八年级上册轴对称填空选择单元测试卷(解析版)

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

1.如图，在AABC中，/C=90°，点D在AB上，BC=BD,DE_LAB交AC于点E,ZXABC的周长

为12,ZXADE的周长为6,则BC的长为

【答案】3

【解析】

【分析】

连接BE,由斜边直角边判定=RtABCE,从而OE=CE,再由^ABC的周长

△ADE的周长即可求得BC的长.

【详解】

如图：连接BE,

NBDE=90°，

在KtABDE和町ABCE中，

BE=BE

'BD=BC'

..RiA^DE=RiMCE,

:.DE=CE,

/.AABC的周长=AB+BC+AC=23C+AD+AE+DE=12,

△ADE的周长=AD+AE+DE=5,

/.BC=3,

故答案为3.

【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE构造全等三角形是解

答此题的关键.

2.如图，在四边形ABCD中，AD=4,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,则BD的长

为一

B

【答案】向.

【解析】

作ADr±AD,AD'=AD,连接CD',DD',如图:

即NBAD=NCAD',

在.BAD与ACAD，中，

BA=CA

，4BAD=Z.CAD,,

AD=AD1

.,.△BAD^ACAD'fSAS),

二BD=CD;

NDAD'=90°

由勾股定理得DD=+(.4。)2二后=4应,

ZDzDA+ZADC=90°

由勾股定理得CDf=y]DC2+(DU)2=x/9+32=A/4T

ABD=CDZ=•

故答案为JJi.

3.如图，四边形A8c。中，AB=AD,AC=5,ZDAB=ZDCB=90,则四边形A8C。的面

积为.

B

【答案】12.5

【解析】

【分析】

过A作AE_LAC,交CB的延长线于E,判定4ACD^4AEB,即可得到4ACE是等腰直角三角

形，四边形ABCD的面积与AACE的面积相等，根据SAACE=LX5X5=12.5,即可得出结论.

2

【详解】

如图，过A作AE_LAC,交CB的延长线于E,

VZDAB=ZDCB=90°,

.,.ZD+ZABC=1800=ZABE+ZABC,

AZD=ZABE,

又•.•/DAB=NCAE=90°,

AZCAD=ZEAB,

又TAD=AB,

AAACD^AAEB(ASA),

/.AC=AE,即AACE是等腰直角三角形，

二四边形ABCD的面枳与4ACE的面积相等，

1

VSAa=-x5x5=12.5,

62

・••四边形ABCD的面积为12.5,

故答案为12.5.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题

4.如图，已知△ABC为等边三角形，点D,E分别在边8C,4c上，且8D=CE,若8E交

A。于点F,则NAFE的大小为(度).

【答案】60

【解析】

【分析】

根据△ABC为等边三角形得到NABD=NBCE=60。,再利用BD=CE证得

AABD^ABCE,得到/84O=NC8£再利用内角和外角的关系即可得到/AFE=60。.

【详解】

•••△48C为等边三角形，点D,E分别在边8C,AC上，且8D=CE,

：.AB=BC,N48D=N8CE=60°,

在△A80和△BCE中，

AB=I3C

<AABD=ZBCEy

BD=CE

AAABD^^BCE(SAS),

：.ZBAD=ZCBE,

ZABF+ZCBE=48c=60°,

48F+/8AO=60°,

ZAFE=ZABF+^BAD,

・•・ZAFE=60°,

故答案为：60.

【点睛】

此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，题中证明三角形全等后得到N8AO=

/CBE,再利用外角和内角的关系求NAPE是解题的关徒.

5.如图，AB//CD,。为/84C、4CD的平分线的交点，OELAC^E,且OE=1,则八8与CD

之间的距离等于—.

【答案】2

【解析】

过点。作。F_L48于F,作。G_LCD于G,,・,。为N8AC、NDCA的平分线的交点，

OE1AC,：.OE=OF,OE=OG,：.OE=OF^OG=1,'：AB//CD,，N8AC+28=180°,

••.NEOF+NEOG=(180°-NBAC)+(180°-ZACD)=180°,：,E,。、G三点共线,

.M8与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2.故答案为：2.

点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性

质是解题的关键，难点在r作出械助线并证明人。、G三点共线.

6.在AABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是锐角，ZC<90°,若

NB满足条件：,则^ABC丝ZXDEF.

【答案】NB2NA.

【解析】

【分析】

虽然题目中NB为锐角，但是需要对NB进行分类探究会理解更深入：可按“NB是直角、钝

角、锐角”三种情况进行，最后得出NB、NE都是锐角时两三角形全等的条件.

【详解】

解：需分三种情况讨论：

第一种情况：当NB是直角时：

如图①，在4ABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90\可知：Z^ABC与ADEF一定全

等,依据的判定方法是HL：

第二种情况：当NB是钝角时：如图②，过点C作CG_LAB交AB的延长线于G,过点F作

DH±DE交DE的延长线于H.

VZB=ZE,且NB、NE都是盹角.

.•.1800-ZB=180°-ZE,

SPZCBG=ZFEH.

在^CBG和^FEH中，

/CBG=/FEH

<4G=/H

BC=EF

.'.△CBG^AFEH(AAS),

r.CG=FH,

在KtAACG和中，

AC=DF

CG=FH

/.RtAACG^RtADFH(HL),

NA=/D,

iiAABC和ADEF中，

ZA=ZD

<NB=NE,

AC-DF

.,.△ABC^ADEF(AAS)；

第三种情况：当NB是锐角时:

在AABC和ADEF中,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是锐角,小明在AABC中

(如图③)以点C为圆心，以AC长为半径画弧交AB于点D,假设E与B重合，F与C重

合，得到ADEF与AABC符号已知条件，但是AAEF与AABC一定不全等,

所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；

由图③可知，ZA=ZCDA=ZBi-ZBCD,

.,.ZA>ZB.

，当NBN/A时,AABC就唯一确定了,

则△ABCgZiDEF.

故答案为：ZB>ZA.

睛】

本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与:殳计作图，熟练掌握三角形

全等的判定方法是解题的关键.

7.如图，RtaABC中，ZC=90°.E为AB中点，D为AC上一点，BF〃AC交DE的延长线于

点卜AC=6,BC=5.则四边形FBCD周长的最小值是.

【答案】16

【解析】

四边形FDCD周氏=BCiASDF；当DF上3C时，四边形FBCD周氏最小为51615=16

8.已知：四边形ABCD中，AB：AD=CD,ZBAD=90，>,三角形ABC的面积为1,则线段AC

的长度是，

【答案】2

【解析】

【分析】

过B作BE1AC于E,过D作DF_LAC于F,构造△^AE=△4。尸得出BE=AF

11

利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=4C可得BE=AF=>4C,利用三角形ABC的面积

为1进行计算即可.

【详解】

过B作BE1AC于E,过D作DF1AC于F,

/.ZBEA=ZAFD=90°

.*.Z2+Z3=90°

VZBAD=90°

.,.Zl+Z2=90°

.\Z1=Z3

VAB=AD

/.△BAE^△ADF

：.BE=AF

VAD=CD,DF1AC

1

,-.AF=-4C

1

，BE=AF=ylC

111

:.S△ABC~XBE——/ICX—/IC—1

r.AC=2

故答案为：2

【点睛】

本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟

练掌握辅助线做法构造全等是解题的关犍.

9.如图，在RtAABC中,ZC=90°,AC=8,BC=6,P、Q是边AC、BC上的两个动点，

PD_LAB于点D,QE_LAB于点E.设点P、Q运动的时间是t秒（t>0）.若点P从C点出

发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回

到点C停止运动：点Q从点E出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点

C后停止运动，当弋=时，4APD和AQBE全等.

【答案】2或4.

【解析】

Q

试题分析：①OWtVy时，点P从C到A运动，则AP=AC=CP=8・3t,BQ=t,当

△ADP步AQBE时,则AP=BQ,即8-3t=t,解得:t=2；

②性3时，点P从A到C运南，则AP=3t-8,BQ=t,当AADPN^QBE时，则AP=BQ,即

3t-8=3解得：t=4；

综上所述：当t=2s或4s时，AADP^△QBE.

考点：1.全等三角形的判定；2.动点型；3.分类讨论.

10.如图，ZC=90°,AC=10,BC=5,AMJ.AC,点尸和点。从A点出发，分

别在射线AC和射线AM上运动，且。点运动的速度是。点运动的速度的2倍，当点。运

动至时，A45c与二APQ全等.

【答案】AC中点或点P与点C重合

【解析】

分析：本题要分情况讨论：①RSAPQgRSCBA,此时AP=BC=5cm,可据此求出P点

的位置.②RsQAP-RtaBCA,此时AP=AC,P、C重合.

详解：根据三角形全等的判定方法HL可知：

①当P运动到的，

,,,ZC=Z(2AP=90°,

在和Rt-QAA中，

AP=BC

PQ=ABf

:.RtAABC^Rt_QPA("L)，

即八尸=4C=5，

即P运动到AC的中点.

②当P运动到马C点重合时，AP=AC,

在RSABC与RSQPA中，

AP=AC

PQ=AB

.,.RtAQAP^RtABCA（HL）,

即AP=AC=10cm,

・,.当点P与点C重合时，AABC才能和aAPQ全等.

故答案为：AC中点或点P与点C重合.

点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般

方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.HL.由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应

角，因此要分类讨论，以免漏解.

二、八年级数学全等三角形选择题（难）

11.在RtZ\ABC和Rt^ABU中，ZC=ZC=90°,如图，那么下列各条件中，不能使RtZXAB

CgRtZ\A'B'C'的是（）

B.AB=B'C=5,NA=NB'=40°

C.AC=ArC=5,BC=B,C=3

D.AC=A,C=5,ZA=ZAf=40°

【答案】B

【解析】

•・,在RtAABC和RSABC'中，ZC=ZC=90°

A选项：AB=AB=5,BC=B'C'=3,

符合直角三角形全等的判定条件HL,

一•A选项能使RtAABC"RtAABC'；

B选项：AB=B'C'=5,ZA=ZB'=40。，

不符合符合直角三角形全等的判定条件，

二.B选项不能使RtAAB8RtAABC'；

C选项符合RtAABC和RtAABC全等的判定条件5As；

二•C选项能使RtAAB8RtAABC'；

D选项符合RtAABC和RtAABC全等的判定条件ASA,

二•D选项能使RtAABC合RtAA'B'C'；

故选：B.

点睛：此题主要考食学生对白用二角全等的判定的埋解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直

角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正

确答案.

12.如图，在AABC和4DCB中，AB=DC,AC与BD相交于点E,若不再添加任何字母

与辅助线，要使AABC且

△DCB,则还需增加的一个条件是（）

A.AC=BDB.AC=BCC.BE=CED.AE=DE

【答案】A

【解析】

由AB=DC,BC是公共边,即可得要证△ABC经△DCB,可利用SSS,即再增加AC=DB即可.

故选A.

点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，解题时利用全等三弟形的判定：

SSS,SAS,ASA,AAS,HL,确定条件即可，此题为开放题，只要答案符合判定定理即可.

13.如图，在△ABC中，AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4,则△ABC的两个为

【答案】D

【解析】

延长4。到E,使D£=AD,连接8E,因为。为8c的中点，所以DC=BD,

在4EDB中,

AD=ED

NADC=NEDB,

DC=BD

所以△ADC^△EDB,

所以8E=4C=10,NC4D=NE,

乂因为4£=24。=8,48=6,

所以AB2=AE2+4£：2,

所以/CAD=ZE=90°f

则S=S.+5=—ADxBE+—ADxAC=—x4x6+—x4x6=24,

t/lotif\oUi八iDnLr2222

所以故选D.

14.如图，已知等腰RtAABC和等腰RtAADE,AB=AC=4,ZBAC=ZEAD=90°,D是射线BC

上任意一点，连接EC.下列结论：①4AECAADB；②EC1BC；③以A、C、D、E为顶

点的四边形面积为8:④当BDM©时，四边形AECB的周K为JI6+5五十4,⑤当

BD=±B时,ED=J^AB：其中正确的有（）

2

族

BDC

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【解析】解：

,/ZBAC=NEAD=90°,：.Z8AD=NCAE,'：AB=AC,AD=AE,：.AAE6△ADB,故①正确：

•/AAEC^△ADB,：.Z八C£=NABD=45°,'：Z4CB=45°,）IA0ECB=90°,ECA.BC,故②

正确；

,/四边形ADCE的面积=△ADC的面积+△ACE的面积=△ADC的面积+△ABD的面积=△ABC

的面枳=4X4+2=8.故③正确：

,/BD=6,EC=V2,DC=BC-BD=4叵-叵=3拉，DE2^DC2+EC2,

=（3拒/+（夜）’=20,：.DE=2石，，AD=AE==屈.：,AECB的周长

=AB+DC+CE+AE=4+4&+&+J16=4+572+VlO,故④正确；

当8D=|"8C时，CD=g8C,；.DE=J［；8C+（^8。）=^-BC=^~AB.故⑤错误.

故选B.

点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解

答此题的关键.

15.如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点,

BE=BA.下面结论：①4AB区△EBC；@AC=2CD：（3）AD=AE=EC；

④NBCE+ZBCD=180°.其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【解析】

已知8D为8c的角平分线，根据角平分线的定义可得NA8C=NC8D,在△ABD和aEBC

中，BD=BC,AABD=ACBD,BE=BA,由SAS可判定△A8"△EBC,即可得①正确：根

据已知条件，无法证明AC=28,②错误：已知B。为△48C的角平分线，

BD=BC,BE=BA,可得N8CD=N8DC=NBAE=/BEA,再由

NBC£=NBDA,Z8CE=NBCD+ZDCE,ZBDA=NDAE+Z.BEA,N8CD=ZBEA,可得

NDCE=ND4E,所以4E=£C：再由△48叵4£8（7,AD=EC,^\^AD=AE=EC,即③正

确；由△A88△EBC,nJfl}ZBCE=ZBDA,所以N8CE+N8C0=N8DW+NBDC=18（T,④正

确做选C.

点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，

本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关

键.

16.如图，NC=ND=90。，若添加一个条件,可使用"HL”判定R5ABC与RSABD全等,

则以下给出的条件适合的是（）

A.AC=ADB.AB=ABC.ZABC=ZABDD.ZBAC=ZBAD

【答案】A

【解析】

根据题意可知NC=ZD=90°,AB=AB,

然后由AC=AD,可根据HL判定两直角三角形全等，故符合条彳匕；

而B答案只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不正确:

C答案符合AAS,证明两三角形全等，故不正确：

D答案是符合AAS,能证明两三角形全等，故不正确.

故选A.

17.在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点

位置，与AABC全等的是（）

C.AABDD.ACEF

【答案】C

【解析】

【分析】

利用勾股定理先分别求得ZABC的各边长以及各选项中三角形的各边长，再根据三角形全

等的判定方法进行判定即可得.

【详解】

在AABC中，AB=732+12=710,BC=V12+12=>/2,AC=2五,

A、在AACF中，AF=722+I2=5/5*5/10，岳夜，岳2、5，则4ACF与ZkABC不全

等，故不符合题意；

B、在AACE中，AE=3#V10,3^72,»2无，则AACE与AABC不全等，故不符合题意;

C、在aABD中，AB=AB,AD=^=BC,BD=272=AC,贝lj由SSS可证明aACE与AABC全

等，故符合题意；

D、在ACEF中，CF=3HJ[6,3*V2,3工2虎，则ACEF与ZiABC不全等，故不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查了勾股定理以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理以及全等三角形的判定方

法是解题的关键.

18.如图，AD是aABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（）

A.AD+BC=AB+CD,B.AB+AC=DB+DC,

C.AD+BC<AB+CD,D.AB+AC<DB+DC

【答案】D

【解析】

【分析】

在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EDAJE^ACD合△AED,推出DE=DC,根据三角形中任意

两边之和大于第三边即可得到AB+AC<DB+DC.

【详解】

解:在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接ED,

---AD是4ABC的外角平分线,

ZEAD=ZCAD,

在^ACD和^AED中，

AD=AD

<NEAD=NCAD

AC=AE

「.△ACD合△AED(SAS)

/.DE=DC,

在^EBD中,BE<BD+DE,

AB+AC<DB+DC

故选:D.

【点睛】

本题主要考食三角形全等的证明，全等三角形的性侦，三为形的三边关系，作辅助线构造以

AB、AC、DB、DC的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点.

19.下列四组条件中，能够判定AABC和ADEF全等的是（）

A.AB=DE,BC=EF,ZA=ZDB.AC=EF,ZC=ZF,ZA=ZD

C.NA=ND,ZB=ZE,ZC=ZFD.AC=DF,BC=DE,ZC=ZD

【答案】D

【解析】

根据三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL,逐一判断：

A、AB=DE,BC=EF,ZA=ZD,不符合“SAS”定理，不能判断全等：

B、AC=EF,ZC=ZF,ZA=ZD,不符合"ASA"定理,不能判断全等;

C、ZA=ZD,ZB=ZE,NC=NF,"AAA”不能判定全等：

不符合“SAS”定理,不对应,不能判断全等;

D、AC=DF,BC=DE,ZC=ZD,可利用“SAS”判断全等：

故选：D.

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形

全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

20.如图，在等腰直角△ABC中，NACB=90。，点0为斜边AB的中点，点D、E分别在直

角边AC、BC±,且NDOE=90。，DE交OC于点P,则下列结论:

①图中全等三角形有三对；ABC的面积等于四边形CDOE面积的、2倍:

@DE2+2CD«CE=2OA2；@AD2+BE2=2OP*OC.正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

结论（1）正确.因为图中全等的三角形有3对;

结论（2）错误.由全等三角形的性质可以判断:

结论（3）正确.利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断.

结论（4）正确.利用相似三角形、全等三角形、等腰宜角三角形和勾股定理进行判断.

【详解】

结论（1）正确，理由如下:

图中全等的三角形有3对，分别为△AOC04BOC,AAOD^ACOE,ACOD^ABOE.

由等腰直为三角形的性质，nJ知OA=OC=OB,易得△AOC4ABOC.

V0C1AB,OD±OE,.,.ZAOD=ZCOE.

在MOD与ACOE中，

Z.OAD=£OCE=45°

OA=OOC

LAOD=Z-COE

.,.△AOD^ACOE（ASA）,

同理可证：ACOD且△BOE.

结论（2）错误.理由如下：

,/△AOD^ACOC,

,,SAAOD=SACOEt

1

S四边/CDOE=SACOD+SACOE=SACOD+SAAOD=SAAOC=]SAABC

即MBC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍.

结论（3）正确，理由如下：

VAAOD^ACOE,

ACE=AD,

CD+CE=CD+AD=AC=X/?OA,

二（CD+CE）2=CD2+CE2+2CD*CE=DE2+2CD*CE=2OA2；

结论（4）正确，理由如下：

VAAOD^ACOE,.*.AD=CE；VACOD^ABOE,ABE=CD.

在RtACDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2,AAD2+BE2=DE2.

VAAOD^ACOE,/.OD=OE,

XVOD1OE,r.ADOE为等腰直角三角形,/.DE2=2OE2,ZDEO=45°.

VZDEO=ZOCE=45°,ZCOE=ZCOE,

.,.△OEP^AOCE,

OE_OP

^OC~OE'

即OP«OC=OE2.

.\DE2=2OE2=2OP»OC,

r.AD2+BE2=2OP«OC.

综上所述，正确的结论有3个，

故选C.

【点睛】

本题是几何综合题，考查了等腰直知三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要

几何知识点.难点在于结论（4）的判断，其中刈于"OP・OC”线段乘积的形式，可以寻求相

似三角形解决问题.

21.如图所示，0P平分NA08,PA1OA,PB上OB,垂足分别为4B.下列结论中

不一定成立的是（）.

4

PA=PBB.P。平分NA尸8

OA=OBD.AB垂直平分OP

【答案】D

【解析】

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB,再利用“HL”证明4A0P和

△BOP全等，可得出NAPO=NBPO,OA=OB,即可得出答案.

【详解】

解：YOP平分NAO8,PALOA,PB1OB

・••PA=PB,选项A正确；

在AAOP和△BOP中，

PO=PO

PA=PB，

・•・cAOP*BOP

：・ZAPO=NBPO,OA=OB,选项B,C正确；

由等腰三角形三线合一的性质，0P垂直平分AB,AB不一定垂直平分0P,选项D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，热记性质定理是解此题的关

键.

22.如图，8c的两条外角平分线4P、CP相交于点P,PH_LAC于H：如果NA8c=60。，

则下列结论：①NA8P=30。；②NAPC=60。；③P8=2PH；®ZAPH=ZBPC；其中正确的结论

个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

作PM_LBC于M,PN_LBA于N.根据角平分线的性质定理可证得PN=PM,再根据角平分

线的判定定理可得PB平分NABC,即可判定①；证明△PAN垩&PAH,△PCM知△PCH,根

据全等三角形的性质可得NAPN=ZAPH,ZCPM=ZCPH,由此即可判定②：在RtAPBN

中，NPBN=30。，根据30°角直角三角形的性质即可判定③;由NBPN=NCPA=60°即可判

定④.

【详解】

如图，作PM±BC于M,PNJ.BA于N.

,/ZPAH=ZPAN,PN±AD,PH±AC,

PN=PH,同理PM=PH,

PN=PM,

PB平分NABC,

/.ZABP=-ZABC=300，故①正确，

2

;在RtAPAH和RtAPAN中,

PA=PA

PN=PH'

；.APANWAPAH,同理可证，△PCM至△PCH,

/.ZAPN=ZAPH,ZCPM=ZCPH,

,//MPN=1RO°-ZARC=1?0°,

/.ZAPC=-ZMPN=600,故②正确，

2

在RtAPBN中，ZPBN=30",

PB=2PN=2PH,故③正确，

ZBPN=ZCPA=60°,

/.ZCPB=ZAPN=ZAPH,故④正确.

综上，正确的结论为①②③④.

故选D.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30。角直角三角

形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.

23.已知：如图，都是等腰三角形，且C4=C3,CD=CE,

ZACB=/DCE=a,A。、BE相交十点。，点M、N分别是线段A。、座的中点.

以下4个结论：®AD=BE；②NOO3=180—a；③ACMN是等边三角形；④连

0C,则0C平分NAOE.正确的是()

A.©©③B.®(g)®C.®@®D.①②③@

【答案】B

【解析】

【分析】

①根据4ACB=4DCE求出，ACD=4BCE,证出△/Vr。二△BCE即可得出结论，故可判断：

②根据全等求出乙CAD=4CBE,根据三角形外角定理得乙DOB=40BA+NBAO,通过等角代换能

够得到乙DOB二乙CBA十乙BAC,根据三角形内向和定理即可求出乙CBA+乙BAC,即可求出

zDOB,故可判断：

③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS可求出二CAM,推出CM=CN,

△ACM=4BCN,然后可求出乙MCN=zACB=a,故可判断ACMN的形状；

④在AD上取一点P使得DP=EO,连接CP,根据△AC/XZ\8CR,可求出NCEO=zCDP,根

据SAS可求出..CEO二一CDP,可得NCOE=NCPD,CP=CO,进而得到NCOP=NCOE,故可判

断.

【详解】

①正确，理由如下：

•：ZACB=/DCE=a,

••.z.ACB4-z.BCD=zDCE+zBCD,

即NACD=2BCE,

又•••CA=CB,CD=CE,

.-.△ACD=ABCE(SAS),

.-.AD=BE,

故①正确；

②正确，理由如下：

由①知，4CDHHBCE、

•••zCAD=zCBE,

vzDOB为&A3O的外角，

.­.ZDOB=ZOBA+ZBAO=ZEBC+ZCBA+ZBAO=ZDAC+ZBAO+ZCBA=ZCBA+ZBAC,

vzCBA+zBAC4-zACB=180o,zACB=a,

•,.zCBA+zBAC=180°-a,

即NDOB=180"a,

故②正确：

③错误，理由如下：

•:点M、N分别是线段A。、BE的中点,

I1

.-.AM=-AD,BN=-BE,

22

又•.•由①知，AD=BE,

AAM=BN,

XvzCAD=zCBE,CA=CB,

••〜CAM二CBN(SAS),

ACM=CN,ZACM=ZBCN,

.-.zMCN=zMCB+zCBN=zMCB+zACM=zACB=a,

AMCN为等腰三角形且乙MCN=a,

二△MCN不是等边三角形，

故③错误；

④正确，理由如下：

如图所示，在AD上取一点P使得DP=EO,连接CP,

由①知，AACD=ABCE,

•,.zCEO=zCDR

又•••CE=CD,EO=DR

CEO三CQP（SAS）,

.-.zCOE=zCPD,CP=COf

•,.zCPO=z.COB

••.zCOP=zCOE,

即OC平分4AOE,

故④正确：

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外箱定理，等边三角形的判

定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.

24.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EFllAD,与

AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH.下列结论：

2

①EG=DF;©AEHF^DHC;(3)zAEH+zADH=180°;④若一=-,则

AB3

畜町=2.其中结论正确的有()

,EDH13

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

分析：①根据题意可知NACD=45。，则GF=FC,则EG=EF-GF=C»FC=DF；

②由SAS证明△EHFgZXDHC因可；

③根据△EHFgZkDHC,得到NHEF=NHDC,从而NAEH+NADH=NAEF+NHEF+NADF・

ZHDC=180°；

AE2

④若一=一，则AE=2BE,可以证明AEGH@△DFH,则/EHG=NDHF且EH=DH,则

AB3

NDHE=90。，4EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x,则

22

DM=5x,DH=J26X,CD=6x,则SADHC='xHMxCD=3x2,SAEOH=-xDH=13x.

22

详解：①；四边形ABCD为正方形,EF〃AD,

o

.*.EF=AD=CD,ZACD=45fZGFC=90°,

••.△CFG为等腰直角三角形，

.*.GF=FC,

VEG=EF-GF,DF=CD-FC,

...EG=DF,故①正确:

②•••△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

.*.FH=CH,ZGFH=-ZGFC=450=ZHCD,

2

在4EHF和ADHC中，

EF=CD；ZEFH=ZDCH；FH=CH,

.,.△EHF^ADHC(SAS),故②正确：

③•.•△EHFaDHC(已证)，

.,.ZHEF=ZHDC,

.,.ZAEH+ZADH=ZAEF+ZHEF+ZADF-ZHDC=ZAEF+ZADF=180\故③正确:

厂AE2

@V-=-,

AB3

.\AE=2BE,

•.'△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，

.,.FH=GH,ZFHG=90°,

,/ZEGH=ZFHG+ZHFG=90°+ZHFG=ZHFD,

在AEGH和ADFH中，

EG=DF；ZEGH=ZHFD；GH=FH,

.,.△EGH^ADFH(SAS),

ZEHG=ZDHF,EH=DH/ZDHE=ZEHG+ZDHG=ZDHF+ZDHG=ZFHG=90°/

•••△EHD为等腰直角三角形，

如图，过H点作HM1CD于M,

设HM=x，则DM=5x,DH=V26x,CD=6x,

贝USADHC=—XHMXCD=3X2,SEDH=—xDH2=13x2,

2A2

3SAEDH=13SADHC»故④正确：

故选D.

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质,

解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.

25.已知：如图,在长方形ABCD中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,

动点P从点B出发，以每秒2个单.位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时

间为/秒，当/的值为秒时，4ABP和4DCE全等.

1或3C.1或7D.3或7

【答案】C

【解析】

【分析】

分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得.

【详解】

解：因为AB=CD,若NABP=NDCE=90°,BP=CE=2,根据SAS证得4AB匿△DCE,

由题意得:BP=2t=2,

所以t=l,

因为AB=CD,若NBAP=NDCE=90",AP=CE=2,根据SAS证得ABAP"△DCE,

由题意得:AP=16-2t=2,

解得t=7.

所以，当t的值为1或7秒时.4ABP和aDCE全等.

故选C.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA,SAS,AAS,SSS,HL.

26.如图，在AABC中，AB=BC,NA8C=90°,点D是BC的中点，BF1AD,垂足为

E,BF交AC于点F,连接DF.下列结论正确的是()

Az

BDC

A.Z1=Z3B.Z2=Z3C.Z3=Z4D.Z4=Z5

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G,则CG_L8C,先根据直角三角形两锐

角互余可得=再根据三角形全等的判定定理与性质推出Nl=NG,又根

据三角形全等的判定定理与性质推出N3=NG，由此即可得出答案.

【详解】

如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G,则CG_L8C,即N8CG=90。

•・•A8=8C,NA6c=90。

..ZBAC=ZACB=45°

;.NGCF=/BCG-ZACB=90°-45°=45°

­:BFLAD

N8AD+N1=NC3G+N1=90°

:"BAD=NCBG

NBAD=NCBG

在八^4£>和AC8G中，48=8。

ZABD=ZBCG=90°

ABAD=ACBG(ASA)

:.BD=CGA=4G

••点D是BC的中点

：.CD=BD=CG

CD=CG

在ACQ/和ACG产中，ZDCF=ZGCF=45°

CF=CF

ACDF三bCGF(SAS)

/.Z3=ZG

:.Z\=Z3

故选:A.

【点睛】

本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知

识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键.

27.如图，A。是..ABC的角平分线，DE1AC：垂足为E8///AC交E。的延长线

于点尸，若8c恰好平分NA8产.给出下列三个结论：①DE=DF；②DB=DC；

③AD_L8C.其中正确的结论共有（）个

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

由BF〃AC,4。是©ABC的角平分线，BC平分NAB/7得NADB=90。；利用AD平分

ZCAB证得AADCg/XADB即可证得DB=DC；根据DE±AC证明△CDEgZ\BDF得到

DE=DF.

【详解】

VDE1AC3FZ/AC,

AEF1BF,ZCAB+ZABF=180°,

:.ZCED=ZF=90°,

•・•AO是的角平分线，8c平分NAB/，

ZDAB+ZDBA=-(ZCAB+ZABF)=90°,

2

.,.ZADB=90°,即AD_L8C,③正确：

.,.ZADC=ZADB=90°,

TAD平分NCAB,

AZCAD=ZBAD,

VAD=AD,

.,.△ADC^AADB,

.,.DB=DC,②正确；

又・.・NCDE=NBDF,