高考数学适应性练习卷参考答案及评分细则

福建省2023届高中毕业班适应性练习卷

数学参考答案及评分细则

(福建省2023届高三复习备考指导组研制，姚承佳执笔整理)

评分说明：

I.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考杏内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；

如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分40分。

I.C2.B3.B4.D5.A6.C7.B8.D

二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。全部选对的得5分，

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.ABC10.ADII.ACD12.AB

三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。

13.214.215.—16.—

32

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.本小题主要考查等差数列的定义与前〃项和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与

方程，体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.满分1()分.

解：□)因为〃-a，所以1〃1是等差数列.........................1分

Un~Un+24+l•Un»

由题意知，生一4=1,.....................................................3分

所以％=1+(，?-1)1="QzuN").............................................5分

(2)々=4；2—4；=(〃+2)2-〃2=4〃+4,...................................7分

所以+%)=(4xl+4)+(4x2+4)++(4x20+4).................8分

=2*84)=920...................................10分

2

18.木小题主要考查频率分布直方图、百分位数、条件概率、全概率等基础知识；考查运算求

解、推理论证能力等；考查分类与整合、化归与转化思想等.体现基础性、应用性和综合

性，导向对发展数学运算、数学抽象等核心素养的关注.满分12分.

解：口)由频率分布直方图可知，

该公司BMI值在28以下的男员工所占比例为1—().(Mx4=0.84>0.75;.........1分

该公司BMI值在24以下的男员工所占比例为1一0.04乂4一0.06*4=0.6(0/75：……2分

因此，75%分位数一定位于［24,28)内；......................................3分

设75%百分位数为x,由(28-x)x0.06+0.04x4=l-0.75,...................5分

得到x=26.5；

因此，75%百分位数为26.5；...............................................6分

(2)设A="任选一名员工为男性”，8="任选一名员工身体肥胖”，则入="任选一名员工

为男性”；................................................................7分

3—2—

由题意得，P(A)=-,P(A)=-,P(8|A)=0.2,.............................8分

55

由频率分布直方图，将频率视为概率，P(B|A)=0.04x4=0.16,...............9分

__72

由全概率公式得，P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)=-x0.16+-x0.2=0.176.12分

19.本小题主要考查解三角形等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查数形结合和

化归与转化等思想，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理及数学运算等

核心素养的关注.满分12分.

解：口)由已知的面积为切=3=£,.................................2分

222

即a=b,c=,

由余弦定理，得......................5分

lab242

2

因为Ce(0,2，所以C二一兀...............................................6分

3

(2)由(1)a=b,C=—TIfc边的高为I;

3

所以a=b=2,c=26；设△ABC内切圆半径为，.........................8分

因为S=—abs\nC=—r(a+b+c)，

22

所以-!"'2乂25皿2兀='r(2+2+2月)，.....................................11分

232

,W^r=2x/3-3.....................................................12分

2().本小题主要考查线面垂直、线面平行的判定定理，面面垂宜的性质定理及直线与平面夹角

的正弦值等基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查数形结合思想、

化归与转化思想等；体现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直

观想象等核心素养的关注.满分12分.

解法一：(1)因为平面BDJL平面P3D,平面PA。、平面PBD=PD,

PA±PD,EAu平面RV),

所以抬_1平面/归。，......................................................2分

所以Q4_L皮).

长为AB〃DC,ABLBC,所以NBCD=90。，

又BC=CD=2,所以80=2及，ZDBA=NBDC=45。.

在力中，AD2=BDr+BA2-2BD-BAcos45°=8,.......................3分

所以4)2+瓦)2=即2，即由)_LAO.

PAAD=A,%,40(=平面皿＞,

所以AO_L平面MD,.................................................4分

因为尸。u平面皿＞，所以

所以△PBD为直角三角形.............................................5分

(2)因为A8〃C7),CDu平面PCD,平面尸6,

所以AB〃平面PCD,.................................................6分

又因为ABu平面RW,平面RWn平面PCD=/,所以...............7分

所以/与平面PBC所成角的正弦值等于AB与平面PBC所成角的正弦值.

由尸8=2右，80=2夜，DB1PD,得PD=2,

在RtAAP。中，AD=2y/2,PD=2,得以=2.

取4B中点0,连结PO,过点。作)，轴〃瓦).

由/为二尸£＞,得PO_LA。，.................................................8分

87)J_平面RV),轴〃9，所以＞轴_1平面/W),即)'轴J.4),＞轴_1叨，

以O为坐标原点，向量QAOP为工轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.

则0（0,0,0）,P（0,0,忘）,A（夜,0,0）,8（-应,2及,0）（（-2拒,、£,0）,。（-夜,0,0）,.........9分

=（-V2,2V2,-V2）,BC=（-&-@0）,A8=（-2叵2近,0）,

设平面PBC的法向量为帆=(x,Fz),

m-PB=0,-x+2y-z=0,

则由，

加衣=0,x+y=0,

取x=l,则y=-l,z=-3,所以帆一3),.......................................................10分

设与平面心C所成的角为a,

,/4D\.\ABm\|-2V2-2V2|V22

则sina=cos(ABjn)=--------------=--------=---------=-------

'/\AB\-\m\x/Hx411

所以I与平面PBC所成角的正弦值为—..................................12分

11

解法二：(1)取A3中点E,连结小，

因为。C〃硕，力€=所=2,所以四边形OEBC为矩形，

所以0A=。七2+阴2=2血.

又因为平面小。_L平面P87),平面尸4。、平面。皿)=丹)，

PAJ.PD,QAu平面皿),所以Q4J_平面08D,....................................................2分

所以P4JLP4,PAJ.BD.

又因为PB=2>/5，AB=4,所以姑=2..........................................................................3分

又因为ZM=2及，所以/〉£>=2.........................................................................................4分

由已知可得。8=2及，PB=2y/3，

斫以PF)2+RD2=PR2,△P87)为直角三角形得证；...........................5分

(2)因为AB〃C。，COu平面PCD,平面PCD,所以AB〃平面尸CD,-6分

又因为A3u平面448,平面/乂80平面尸8=/,所以j〃A3,..............................7分

所以，与平面PBC所成角的正弦值等于AB与平面尸8c所成角的正弦值.

取4)的中点”，连结PRE尸.

因为BDLPA.力「=P,PAPOu平面皿），

所以4O_L平面皿>,

因为PEu平面Q43，所以QB工PF.

因为A4=AO=2,所以。尸，4。，80「/14=。，HRDAu平面AHCQ,

所以依_L平面A3C£>,.......................................................................................................8分

所以PF上EF,PF上AD,又因为4）2+以肝，所以3£>_LA£>,

所以EFLAD,分别以FA.FE,FP所在直线为工轴、）'轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,

如图所示，...............................................................9分

则F（0,0,0）,尸（0,0,72）,A（夜,0,0）,8（-夜,2夜,0）,C（-2及,、5,0）,。（—应,0,0）,

所以A8=(-2&20,0),BC=-五,0),PB=(-0,2夜,-收),

"1•PB=0,

设平面尸8C的法向量为帆=（x,yz）,则由

mBC=0,

味I-x++i2y-z=0,取I，则yi-3,所以—，............K)分

设与平面P3C所成的角为。，

则sina=|cos(^,公|=…川=:勺⑨=叵

'/\AB\-\m\"7x411

所以I与平面PBC所成角的正弦值为—..................................12分

II

21.本小题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解、逻

辑推理和创新能力等；考查数形结合、函数与方程思想等；体现基础性、综合性与创新性,

导向对直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.满分12分.

解：⑴由题意得忻用1=1玛目,

因为EA〃68,所以8为钻中点，所以怛用=；|4用，......................1分

连结由由题意得|M周二附同，所以BM〃A6，得|BM=，|AE|,........2分

2

所以忸周+忸加|=口4用+3从玛|=，.2=4=2,..........................3分

222

由e=£=,，得c=1,得。2="-a"=3,

a2

即椭圆C的方程为二十上=1..........................................4分

43

(2)设//,Q：y="+m,P(x，x),Q(x2,y2),N(%,)，0),由题意得，%=---x0,

—内+M

2

SPQ=2PN,得，5分

)1+上

>0=2

2

X1①

江+--1

39

4

由点?，。在椭圆上，得方程组・2

&②

名+-n

3,

4

①-②，得上玉+上$.=0,

43

却/=K-y=_3.3+电=_3.工=_3.(_2)=且;

.....................7分

々一内4y+力4y04V32

£*

y=——X+772,

由方程组，2

1_1，

4--3

消去y,得6x2+4a+4〃--12=0,

△=48后-96(/n2-12)>0,即-2瓜<m<2瓜,

用+电=———,③

由韦达定理，得8分

\苍二2m36,④

则直线的OP,OQ斜率之积为

+小亭…)京径+

m•(七+%)+〃/

.k=A.A2--------------,⑤9分

opOQ=

xxx23

3/2/_6,G/2后〃、

--(----------)+——m-(----------)+m

得kk-4'3'23'

将等式③④代入等式⑤,得""统一2加-61()分

亍

3("『一3)—6"『+6M3("/-3)3

等式化简，得k°p%

4(病—3)4(/«2-3)4

却直线OP,OQ的斜率之积为定值力......................................12分

22.本小题主要考查运用导数判断函数的单调性、求函数最值、零点存在定理等基础知识；考

查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化、数形结合等数学思想；体

现综合性、应用性与创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关

注.满分12分.

?v

解法一：(1)/，(x)=l---COSA,................................................1分

71

7r

令g(x)=/'(x)，贝U当加时，g(x)<2----<0；...............................2分

71

当工vxv兀时，g'(x)=-2+sinx单调递减，

271

目.g'(一)—1-->09g'(兀)=<()，

2兀兀

所以存在与£(二元)，使得g'a)=o,..........................................3分

故当X变化时，g'(x),g(<)变化情况如下

71除先）

X*0,兀）n

2

g'(x)+0一

g@)0单调递增g（K0）些调递减0

由图表可知，当5cx＜兀时，g（x）=/'（X）＞0,

所以/（幻的单调递增区间为《了），单调递减区间为（兀,M）..................4分

（2）当xvO时，,f（x）=（l-cosx）--＞0,所以/（工）单调递增：.............5分

当04W5时，g(x)=f\x),且g(0)=0,g(/=(),

乂g'(x)=sinx—单调递增，且g<0)=—<0fg〈')=1—>0,

71兀2兀

放存在%£(0弓)，使得g'(X)=O,.........................................6分

故当x变化时，g'(x),g(x)变化情况如下：

,,乃、n

X0（0,工）X；（/，/）

2

g'(x)一0+

g(x)0单调递减&（%））单调递增0

所以当。＜工时，g（x）=/f（x）＜0,故/（X）单调递减，......................7分

淙上，可得当x变化时，/'"）,/（幻的变化情况如下

-00n/兀、4-00

Xy,o)0（5,兀）7T（兀,中»）

呜22

f(x)4-0—0+0—

单调单调单调单调

fM—000--10-oo

递增递减4递增递减

作出函数/（X）的图象，如图:8分

y

函数F（x）=/（x）-a的零点，即方程有关于x的方程/（A）=a的根,

由图象，可知当。=/（3,即。=二-1时，氯用=/。）-〃有三个零点,.........9分

不妨设NV%2V七，则X2=]，王〈（）,当〉兀，

所以兀一七<0，

又了（兀一七）一/（%）=/（兀一七）一/（七）

（冗一西）.

=7t-Xy------:----sin（7t_刍）一[七——:——sinx]

7T713

（兀一昼）~.

=兀-W------------sinx,-|xsin占1

7C571

O5—XR）-工3（\

=71-2X-------;---F=（）