高考数学抛物线的性质重点题型

抛物线的性质

适用学科高中数学适用年级高二

适用区域苏教版课时时长(分钟)60

1、抛物线的简单性质

知识点2.抛物线性质的应用

3.直线或物线问题

1.知识与技能

(1)探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法.

(2)掌握抛物线的简单几何性质.理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数

教学目标

形结合解决实际问题.

2.过程与方法

(1)通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生

观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力.

(2)通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结

合思想解决问题的能力.

3.情感、态度与价值观

通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育,通过对抛物线对称美的感受，激发学生对

美好事物的追求.

教学重点掌握抛物线的几何性质.使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用.

教学难点抛物线各个知识点的灵活应用.

教学过程

课堂导入

太阳能是最清洁的能源.太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子.太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称

轴旋转一周形成的曲面.它的原理是太阳光线（平行光束）射到抛物镜面上，经镜面反射后.反射光线都经过抛物线的焦点,

这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据.

师：抛物线有几个焦点？

【提示】一个.

师:抛物线的顶点与椭圆有什么不同?

【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点.

一、复习预习

I、复习抛物线的定义及标准方程的内容

2、提问双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？

（从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质.）

二、知识讲解

考点1抛物线性质

类型/=2px(p)0)y2=-2Px(p>0)fy(p〉0)F=-2py(/?>0)

F(0,-与)

焦点尸（错误！，0）尸（-错误！，0）F(Of

准线x二-错误！x二错误！>'=-错误！>"2

范围x20,vWRxGR,v^OxERjWO

性对称轴上轴）轴

顶点

质0(0,0)

离心率e=1

开口方

向右向左向上向下

向

考点2直线与抛物线

1、通径：过抛物线)，2=2px(p>())的焦点且垂直于抛物线的轴的弦AB,叫做抛物线的通径，

其长为叫做抛物线的2〃.

2、抛物线焦半径公式：设P(x0,yo)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则|尸耳=%+§y2=2px(p<0=上任意一

点,F为焦点,贝叫=-V0+y；

3、抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB,A(Xi,yi1B(x2,y2)，则有如下结论：(1)|A耳=Xi+x2+p;(2)yiy2=

~P2,X1X2=BL；

4

三、例题精折

[例题1]

【题干】已知抛物线的焦点/在X轴上，直线/过/且垂直于轴，/与抛物线交于A、B两点,0为坐标原点,若,'OAB

的面积等于4,求此抛物线的标准方程.

【答案】y2二±4错误!工

【解析】由题意，设抛物线方程为产二双（。工0）.

焦点尸（错误！，0）,直线/比二错误！，

./、B两点的坐标分别为（错误！，错误!），（错误！，-错误!）,

：.AB-\a\,

・•,△OAB的面积为4,

，错误!错误！|•|。|二4一.。=±4错误！，

..・抛物线的方程为r=±4错误以

[例题2]

【题干】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆看+错误！=1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离

为5,求抛物线的方程.

【答案】9=20%或产-20%。

【解析】•••椭圆错误！+错误！=1的焦点在y轴上,

•••椭圆错误！+错误！=1短轴所在的直线为x轴.

•,・抛物线的对称轴为工轴.

，设抛物线的方程为产二心（〃样0）.

...|错误！|=5•.加二±20.

「•所求抛物线的方程为/=20r或产=・20工

【例题3】

【题干】已知抛物线方程为r=2Pxs>0).过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于4B两点，且=错误!P,求AB

所在直线的方程.

【答案】）:2（x-错误！）或产-2（x-错误！）.

【解析】法一焦点F（错误！，（）），设A（孙户\B（股,），2）,若AB±Ox，则A8:2〃〈错误!小

所以直线AB的斜率存在，设为人则直线AB的方程为尸依-错误！），y0.由错误！，消去照整理得收-2py-kp2

2

=0。由韦达定理得，y\+y2=错误！，y\yi=-po

「•48二7（xi-⑼2+⑴-"A

=错误！

=错误!•错误！

=2p（1+错误!）二错误!〃，解得2二±2。

,-AB所在直线方程为y=2（x-§）或y=-2（x-错误！）.

法二如图所示,抛物线）2=2Px（p>0）的准线为x=-错误！，A（x\,y\\8（必丹）,

设A、8到准线的距离分别为dA,dB.

由抛物线的定义知，

AF=以二川+错误！，办=X2+错误!，

于是=r+照+〃=错误!p,Xi+九二错误!〃.当xi=X2时,48=2P（错误!p,所以直线A6与不垂直.

设直线AB的方程为），二%（x•错误!）.

2

由错误！得A・/X3+2）x+错误!以2=0/+X2;错误！二错误!〃解得k=±2，所以直线AB的方程为），=2（x・错误!）

或y二・2（x・错误!）.

[例题4]

【题干】斜率为错误!的直线经过抛物线『二8丁的焦点，且与抛物线相交于A,月两点，求线段的长.

【答案】10

【解析】设4汨，V），8（X2,户），则对于抛物线x2=8），，焦点弦长A3=p+（V+闻=4+（），1+泌）.

因为抛物线f=8），的焦点为（0,2）,且直线AI3的斜率为3，所以直线八8的方程为），=错误!工+2，代入抛物线方

程x2-gy,得y2・6y+d-0,从而yi+>2-6,所以AB-10.

即线段的长为10.

【题干】已知P是抛物线炉=41上任意一点，点A(a,0),试求当PA最小时P点的坐标.

【答案】P点的坐标为:时，P(0,0)；a>2时,P(a-2,±2错误!).

【解析】设则以二错误！

二错误！

二错误!.

,.工2D,aWR,

..•需分类讨论如下：

(1)当。-2W0即〃W2时，外的最小值为⑷，此时P(0,0).

(2)当〃・2>0即〃>2时，则x=a・2,必取得最小值为2错误！，此时P(4・2,±2错误！).

综上所述，PA最小时，。点的坐标为:时，

P(0,0)M>2时，P(a-2,±2错误!).

【例题6】

【题干】求抛物线y"上的点到直线工-y-2=0的最短距离•

【答案】错误!.

【解析】法一设抛物线），=f上一点P（x。,刈）到直线/：公广2=0的距离为d,

贝!Jd二错误！二错误！二错误！|（X0-错误！尸+错误!I.

当灿=错误!时，dmin二错误!.

法二错误!消去y得f・X■机=0令/=1+4机=0得m=■错误！，

，切线方程为x-y-错误！=0,

•,最短距离为d=错误!=错误!借误!o

[例题7]

【题干】求过定点ao,I）且与抛物线），2=2A•只有一个公共点的直线方程.

【答案】X=O或尸1或）=5+1.

【解析】若直线的斜率不存在,则过点P（o,1）的直线方程为x=o。

由错误!彳导错误！

.•.直线戈二0与抛物线只有一个公共点.

若直线的斜率存在，则由题意设直线的方程为,，二心+L

由错误!消去y得以2+2（%-1）x+I=0。

当k二0时,有错误唧直线y=1与抛物线只有一个公共点.

当七30时，有/=4（4・1）2・41=0,.7=错误！，

即方程为），二错误!；1+I的直线与抛物线只有一个公共点.

综上所述，所求直线的方程为k0或.V=1或），=错误!％+1.

四.课堂运用

【基础】

I.设抛物线的顶点在原点.准线方程为x=-2,则抛物线的方程是

【答案】尸二8工

【解析】•「错误！=2,/.p=4,.■抛物线标准方程为=8乂

2.经过抛物线,\，2=2/»（p〉0）的所有焦点弦中，弦长的最小值为

【答案】2P

【解析】通径长为2P.

3.过抛物线V二心的焦点作直线与抛物线相交于尸⑺，yi），Q（X2,J2）两点，若XI+X2=8,则PQ的值为

【答案】10

【解圻】PQ=X\+X2+2=\0.

4.抛物线V=心的焦点到双曲线f-错误！=1的渐近线的距离是

【答案】错误！

【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),

双曲线的渐近线方程为错误lx-y=0或错误!A+y=0,

则焦点到渐近线的距离由二错误！二错误!或小二错误！二错误!.

【巩固】

I.已知等边三角形AO8的顶点人,8在抛物线./=6x上，O是坐标原点，则△八。8的边长为

【答案】12错误!

【解析】设MOB边长为。，则4错误!。，错误!），.二错误！=6X错误!”。

12错误!。

2.过抛物线y=ox2（。＞0）的焦点F作一条直线交抛物线于尸、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为〃八〃，则错误!

+错误！二_________

【答案】4a

【解析】由焦点弦性质知白+错误！=错误！，抛物线的标准方程为『二错误）（加0）,「.2〃二错误!，〃二错误!,

••・错误！+错误！=4〃，即错误！+错误！=4&

3.已知弦AB过抛物线V=2px(〃>0)的焦点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是

【答案】相切

［解圻］设A(xi,yi),B(X2,yi),AB中点为),如图,则AB=AF+B/7=xi+木+〃.

设4,B,M到准线/：x=-错误!距离分别为d\,ch,d,则有d\-x\+错误!,由二42+错误！，

d二错误！二错误！二错误！，

••以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

4.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米.水面宽4米,水位下降1米后，水面宽米.

【答案】2错误！

【解圻】设水面与拱桥的一个交点为A,如图所示，建立平面直角坐标系,则A的坐标为(2,-2).

设抛物线方程为AT=-2py(p>0),则2?二-2pX(-2,得/?=1.

设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(孙-3),贝！h错误！=6,解得次=土偌误！，所以水面宽为2错误!米.

-3-2/f3*

-2)

【拔高】

1.设抛物线顶点在原点，焦点在），轴负半轴上，M为抛物线上彳J点，若点M到直线/：3x+4），・14=0的距离的

最小值为1,求此抛物线的标准方程.

【答案】/二・16/

【解析】设与/平行的切线方程为3.r+4），+m=0,

由错误!得泊・3陛-〃e=0。

=0即m=-错误!p.

又八错误！=1,.・.〃=8或〃二错误！（舍），

•・抛物线的标准方程为f=・16%

2.过点(0,4),斜率为-1的直线与抛物线y2=2Px(p>0)交于两点A,比如果OA±OB(O为原点)求抛物线的

标准方程及焦点坐标.

【答案】(1,0).

【解析】直线方程为y=-x+4.由错误!消去y得f-2(p+4)x+16=0。

2

设AQi,yi),8(X2,则xi+X2=2(p+4),X1X2=16,J=4(p+4)-64>0o

所以yi”