第3章 空间向量与立体几何 §32 立体几何中的向量方法 （二）- 利用向量方法求角-第3章 空间向量与立体几何 §32 立体几何中的

§3.2立体几何中的向量方法（二）

——利用向量方法求角

----…对点讲练一^----

知识点一求异面直线所成的角

⑥例1已知平行六面体ABCD—AiBiGD］的所有棱长都是I,且NA|AB=NA|AD

=ZBAD=60°,E、F分别为A|B|与BBi的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值.

解如图所示，

解如图所示，

设AB=a,AD=b,AA\=c.

则IaI=Ib|=|c|=1,

<a,b>=<b,c)=(a,cj=60°,

1

.・.a,b=…b*c=a-c=—,

2

而BE-BB\+B\E=--a+c.

2

CF=CB+BF=-c,

一9

•,・|“|=yj^\a\2+\c\2-a'c=坐,|CF\=坐

BECF=(—5+c)(i+5)

8s〈丽‘次〉

.••异面直线BE与CF夹角的余弦值是行

【反思感悟】在解决立体几何中两异面红线所成角的问题,时，首选向母法,

利用向量求解,若能构延空间友角坐标系，求解则更比商捷方便.

变式迁移1正方体ABCD—AIBIGDI中，E、F分别是AQi、AiG的中点.求：异面

直线AE与CF所成角的余弦值.

解不妨设正方体棱长为2,分别取DA、DC、DDi所在直线为x轴、y轴、z抽建立

如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、

E(l,0,2)、F(l,l,2),由A£=(-1Q,2),

CF=(l,—1,2),得|AE|=A/5,\CF\=加.

，AECF=-\+0+4=3.

又AE-CF=\AE\-\CF\­cos(AE,CF)

=病cos(AE,CF),

荏，CF)<

•*.cos

x/30

.••异面直线AE与CF所成角的余弦值为

"io"

知识点二求线面角

⑥例2正三棱柱ABC—AIBIG的底面边长为a,侧棱长为啦a,求AG与侧面ABBIAI

所成的角.

解方法一

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a.O),

Ai(0,0,&a),G(—察，枭/a),取AB中点M,则M(0,去6a)

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,连结AM、MCi,有

MG=（一察，0,0）,而=（0,a,0）,AA\=（0,0,ga）,

由于MC\・AB=D,MC\•AA\=0,

...MGJL面ABB.Ai.

ZC.AM是AG与侧面AB所成的角o.

AC\=（—坐a,I，7a）,AM=（0,5,隹a）,

ACi-AM=U十十十2a?=争

而|ACi|=、y^4^+2a2=45a,

9a~

~_V3

cos（AC\,AM）

V3aXy2'

.,・（AC；,AM）=30°,

即AG与侧面ABi所成的角为30。.

方法二（法向量法）（接方法一）

而=（0,0,啦a）,A6=（0,a,0）,

设侧面A]B的法向量〃=（Lx,y）.

/.ivAB=0且zrAAi=0

ax=0,且也ay=0.

.*.x=y=0,故〃=（入，0,0）.

AG=（—坐a,I，\»a）,

.e、_〃•而2

..cos〈AC1,n）=-------------:-=i=—=-----；.

〃•]AC\|R|*V3«2kl

设所求线面角为0,则sinO=|cos（.AC\,n）|=^,8=30°.

【反思感悟】】充分利用囹形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再

用向址有关知识求解线面角.方法二给出了一般的方法，先求平面法向竹与

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斜段夹角，再进行换算.

变式迁移2

如图所示，己知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS_1"平面ABCD,AD〃BC,

AB1BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角0的余弦.

解由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如

图所示).设AB=I,则A(0,0,0),B(0,l,0),C(1J,O),D&0,0),S(0,0J).

s

AAS=(0.0.1),CS=(-1,-1.1).

AS是底面的法向量，它与已知向量小是底面的法向量,

故有sinO=cos0=答5f=]了1二二亚丁，

它与已知向量CS的夹角p=90°-0,

|AS||CS|1Xv3-

于是cos0=N1—sin%=争.

知识点三求二面角

®.®3如图，四棱锥P—ABCD中，PB_L底面ABCD,CD1PD,底面ABCD为直

角梯形，AD〃BC,ABJ_BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.求二面角A

-BE-D的余弦值.

解以B为原点，以BC、BA、BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设平面EBD的一个法向导为〃i=(x.y.l).

因为=(0,2,1),BD=(3,3,0),

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2y+1=0

由___得

用"。二。,3x+3y=O

(I

x=2

所叫i

?="2

于是M=(*-I，1).

又因为平面ABE的一个法向量为

/12=(1.0,0),

所以，COS<«|,11>)=t=乎.

所以，二面角A—BE—D的余弦值为乎.

【反思感悟】几何法求二面用，往往需要作出平面用，这是几何中一大难

点，而用向量法求解二面•角无需作出二面角的平面■角，只需求出平面的法向量,

经过旃单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用.

变式迁移3若PA_L平面ABC,AC±BC,PA=AC=1,BC="求二面角A—PB—C

的余弦值.

解

如图所示，建立空间直角坐标系，则

A(0A0),B(61,0),C(O,LO),P(0,0,l).

4户=(0,0,1),AB=(AJ2,0.0),CP=(O,-1.1),

设平面PAB的法向量为股=(x,y,z)

iffAP=O,

则<一=>

nfAB=0,

(x,y,z)-(0,0,1)=0fy=-V2x

.(x,y,z>(V5,1,0)=0lz=0

令x=l,则帆=(1,一g,0).

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设平面PBC的法向量为〃=(x',y',z'),则

〃•而=0,1(x',y',z'＞框0,0)=0|xz=0

•CP=0.^1(x1,y',z')-(0,—1,1)=0=1y'=z

令y'=-l,则〃=(0,-I,-1).

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m-n\[3

.*.cos{m,加

=丽=31

，二面角A—PB—C的余弦值为竽.

课堂小结：

1.两条异面直线所成角的求法

（1）向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b,其夹角为则有cosf）=|cos（p|=i^j6.

（2）两异血直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全

相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异而直线所成的角.

2.直线马平面所成角的求法

设直线I的方向向量为。，平面的法向量为〃，直线与平面所成的角为仇。与“的夹角

为中，则有

sin9=|cos(p|=慌j或cosO=sin(p.

3.二面角的求法

A/j与五的夹角（如图①所示）.

（2）设〃八“2是二面角a—1—P的两个面a、0的法向量,则向量〃/与〃2的夹角（或其补

角）就是二面角的平面角的大小（如图②所示）.

一课时作业一i

一、选择题

1.若直线h的方向向量与12的方向向量的夹角是150。，则h与12这两条异而直线所成

的角等于（）

A.30°B.150°

C.30。或150°D.以上均错

答案A

2.若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角等于I5（F,则直线I与平面a所成的

角等于（）

A.30°B.60°

C.150°D.以上均错

答案B

3.直角三角形ABC的斜边AB在平面a内，直角顶点C在a内的射影是C',则△ABC'

是（）

A.直角三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.各种情况都有可能

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答案B

解析V0=CA-CT=(CC+CA)•(CC'4C'B)

=\CC'\2+C^A•C7^.

.・・c5i•c7^=-ICC*I2<o,

因A,B,C'不共线，故NAC'B为钝角.

4.如图所示，在正方体ABCD—AiBCiDi中，M,N,P分别是棱CCi，BC,A）B|±

的点，若NB|MN=90。，则NPMN的大小是（）

A.等于90。B.小于90。

C.大于90。D.不确定

答案A

解析A|B1_L平面BCGBi,故A|B|_LMN,

MPMN=(MB)+B>)MN

=MB：MN4-B>MN=O,

AMP1MN,即NPMN=90°.

5.在正方体ABCD—AIBIGDI中，点E为BB|的中点，则平面A】ED与平面ABCD

所成的锐二面角的余弦值为（）

答案B

二、填空题

6.若两个平面a,p的法向量分别是〃=（1。1）,*=（一则这两个平面所成的锐

二面角的度数是.

答案600

解析v)=120°.

7.正方体ABCD—AIBIGDI中，M,N分别是DDi，BiG的中点，P是棱AB上的动

点，则AiM与PN所成的角是.

答案90°

解析设正方体每幼之长为1.因

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A\M=AiD\+D\M

=A\D\+^D|D,

'_・__.->I-►

PN=PB+BBI+5BQ,

AiMPN=（A；bi+^5Tb）.（pQ+BB\4-1BTCC

=A1£>1工I十;iJfb•函W=0,

・•・A\MJ_丽，即A,M与PN所成的角为90°.

三、解答题

8.己知正四棱锥S—ABCD的侧棱长为6，底面的边长为小，E是SA的中点，求异

面直线BE和SC所成的角.

解建立如图所示空间直角坐标系.

由于AB=小，SA=啦，

可以求得SO=^.则

B惇,察0）,A停—坐0）,

c（一事坐，。）,s（o,0,孚）

由于E为SA的中点，

所以始，邛,峪

所以8后=（一小，一手，嗡，

SC=（一笔当,书

因为•攵=-1,

\BE\=y[2,|SC|=啦,

所以cos《Bg,SC）=地]于=-今

所以(BE,SC)=120。.

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所以异面直线BE与SC所成的角为60°.

9.如图所示，在正方体ABCD—AiBiGDi中，已知AB=4,AD=3,AA)=2,E、F

分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=I,

(1)求二面角C—DE—Cj的正切值：

(2)求直线ECi与FDi所成角的余弦值.

解⑴

以A为原点，AB、AD,AAi分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则有D(0,3,0),D|(0,3,2),E(3,0.0),F(41,0),G(4,3,2),

于是。月=(3,-3,0),EC\=(1,3,2),Fb=(-4,2,2).

设平面CiDE的法向量为n=(x,y,z).

则n_LO£,n±EC\

，3x-3y=0,

x+3y+2z=O.

.,.x=y=-z.令z=2,

则〃=(一I,-1,2).

•・•向量A4；=(0,0,2)是平面CDE的一个法向量，

••・〃与向量AA；所成的角0为二面角C—DE—Ci的子面角.

门n-AA\V6.八代

.cos0=------_=-----,..tan0="7r.

|n||A4i|32

(2)设EG与FDi所成角的为仇

则cos3==^^.

10.正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2.E、F分别

是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF的•个平面与侧棱OA、OB.OC或其延长线

3

-

分别相父十Ai、Bi、G，2

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⑴求证：