第18讲 复数的性质及应用（解析版）-高考语文总复习归纳总结资料-高考数学

第18讲复数的性质及应用

【考点4】复数的运舞(共3小题)

【考点1】邮数单位i、(共6，,、一)

【考点5】共匏复数《共5小题》

【考点2】发数的代数衣示法及其几何怠义复数的性质及应用

【考点6】复收的校《共9小题》

【4点3】纯比数(共8小题)

【当点7】复故的三角衣示(共5小题)

G【考点梳理】

1.复数的有关概念

内容意义备注

形如。+加(a£R,/)£R)的数叫复数，若/?=0,则a+历为实数；若a=0

复数的概念

其中实部为⑴虚部为。且〃#0,则。+历为纯虚数

a+〃i=c+dioq=clLb=d(a,b,c,

复数相等

jeR)

a+历与c+di共且b=—

共扼复数

d(a,b,c,d£R)

建立平面直角坐标系来表示复数的平实轴上的点都表示实数：除了原点外，

复平面面叫做复平面，工地叫实轴，y轴叫虚虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内

轴的点都表示虚数

设应付应的复数为z=a+历，则向量

复数的模|z|=|。+历|=U，户+―

为的长度叫做复数z=a+历的模

2.复数的几何5盘义

复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点

。为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)免数z=a+加•一对应•复:平面内的点Z(a,/力(a,〃£R).

(2)复数z=a+历(a,b£R).“他■■平面向量52.

3.复数的运算

设zi=a+〃i,Z2=c+di(a,b,c,dER),则

(1)力口法：Z]+z2=(a+〃i)+(c+M)=(a+c)+(b+mi；

(2)减法：zi-Z2=m+〃i)—(c+M)=(4-c)+(b-d)i：

(3)乘法:z「Z2=(a+bi)(c+di)=(ac—6/)+(ad+Oc)i；

(4)除法.幺="包=(〃十历)《,一")

陆防.Z2c+M(c+Ji)(C-Ji)

ac-\-bd-\~(.he,-ad)i

=------』------(c+</iWO)・

©【解题方法和技巧】

1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件

问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

2.解题时一定要先看复数是否为。+历3,8GR)的形式，以确定实部利虚部.

3.复数z=a+bi(m〃£R)...对应・Z(〃,b)..对应•应=3,b).

4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解

析儿何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

5.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略

(I)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可.将含有虚数单位i的看

作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共匏复数，解题时要注意把

i的哥写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为。+

bi(a,〃£R)的形式，再结合相关定义解答.

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为

。+历(小b£R)的形式，再结合复数的几何意义解答.

O【考点剖析】

【考点1】虚数单位i、复数(共6小题)

1.(2021秋•杨浦区校级期末)化简：产+产+盘=।.

【分析】根据虚数单位i,以及指数的运算即可求出.

【解答］解："=-1.

/u3=-i,r=1

A/366+/384+/500-(i)91.内.(产)%+(/)125=_)+1+|=|

故答案为：1.

【点评】本题考存了复数的运算，属于基础题.

2.（2022春•闵行区校级月考）已知zi，Z2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号

是（）

①若则-iWziWl；

②若zi=W7，则

乙1乙I

③若|Z||+|Z2|=0,则Z|=Z2=0：

④若Z1+Z2是虚数，则Z|,Z2都是虚数.

A.①@B.②C.②③D.①②®

【分析】根据复数的性质分别判断即可.

【解答】解：Z|,Z2为复数，

①若3I&1,z没有大小,故-1WziW1是错误的，

②若Z1=W7，则正确，

③若|Z]|+|Z2|=0，则Zl=Z2=0，正确，

④若Z1+Z2是虚数，zi，Z2不一定都是虚数，

比如：Zl=l-3/,Z2=-1»故错误,

故②③正确，

故选：C.

【点评】本题考查了复数的定义和性质，是基础题.

3.（2022•宝山区校级开学）以下四个关于复数的结论：

（1）任意两个复数不能比大小：

（2）zWCnz22。：

（3）Z\-Z2>0=>Zl>Z2；

（4）耳数a+A/=c+市（a、b、c、dER）=4=0且>=〃.

正确的序号是（4）.

【分析】举反例可判断（1）、（2）、（3）为错误的，由复数的定义可判断（4）正确.

【解答】解—：（1）任意两个复数不能比大小是错的，例如2与3；

（2）zWC*22。是错的,例如z=l+i；

（3）Z]-Z2>0=Zl>Z2是错的，例如Z|=l+i,Z2=-1+/:

（4）复数a+bi=c+di（〃、b、c、dER）="=c且6=d.

故答案为：（4）.

【点评】本题考查了复数的定义的应用，属于基础题.

4.（2022春•浦东新区校级期末）3+4,的虚部是4.

【分析】根据已知条件，结合虚部的定义，即可求解.

【解答】解:3+4i的虚部是4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查虚部的定义，属于基础题.

5.（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z=10+17i,则Rek10.

【分析】根据已知条件，结合实部的定义，即可求解.

【解答】解：z=10+17i,

则Rez=10.

故答案为：10.

【点评】本题主要考杳实部的定义,属于基础题.

6.（2022春•浦东新区校级期末）若，・是虚数单位，当坯N时，i11」的所有可能的取值

•n

1

组成的集合为1-2,0,21.

【分析】分类讨论，利用复数的运算求解即可.

【解答】解：当〃=4h依N时，

l+i=l+l=2,

1

当〃=伏+1,KN时，

i+-=i-i=0,

1

当〃=软+2,&WN时，

当〃=4-3,依N时,

/+-5-=-i+i=0,

i3

故当〃GN时，i117-的所有可能的取值组成的集合为｛-2,0,2｝；

•n

1

故答案为：｛-2,0,21.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位，•的性质，是基础题.

【考点2】复数的代数表示法及其几何意义（共6小题）

7.（2022春•徐汇区期末）复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）

A.正数B.负数

C.实部不为零的虚数D.纯虚数

【分析［根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解.

【解答】解：复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数实部为0,虚部为一个非0

常数，即为纯虚数.

故选：。.

【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题.

8.(2022春•闵行区校级期末)如果复数z满足|z-I|+|z+l|=2,那么|z-17|的最大值是

事

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：复数Z满足|z-l|+|z+l|=2,

复数z对应的点为复平面x轴上，A(-1,0),B(I,0)之间的任意点，

故|z-1-i|表示复数z对应为点到点P(1.I)的距离.

所以|z-1-/)的最大值是，(1+1)2+(1-0)2=遥.

故答案为：V5.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础期.

9.(2022春•嘉定区校级期末)已知复数zi=5-2022/,z2=2017+2«/(«GR),若zi+z2

所对应的点在实轴上，则c=1011.

【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：•.•Z|+Z2所对应的点在实轴卜.

AZI+Z2=5-2022/+20l7+2a/=2022+(2a・2022)i,

•••zi+z2所对应的点在实轴匕

：.2a-2022=0,解得“=1011.

故答案为：1011.

【点评】本题主要考杳复数的运算:法则，以及复数的几何意义，属于基础题.

10.(2022•黄浦区校级模拟；复平面内存在复数zi=l,Z2=7,q等+*i对应的

三点4、Z2、Z3,若点勾可与Zi、Z2、Z3共圆，则下列复数中可以表示为Z4的是()

A.tan150+cot30°/B.cos450+sin30°i

C.tan300+sinl50iD.sin75°+sin15!，i

【分析】分析可得|ZI|=|Z2|=|Z3|=1,则Z4需满足|Z4|=1，计算出各选项中复数的模,即

可得解.

【解答】解：由已知可得|zi|=|z2|=|z3|=l,

则点Zl、Z2、Z3均在以原点为圆心旦半径为1的单位圆上，

若点Z4可与Z1、Z2、Z3共圆，则闻=1，

Itan150+cot30°i|=Vtan215°+cot230°>cot30°=V3,A不满足要

求:

Icos450+sin30°i|=|耳~|[(4~)+g)=^2~，3不满足要求;

222

Itan300+sin15i|=Vtan300+sin15°〈Vtanbo。+sin30°+(,y)<

,C不满足要求；

因为sin750=sin(90°-15°)=cos15°,

所以,|sin750+sin15°i|=Vcos2150+sin215*=V。满足要求，

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于中档题.

11.(2022春•浦东新区校级月考)设。是实数，关于z的方程(z?-2z+5)(r+2«z+l)

=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是

13-KULU-3).

【分析】由Z2-2Z+5=0,得ZI=l+2i,Z2=1-2i,因为d+Zaz+l=0有两个不同的根,

所以A=4(«2-1)W0,故“W±I,若A=4(/-1)<0,即-1<a<I时，

若A=4(/_])>0,即间>1时，讨论计算即可.

【解答】解：由Z2-2Z+5=0,得zi=l+2i,Z2=l-2i,

因为J+Zaz+l=0有两个不同的根，所以A=4(J-])wo,故aW±|,

若A=4(a?-1)VO,即时，2=_a4-^pa2,

因为ZI,Z2,Z3,Z4在复平面上对应的点构成等腰梯形或者矩形，此时四点共圆，所以，

-i<a<l满足条件；

若A=4(a2-1)>0,即冏>1时，Z3,4=-a±JIW是实根，在复平面上对应的点

在实轴上，

仅当Zl、Z2对应的点在以Z3,24对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为

整理得X2-(Zq+Zd)x+ZQZd+y2=0，即/+24什1+)2=0,将点(1,±2)代入得a

wTJ4

=-3；

练.上所述，满足条件的实数a的取值范围是{“I-1V“V1}L(-3}.

故答案为:{a\-l<a<l}U{-3}.

【点评】本题考查了复数的综合应用，属于中档题.

12.(2022春•虹口区校级期末)在复平面中，已知点A(-1，0)、8(0,3),复数zi、

Z2对应的点分别为Zi、Z2，且满足01=01=2,|ZIZ|=4,则区•西的最大值为

214

2<10-4_.

【分析】由题意设Zi(2cosa,2sina),Z2(2cosp»2sinp),0WaV2ir,OW0V2TT,由

|Z1Z2|=4,得COS(a-0)=-l,求得a-0=±n,再由数量枳的坐标运算结合三角函

数求最值.

【解答】解：由题意设Z](2cosa,2sina)»Z2(2cosp,2sin1),0WaV2mOW0V2TT,

山|ZIZ2|=4,得J(2cosa-2cosB)2+(2sina-2sinB)2=1

整理得cos(a-P)=-LV0^a<2n,OW0V2n,

・•・-2ir<a-0V2m可得a-0=±n,

=

AZj=(2cosCl+1,2sina)，BZ2(2cosP,2sinP-3),

则AZ，・BZ；=(2cosa+l)2cosp+2sina(2sinp-3)

12

=4cosacosp+4sinasinp+2cosp-6sina=4cos(a-p)+2cosp-6sina

=-4+2cos(±n+a)-6sina=-4-6sina-2cosa=-2^/10sin(a+。)-4

(tanQ弓)，

-AZ?•丽^的最人值为2710-4.

故答案为：WIU-4.

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数的恒等变换应用，考

查运算求解能力，是中档题.

【考点3】纯虚数(共8小题)

13.(2022春•浦东新区校级期末)已知复数z=(a2-a-2)+(a2+3a+2)i(/为虚数单

位)为纯虚数，则实数a=()

A.2B.-1C.-1或2D.-2

【分析】直接由复数的实部等于0R虚部不等于0求解a的值.

【解答】解：・.2=(J・a-2)+(。2+3。+2)i(i为虚数单位)为纯虚数，

o

.3-3-2=0.

••S9••U/9

a2+3a+27t0

故选:A.

【点评】本即考看了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题.

14.(2022秋•奉贤区校级月考)已知z,3为复数，(l+3i)z为纯虚数，3一―且

2+1

|3|=5加，求0)7-i^-7+i.

【分析】设(l+3i)z=ai(a6R,aHO),化简可得3nz=a(7-i),结合|但|=5近

2+i50

可得a=50或。=-50,从而求得.

【解答】解：设（i+3i）z=ai（6/GR,aWO）,

则z=ai=a（3+i）

'l+3i10

则3q=a（3+R=Ap-iL

2+i10（2+i）50

•••I3|=5&，

・•・⑷•叵五1=5日

50

故a=5O或a=-50,

故3=7-i或-7+j,

故答案为:77或-7+兀

【点评】本题考杳了复数的运算，属于基础题.

15.（2022春•浦东新区校级期末）已知复数z为纯虚数，若zi=6+H（其中a€R,，•为虚数

单位），则z=-6i.

【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解.

【解答】解：由题意设2=应，b于0,

*.*zi=6+ai,

：.b¥=-b=6+ai,即a=0»b=-6,

故答案为：-6i.

【点评】本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题.

16.（2022•闵行区二模）若空1为纯虚数（i为虚数单位），则实数5=-1

1+i

【分析】根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数的四则运算，即可求解.

【解答】解：空上=，m+i?,_=变支1-m为纯虚数,

1+i（1+i）（1-i）22

*。

则L，解得机=7.

故答案为：-1.

【点评】本题考查了纯虚数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握

公式，属于基础题.

17.（2022春•宝山区校级月考）若关于x的方程/+（r-2/+2rx）i=0（/GR）有纯虚数根,

则实数，的值为2.

【分析】设方程f+(Z2-2/+2/X)i=0(/GR)的纯虚数根为从"WO,bER),从而得

o

到-b:-小2tb=0！再求出/的值.

t2-2t=0

【解答】解：设方程,+(?-2t+2tx)/=0(/GR)的纯虚数根为物”W0,丛R),

则(bi)2+(?-2/+2rW)i=0,即-庐-2山+(r-2/)/=0,

即，--2tb=0,解得―2,6=-4或r=0,b=()(舍去)，

t2-2t=0

故实数，的值为2,

故答案为：2.

【点评】本题考查/复数的化简与运算，属于基础题.

18.(2022春•闵行区校级期末)已知。为实数，若复数z=sin8-l+i(&cos8-1)是

纯虚数，则z的虚部为-I.

【分析】直接根据复数的概念可得9-1=0,求解得8再代入即可.

IV2cos8-17^0

【解答】解：若复数z=sinB-1+i(45-I)是纯虚数，

-r阳(sin6-1=0

可得4厂，

IV2cos8-17^0

解得。=?L+2KbkGZ,

2

即z=-i,

则z的虚部为-1,

故答案为：・1.

【点评】本题考查了复数的概念，是基础题.

19.(2022春•闵行区校级月考)⑴当，〃为何值时，复数％工工a+(m2-2m-15)i是:

m+3

①实数；②纯虚数；

(2)已知z,3为复数，(l+3i)・z为纯虚数，3—一，且|3|二5加，求复数M

2+1

【分析】(1)①当z是实数时，列方程组，能求出‘〃；

②当z为纯虚数时，列方程组，能求出江

(2)设2=aU，i(a.hGR),(1+3/)・z=(1+3/)(a+hi)=a-3h+，为纯虚

数，求出(a=3b,从而3__=('+吗)(20=①卫由仙|=5加,解得臼

Ib^O2+i(2+i)(2-i)551

=5,由此能求出结果.

【解答】解：（1）复数z=m26+（m2-2m-15）i，

m+3

，2

①当z是实数时，］m-2nrl5=0,解得〃尸5；

m+3―0

m-3

②当z为纯虚数时，(9,解得"，=-2或机=3.

m-2m-157^0

m+3^0

(2)设2=。+瓦(小bER),

(1+3/)・z=(1+33(a+bi)=a-3b+(3a+b)i为纯虚数,

・fa-3b=0.(a=3b

•fsa+b声0'lb声0,

_z=(3b+bi)(2-i)=7b力.

(2+i)(2-i)551,

(yb)2+(-yb)2=V2b^=5^2»解得步1=5,

.*./>=±5,

••.3=7-i或3=-7+i.

【点评】本题考查实数、纯虚数的定义、复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查

运算求解能力，是基础题.

20.（2022春•浦东新区校级期末）设z为复数.

（I）若空二4：3口,求回的值：

zi

（2）已知关于x的实系数一元二次方程/+px+q=O（p、或R）的一个复数根为z,若z

为纯虚数，求p+q的取值范围.

【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

（2）设z=bi（^0）,结合纯虚数的定义，以及一元二次函数在复平面中的复数根互

为共珑复数，即可求解.

【解答】解：⑴z=25i=-3-4i，

-4-3i

故|z|=|-3-4i|=5：

（2）设z=bi（〃W0）,

•・•一元二次函数在复平面中的复数根互为共规复数，且z为纯虚数，

p2-4q<0

z+z=O=-p»解得I。：»

-2普>°

zz=b^=q

故.p+q£(0,+8).

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，一元二次函数在复平面中的

复数根互为共规复数，属于基础题.

【考点4】复数的运算(共3小题)

21.(2022春•浦东新区校级期末)产022+泮23..+计]=()

A.1B./+!C.iD.0

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

•2022・•/•4\505-3

【解答】解.：泮22+产明...+计1=二_^+1=2Z11_J_U_+i=d+i=

1-11-11-i1

21C：l)+1=—]+汁1=工

故选：C.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

22.(2022•迎泽区校级模拟；已知z均为复数，则下列命题不正确的是()

A.若z=z，则z为实数

B.若入0,则z为纯虚数

C.若|z+l|=|z-1|,则z为纯虚数

D.若9=1,则z=z?

【分析】设z=a+〃(mbER),利用复数的基本运算可得A,B正确;举例说明C错误；

求解方程得z,可知。正确.

【解答】解：对于A,设2=。+万(a,bER),由z=Z，可得a+历=。-历，则2bi=0,b

=0,・•"为实数，故A正确；

对于从设/?GR),贝I」dnJ+y;Za/’iVO,V22<0,：.a=0,贝建纯虚数，

故B正确：

对于C,当z=0时,有|z+l|=|z-",故C错误：

对于D,由d=1,得z3-1=0,即(z-1)(z2+z+1)=0,可得z=1或z=-

2-2

2

.,."^=z»故。正确.

・••错误的是C.

故选：C.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

23.(2022•浦东新区校级开学)对任意复数z=x+y'(x,y€R),定义g(z)=3r(cosy+zsiny).

(.1)若g(z)=3,求复数z：

(2)若z=a+bi(a,bER)中的。为常数，则令g(z)=j(b),对任意〃，是否一定

有常数机("WO)使得/"+团)=/(力)？若存在，则用是否唯一？请说明埋由.

【分析】⑴由新定义得I3"c°sy=3,由此能求出相应的复数z.

3xsiny=0

(2)由/3川)=/")得到[cos(krHn)=cosb,求解即可.

Isin(b+m)=sinb

【解答】解：(1)a：g(z)=3,

siny=0

.3•cosy=3.Ix

»,•]3=3»

'inyR(cosy=l

.J«=1,

[y=2k兀，k€Z

Az=l+2Znr/,kEZ.

(2)V/(/?+w)=/(/?),

.3acos(b+m)=3acosb

3asin(b+m)=3asinb

.(cos(b+m)=cosb

Isin(b+m)=sinb

/.m=2lai,kwZ,不唯一.

【点评】本题考查复数的相等，涉及到三角函数的运算，属于中档题.

【考点5】共匏复数(共5小题)

24.(2022春•宝山区校级期中)非零复数z满足；=-zi,则复平而上表示复数z的点位于

()

A.实轴B.虚轴

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

【分析】设2=«+4•(小左R,且J+从W0),代入]=-力，结合复数相等的条件可得

a=b,则答案可求.

【解答】解：设2=°+尻Q,bER,且/+。2奔0),

由z="zi,得〃-bi=-ia+bi)i=b-ai,

••ci=b9

•・・z为非零复数，，复平面上表示复数Z的点位于第一或第三象限.

故选：C.

【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

25.(2022•上海)已知z=l+i(其中i为虚数单位)，则2三二2-2i.

【分析】直接利用共视复数的概念得答案.

【解答】解：z=l+i,则z=l-i，所以2z=2-2i.

故答案为：2-2、

【点评】本题考查了共加复数的概念，是基础题.

26.（2022•宝山区校级开学；复数z满足（1-i）z=2i,则；的虚部为7

【分析】先利用复数的基本运算求出z,再结合共挽夏数的概念求解即可.

【解答】解：•••（1-i）z=2i,/.z=-5L=-1+/,

，z的虚部为-1，

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题.

27.（2022春•松江区校级期末）设，〃为实数，复数zi=l+i,Z2=〃，+3M其中i为虚数单位），

若方为纯虚数，则，〃的值为-3.

【分析】根据已知条件•，结合共物复数的定义，复数的四则运算，以及纯虚数的定义，

即可求解.

【解答】解：•；|=1+八Z2=m+3i,

=m-3i,

Vzi*z=（1+/）（m-3/）=m+3+（m-3），为纯虚数，

.・.,+3=0,解得片_3.

lm-3卉。

故答案为：-3

【点评】本题主要考查共施复数的定义，复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基

础题.

28.（2022春•松江区校级期末）已知复数zi=3-4i,Z2=l+2i,i为虚数单位.

（I）若复数ZLOZ2在复平面上对应的点在第四象限，求实数。的取值范围；

（2）若z・z1+i=Z2,求复数z的共挽复数.

【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.

（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共钝复数的定义，即可求解.

【解答】解：（1）Vzi=3-4i,Z2=l+2h

.*.zi-4Z2=3-4i-a（l+2i）=3-a-（4+2«）i,

•・•复数zi-az2在复平面上对应的点（3-m-（4+为））在第四象限，

3-a>0

解得-2W3,

-（4+2a）<0,

故实数〃的取值范围为(-2,3).

(2)Vz*zi+z=z2>

，z・zi=1+i,

.=1+i=(1+i)(3+4i)=」7.

••z=3-4i二(3-4i)(3+4i)近羊i'

•___1__7_.

一”石学「

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，共聊复数的定义，属于

基础题.

【考点6】复数的模(共9小题)

29.(2022春•浦东新区校级期末)设zWC,下列说法中正确的是()

A.若名+国=0,则z=0B.若团+圜=0,则z=0

C.若Izl+z2：。，则z=0D.若z2+|z2|=0,贝iJz=0

【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于A,设z=a+〃，a,gR,

Vz+|?|=0»

22

.*.a+bi+a+b=0t解得a=-l,b=0,故z=-1,故人错误，

对于4,设z=a+bi,a,

V|z|+|r|=0,

AVa2+b2+a2+b2=C,解得〃="=0，故z=0,故8正确，

对于C令z=i,满足|z|+z2=0,但zXO,故C错误,

对于。，令z=i,满足2+修尸。，但zWO,故D错误.

故选；B.

【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题.

30.(2022秋•奉贤区校级月考)。|=3,0|=4,|ZI+Z2|=5,则IZI・zzl=5.

【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.

【解答】解：令zi=a+bi(a,bER),Z2=m+ni(a,beR),

V|zi|=3,|Z2|=4,|ZI+Z2|=5,

11

/.a+b=9,〃?2+〃2=]6,(a+m)2+"+〃)2=25,

.*.2(am+hn)=0,

222222

**•|zi-z9|=(a-m)+(b-n)=(r+b+ni+n-2(am+hn)=25,

A|zi-Z2l=5.

故答案为：5.

【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题.

31.（2022•宝山区校级开学）已知复数z=3-“i（i为虚数单位）满足Iz-2|V2,则实数"

的取值范围为U逐一62.

【分析】根据已知条件，结合共规复数的定义，以及复数模公式，即可求解.

【解答】解：・・・z=3-ai,

•**z=3+ai，

Vk-2|<2,

.\!1M<2,B|Jl2+a2<22,解得

故实数。的取值范围为（-“，近）.

故答案为：（-«,V3）.

【点评】本题主要考查共航复数的定义，以及复数模公式，属于基础题.

32.（2022春•松江区校级期末）如果复数z满足|z-2i|=l（其中i为虚数单位），那么|z+l|

的最大值是_V5±l_-

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：|z-2/1=1,

则复数z在复平面内对应的点Z在以（0.2）为圆心.I为半径的圆上.

•・,|z+l|表示Z点与定点（-1,0）的距离,

|z+11的最大值是4（-10）。（0-2）2+]=+1，

故答案为：V5+1.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

33.（2022春•浦东新区校级期末）若复数z=3+“i满足条件|z|V5,则实数。的取值范围是

（）

A.（-4,4）B.（-5,5）C.（0,5）D.（-3,3）

【分析】根据|z|V5,得到田1<5,再求出。的取值范围.

【解答】解：•・•复数z=3+打，且|z|V5,

・,•到Jg+a2V5,解得-4VaV4，

・•・实数。的取值范围是（-4,4）,

故选:A.

【点评】本题考查了复数的运算，复数的模、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

34.（2022春•奉贤区校级期末）已知复数z=a+析（其中“、/走R）,存在实数i,使

三上台-3ati成立.

（1）求值：为+〃：

(2)若|z+1|<V2|bI，求|z|的取值范围.

【分析】。)利用共轨复数的概念、复数相等的定义列方程，求出a,〃，由此能求出结果.

(2)根据|z+l|<V2|b|,求出a的取值范围，再利用复数的模，结合二次函数求解.

【解答】解：(1)且数z=a-山(其中a、bER),存在实数r,使/=1+宏-3ati成立，

t

.,.a-从=,l+：i_3ati=1+(；3at)i/

19

•'­«=—，-b=(--3at)«

消去r,得2a+〃=3：

(2)V|z+1|<V2|bI，

(a+1)2+苏<2序,：.(a+1)2Vb2=(3-2a)2,

则3/-14a+8>0,解得a<2或〃>4,且“WO,

3

；•团=Va2+b2=Va2+(3-2a)2=V5a2-6a+9，

•••Izl的取值范围是(返E,3)u(3,+8).

3

【点评】本题考查复数的运算，考查共柜复数的概念、复数相等的定义、复数运算法则等基

础知识，考查运算求解能力，是基础题.

35.(2022春•浦东新区校级期末)已知虚数zi=4cos8+3sin0・i,z2=2-3sin0«z;其中i为

虚数单位，0GR,ZHZ2是实系数一元二次方程d+mz+nuO的两根.

(1)求实数/〃、〃的值；

⑵|Z-Z1|+|Z-Z2|=3V3>求Izl的取值范围.

2

【分析】(1)根据zi，Z2是实系数一兀二次方程z+rnz+n=0的两根可得z求出cosO

的值，进而求出Z|,Z2,再根据根与系数的关系求出，〃，〃的值即可；

(2)根据复平面内|z”|+|z-z2|=3«的几何意义可得z(小b)在线段ziz2上，进而求得

|z|的取值范围即可.

【解答】解：(I)由题意即4cos6+3sin6<=2+3sine・i,

COS0=—.

2

根据韦达定理得〃―-(Z1+Z2)=-(2+3sin0*/+2-3sinO*i)=-4,

n=z\Z2=(2+3sin0*f)•(2+3sin0*/2-3sin6*Z)

=4+9(1-—)=里

224

.*./»=-4,〃=_^.

4

（2）由（1）sin6=+71-C0S29=±4'

2

・•・设zi=2^£i，々=2善z=〃+M

贝此-zil+lz・Z2|=3%的几何意义即为复平面内z（«,〃）到ZI⑵金巨），Z2（2,-治巨）

22

的距离之利为3%,

Vzi到Z2的距离为弓3-（二*）=3\回，

Az（a,b）在线段ziz2上，，当z（2,0）时，|z|取得最小值2,

2-V43

当z在Z|或Z2时，团取得最大值）22+------9

2

的取值范围为[2,等

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义等基础知

识，考查运算求解能力，是基础题.

36.（2022春•浦东新区校级月考）设复数数列｛z〃｝满足：父|=1,且对任意正整数小均有:

2

4Zl+2zz,+z2=u0-若复数Z对应复平面的点为。为坐标原点•

+^n+l乙了口了912.n

（1）求△02△的面积;

（2）求|z“+z〃+i|；

（3）证明：对任意正整数〃?，均有|z[+z2+…+2^1〈基-

m3

【分析】（1）把4Z2,+2Zz2=0转化为4（冬生）2+2•马匹+1=0,结合等比数

n+1nn+1n77

4n4n

列通项公式能求出△OZ1Z2的面积；

z

（2）利用%+z“+i|=%|・|l+.1],能求出结果.

zn

（3）分〃/为偶数和奇数两种情况讨论，能够证明对任意正整数〃“均有

z+z+，，，+z<

ll2nll^-

【解答】解：（1）•・•复数数列｛z〃｝满足：|zi|=l,且对任意正整数〃，均有：

OO

4zn+l+2znznM+zn=0,

.\42+2・_51tL+i=a,

解得=T±V3i,.・._5吐L=工3或之空上=上益，

zn4Zn2Zn2

・・.牛邛=1三%=|-1士/34iz〃尸川•二

n-1

Izjzn4222〃T

*,.|Z2l=—，

2

・.・卫=-1±爪i=13或1^7,.•.结合复数的几何意义得/Z|OZ2=2几,

Z14223

'△OZiZ2的面积7义1X,Xsirr|■二=零•

3“勺2238

3±V3i.V3

（2）由（1）得|z〃+z〃+i|=|z〃|・|l+上』=--,I

Zn2nH42n

（3）证明：当，〃为偶数时，设〃?=2s（s€N”）,利用（2）可得:

日+…+2屋J2+Z2k

氏*号当「我（竽,

（2k-l211

k=l2'

当m为奇数时,设m=2s+l（sWN）,

由（1）（2）可知|z2v+i|=-

24s32^/1

•*•|Z|+Z2+*,,+Z„J|＜|Z|+Z2|+|Z3+Z4|+**,+|Z2J-l+Z2s|+|Z2s+l|

=我乂（1费）＜沔

综上，对任意正整数M均有|z,+Zc+…+Z|＜心巨.

112m12

【点评】本题考查复数的运算法则、几何意义、等比数列求和公式等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

37.（2022•嘉定区校级开学）称一个复数数列｛z〃｝为“有趣的”,若|zi|=l,且对任意正整

数〃，均有4Z“+J+2Z〃Z〃+I+Z〃2=0.求最大的常数。，使得对一切有趣的数列已力及任意正整

数m,均有|z[+z2+“+z浦2C.

【分析】根据有趣的复数数列的定义，对参数机进行分类讨论，结合数列的极限，能求出

结果.

【解答】解：考虑有趣的复数数列归纳可知z〃W0,（，正Z+）,

由条件得4（整出）2+2（之丝U+1=0（〃WN+），

znzn

解得马旦=-1土鱼i(HGN+),

Zn4

：.\z„\=\z\\--^-=—^-(/?GN+),①

2n-12n-1

3

进而有|Z"+Z"||=|Z〃|・|1+上M■尸」■7・|士愿i尸返(〃WN+),②

Zn9n-142n

记刀n=|zl+Z2+,・・+Z加I(〃?WN+),

1/Q82-1

当加=2s(s€N+)时，由①②可知，|Z2S+1|=/-V=、2S

22s3,22^1乜+]

=£।关於|22卜1+2及|=哼，

k=s+l2k=s+l6

当机=1时，T[=|zi|=l＞返.

3

以上表明c=近满足要求，

3

另一方面，当zi=l,Z2a=匕坐上，z2Ml=7二（依N+）时,

n2kn2k+l

由题意知｛z〃）为有趣的数列,

此时小=恐⑶+£产”2k*）।二必।唁贽^

I”士®•笨亘

833

这表明。不能大于:返

3

综上，所求。的值为近.

3

【点评】本题考查新定义问题，涉及数列的极限、数列的新定义、复数的运算等基础知识,

考查运算求解能力，是难题.

【考点7】复数的三角表示（共5小题）

38.（2022春•嘉定区校级期末）复数的三角