ai+5J+8,即由=4,

41=16,所以4d=。5-4尸4-16,

所以d=-3.

令|册+1<0,解得〃=6,

所以仅〃｝的前6项和取得最大值.

故填：4,6.

将42+。5+。9=。6+8,中的项用和4表示，即可得到45,=4,又因为0=16,可以计算

数列｛〃”｝的正项，即可得到｛«?｝的前〃项和取得最大值时的11.

本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前〃项和的最值问题，属于中档题.

13.【答案】x2=8y

【解析】【分析】

本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能

力.

求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可.

【解答】

解：双曲线*的渐近线：底hy=O,

JL«5

抛物线的焦点坐标为：（0,9,

抛物线C2：x2=2py（p>0）的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2,

可得：解得〃=4,

抛物线。2：f=8y.

故答案为：f=8y.

14.【答案】2«5

【解析】解：,函数/（工）=cos（a）x+（p）（（o>0,（p<0）的最小正周期为等允，

.••3=2.

•••/（%）>/'（今对任意的实数.r都成立，

二cos（w.r+（p）>uos（红中）恒成立，

故cos（3（p）=-1，

*5

故停+（（>=227：+兀,kwZ,

.即亨2左兀，故（P的最大值为《，

故答案为:2；

由题意可得余弦函数的最小正周期为为红兀，可得0）的值；再根据题意，cos+（p）

C<zO

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=-1,结合(pVO求得＜p的最大值.

本题上要考查余弦函数的周期性和最小值，函数的恒成立问题，属于基础题.

(%+d=8,

15.【答案】解：(I)设数列｛小｝的公差为乩由已知|%+24+%+4d=4(%+d)，

解得心二：'，所以m=4〃(〃附).

(口)设数列｛儿｝的公比为，7,由已知口;二上，解得二彳或(舍)，

所以仇《x2"一】=2'T,所以儿-诙=2”24〃.

S„=(2-'-4)+(2°-8)+(2'-12)+••・+(2”24〃)

=(2-,+2°+2,+—+2"*2)-(4+8+12+…+4〃)

_j(l-2n)(4+4n)n

1-2~~2

=1(2n-l)-2n2-2n=2n-1-1-2n2-2n(nWN').

【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及

计算能力.

(I)利用等差数列｛小｝的通项公式结合已知条件求出首项与公差然后求解通项公式；

(H)设各项均为正数的等比数列｛仇｝满足九=0,氏=出，求出公比与首项，利用分组

求和求数列｛仇-即｝的前〃项和S〃.

16.【答案】(共13分)

BC_AC

解:

(I)在△ABC中，由正弦定理得sin£BAC—sinzABC

所以初乙4雨=箸4

因为=等，所以乙4BCW(0,力所以乙4BC=2….(6分)

（口）在AABC中,^C=n--=l.

在AAQC中，由余弦定理A。2=AG+QG-ZACQCcoszC,

得7=16+DC2-8DCCOS^即加一瘀+9=0,

解得DC=3力，或DC=&经检验，都符合题意.….(13分)

【解析】(I)利用正弦定理，转化求解乙的大小；

(口)通过余弦定理，结合力。=",即可求。。的长度.

本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力.

17.【答案】(共13分)

解：(/)高二年级学生样本中合格的学生数为：3+4+4+4=15,

样本中学生体质健康合珞的频率为葛=：.

所以从该校高二年级学生中随机选取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为

a

二.….(4分)

（〃）设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93,94,96的学生分别为m,生

高二年级测试数据是90,95,98的学生分别为。I,岳，b3.

选取的两名学生构成的基本事件空间为：

｛（41,b\）,（0,历），（41,Z?3）»（。2,b\）,（42，历），（42，。3），（43,

b\）,（a3,bi）>（as,力3）｝，总数为9,

选取的测试数据平均数大于95的两名学生构成的基本事件空间为｛（⑶，尢），（­

by）,（a3rbi）»（as,b3）｝，总数为4,

所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，

选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为:….（9分）

a1nxi>x?,sl<s1-（13分）

【解析】（/）高二年级学生样本中合格的学生数为15,样本中学生体质健康合格的频

率为■=由此从该校高二年级学生中随机选取一名学生，能估计这名学生体质健康

合格的概率.

（//）设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93,94,96的学生分别为⑶，及.

43,高二年级测试数据是90,95,98的学生分别为历，历，历.选取的两名学生，利用

列举法能求出选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率.

（〃/）xt>x2,sj<sl

本题考查概率、平均数、方差的求法及应用，考查茎叶图、古典概型、列举法等基础知

识，考查运算求解能力,是基础题.

18.【答案】证明：（I）连接8。交AC于点E连接上立

因为底面A8C。是矩形，所以F为8。中点.

又因为E为尸8中点，所以ERPD.

因为尸QC平面AC£,£Fu平面AC£,

所以刊可平面ACE

（H）因为底面4BC。为矩形，所以4clCQ.

又因为平面PCO_L平面ABCD,8Cu平面ABCD,平面PCQA平面ABCD=CD,

所以3cl平面PCD.

因为POu平面PCZ）,所以ACLPQ.

因为PC=PZ）=亚，CD=AB=2,

所以PGPgC*即PD1PC.

因为8CnPC=C,8Cu平面P8C,PCu平面P8C,

所以2。1平面PBC:

（川）解：取CQ的中点M,连接PM.

因为POP—%CD=AB=2fM是CO的中点，

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所以PM_LCO,且PA仁1,

因面夕CZZL'P面ABCD,PA/u'p面PCD,平•面夕COCPp面ABCD=CD,

所以尸AH平面ABCD,

因为E是，8的中点，

所以VE-ABC-^VPABC

1111

=2X3X2X2X1X1=6-

所以三棱锥£"C的体积为:

【解析】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题.

(I)连接3。交AC于点F,连接EF,由中位线定理可得EFWPD,故而0Q||平面ACE；

(D)证明8cL平面PC。，可得PO1AC,利用勾股定理可得POJLPC,故而PDL平面

PBC；

(山)作PMJLCD,可证PM1平面ABCD,于是VE-ABC=^VP-ABC.

b=l

c6a=2Q

19.【答案】解：(I)由题意可知：，,.解得»=*

(a2=b2+c2L=W

二椭圆G的标准方程为：+/=i.

(II)设Q(%o,州),则P(-M),-yo),可知0Vxo<2,OVyoV1.

若使△BOP的面积是"MQ的面积的3倍，只需使得|OQ|二3|MQ|,

即o；=疏?=嬴*)即*Q，沁・

由A(2,0),B(0,1),

・••直线AB的方程为x+2产2=0.

•・,点M在线段AB上，二*。+嬴-2=0，整理得所3-2和，①

•・•点Q在椭圆G上，.<+近=1，②

把①式代入②式可得8%-12yo+5=0,

••・判别式小于零，该方程无解.

・•.不存在直线I,使得ABOP的面积是的面积的3倍.

b=1

C事

=

【解析】(I)由题意可知：oaT，求解得到4,8的值，则椭圆