初三几何5旋转1基本模型(2024-2025)教师

2024年中考解决方案

旋转1—基本模型

旋转1

内容基本要求略高要求较高要求

了解图形的旋转，理解对应点能按要求作出简洁平

到旋转中心的距离相等、对应面图形旋转后的图能运用旋转

旋转点及旋转中心连线所成的角形，能依据旋转前、的学问解决

彼此相等的性质；会识别中心后的图形，指出旋转简洁问题

对称图形中心和旋转角

_.、旋转有关概念

旋转基本概获《解决方案高分必备》，请协作该课本运用

二、旋转秘籍（旋转前提，有等线段）

国秘籍：四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）

解读：等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于

各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来

断等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）

曲等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）

曲等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）

断不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相像）

旋转秘籍：图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰

三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后及另一腰重合.

图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角

形绕顶点旋转处角后及另一边重合.

图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶

点旋转90。角后及另一边重合.

等边三角形

【例1】如图，已知AABC和AADE都是等边三角形，B、。、。在一条直线上,

试说明CE及AC+8

相等的理由.

［答案］,IAC=AI39/C4£=N的。，AE=AD

又•:BD=BC+CD=AC+CD

【巩固】已知：如图，点C为线段上一点，zMCM,△CBN是等边三角形.

求证：①A4CN空②△CQE是等边三角形；③C尸平分4所

【答案】第三问提示，往角两边作垂线，利用全等三角形高相等.

【例2】平面上三个正三角形ACV,AAD,BCE两两共只有一个顶点，求证：EF

及CD平分.

【答案】连接。£及/*

/.在AD8E及AABC中

在ISDFA及gCA中

，A£>M^ABC4（SAS）/.DF=BC=EC：.四边形。改尸

为平行四边形，・・・斯，C。相互平分.

【例3】已知，在AABC中，Z4C8为锐角，。是射线8C上

一动点（。及C不重合），以4）为一边向右侧

作等边AADE（。及E不重合），连接CE.

（1）若03c为等边三角形，当点。在线段火上时（如图1所示），则

直线初及直线CE所夹锐角为度；

（2）若小城为等边三角形，当点。在线段8c的延长线上时（如图2

所示），，尔在⑴中得到的结论是否仍旧成立？请说明理由；

（3）若A4AC不是等边三角形，且AOAC（如图3所示）.摸索究当点

D在线段比上时，你在（1）中得到的结论是否仍旧成立？若

成立，请说明理由；若不成立，请指出当48满意什么条件时,

能使（1）中的结论成立，并说明理由.

【答案】（1）的；

（2）成立.

•/是等边三角形，AAB-AC,NR4C=60。，

是等边三角形，AAD=AE,ZDAE=60\

即直线9及直线CE所夹锐角为6（T.

（3）原结论不成立.当ZAC8=60。时，才能使⑴中的结论成立.

当ZAC8=60。时，在8C上取一点G,使得CG=AC,

则A4GC是等边三角形，JAG=AC,NGAC=60。，

・.・zW）E是等边三角形，AAD=AE,ZDAE=C^9

・••当ZAC8=60°时，能使⑴中的结论成立.

等腰直角三角形

【例4】如图，AA8C中，AB=AC,ZBAC=90°,D是8c中点，ED^FD,ED及AB交

于E,FD及

AC交于F・求证：BE=AF，AE=CF.

【答案】连结

口tJA

丁。是8C中点

/.ZBAD=45°且A£>JLAC

在MZ龙及AAOF中，AD=BD,ZZ14F=2®=45°P/BDE=ZADF

，总结：若A3=a贝ljAE+AF=AE+8石=AB=a

【巩固】在等腰直角AABC中，ZACB=90°,AC=8C,M是AB的中点，点P从

8动身向C运动，MQLMP交AC于点Q,试说明AMPQ的形态和面积

将如何改变.

【答案】连接CM.因为AC=8C且ZAC8=90。，所以/8=45。.A1\

因为M是的中点，所以ZAMC=4MC=90°,

NACM=45。且CM=4例，则NACW=N3.

因为MQ_LMQ,所以NQMC=90O-NCMQ=4M8,

所以AQCMgAPBM,所以QM=PM.CPB

因此AMPQ是等腰直角三角形，在尸的运动过程中形态不变.

AMPQ的面积及边的大小有关.当点P从3动身到BC中点时，面积

由大变小;

当尸是3c中点时，三角形的面积最小；P接着向点C运动时，面积又

由小变大.

【巩固】等腰直角三角形ABC,Z/4BC=90°,AB=a,。为AC中点，/EOF=45°,

试猜想，BE、BF、即三者的关系.

【答案】如图，过点。作OGJ_OE,交6c于G,

连结。8,易知纥△Q8E,

BE=CG>又.：EO=OG,

又•:ZB=90°,

；.BE、BF、EF又存在另一关系式BE?+BE2=EF?

留意：关于三条线段的两个结论.

【例5】如图1,已知A43c中，AB=BC=1，ZABC=90°,把一块含30。角的直角三

角板的直角顶

点。放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为小，长直角边为

DF）,将直角三角板。即绕。点按逆时针方向旋转.

⑴在图1中，DE交AB于M,DF交BC于N.

①证明DM=DN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF及A4BC的重叠部分为四边形

DMBN,请说明四边形以仍N的面积是否发生改变？若发生改变，请说

明是如何改变的？若不发生改变，求出其面积；

⑵接着旋转至如图2的位置，延长交力石于M,延长8c交。尸于N,

/加=/加是否仍旧成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理

由；

⑶接着旋转至如图3的位置，延长㈤交8c于N,延长ED交加于

/泌=/是否仍旧成立？请写出结论，不用证明.

【答案】⑴在R04ZK;中，•.•/W=3C,AD=DC.

方法一：

方法二：

②四边形DMBN的面积不发生改变；

由①知：MMDqMJND,

（2）=仍旧成立，

证明：连结

在RtAAAC中，VAB=BC,AD=DC,

（3）DM=DN.

【巩固】在RtZ\4比中，AB=BC，N尻90,，将一块等腰直角三角板的直

角顶点。放在斜边力。上，将三角板绕点0旋转.

(1)当点。为力「中点时，

①如图1,三角板的两直角边分别交相，BC于E、尸两点，连接

EF,猜想线段AE、C尸及所之间存在的等量关系(无需证明)；

②如图2,三角板的两直角边分别交相，延长线于E、尸两点,

连接“，推断①中的猜想是否成立.若成立，请证明；若不成

立，请说明理由；

(2)当点。不是中点时，如图3,,三角板的两直角边分别交A8,

8C于E、尸两点，若，

求空的值.

OF

图1图2

图3

【答案】(1)①猜想：AE2+CF2=EF2.

②成立一.

证明：连结.EO

AB=BC,ZA3C=90,。点为AC的中点，

*.*ZEOF=90°，AEPB=/FOC,又ZEBO=/FCO,

又,[BA=BC,：.AE=BF.

在RtbEBF中，Z£SF=90°,BF2+BE2=EF\AE2+CF2=EF2.

(2)解：如图，过点。作〃KL/夕于机QALL8C于Ai

正方形MOM和AXN为等腰直角三角形，V1

【例6】如图，正方形斯G”的顶点E在正方形/W8的中心，且］轲让学

边长都为4,则阴影部分面积B7^C

为()

A2B4c6D8

【答案】8

【解析】图中的阴影部分是一个不规则的四边形，干脆求它面积比较困

难.假如把正方形所G”看作可以

围着点上转动，那就转动到右上图位置，阴影部分就变成一个正方形且面

积不变.易得它的面积是原来正方形面积的L所以答案选入

4

【巩固】如图，正方形OGHK绕正方形A8。中点O旋转，其交点为E、F,

求证：AE+CF=AB.

【答案】正方形A38中，ZI=Z2=45°,OA=OB

-rfUZ3+Z4=90o,Z4+Z5=90°

留意：正方形A58的边被覆盖部分的总长度为定值：正方形的边长.

【例7】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形版，

ZAEB=90°,AC、BD交于O.已

知AE、8E的长分别为3°〃、5cm,求三角形AOBE的面积.

【答案】明显N8OA=/8£4=90。，

所以AOBA+ZOAB=AEBA+ZE4B=90°，

所以NO8A-N£BA=ZEAB-,

所以/QBE;NO4E,

则逆时针旋转AOE490。，则04及04重合，

£落在班上.是等腰直角三角形.

则££,=5-3=2，

-

简洁得到SAO庄,=：x2x2=1CITI.

所以&由=以|=2.5cm2.

【例8】已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且

AF=DE.

（1）如图1,推断AE及BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加

以证明；

（2）如图2,对角线AC及BI）交于点0.BD,AC分别及AE,BF交于

点G,点H.

①求证：OG=OH；

②连接OP,若AP=4,0P=V2,求AB的长.

囱

（2024,7：!丽BWI年级瞰

【答案】（1）解：AELBF.

理由如下：・・,四边形A88是正方形，

在上AM和中，,

（2）①证明：・・•四边形A3CQ是正方形，

VZDAE=ZABF（已证）,

BPZOAG=ZOBH,

在MAG4OBH中，，

②解：如图2,过点。作。MLAE于M,作ON工BF于N,

•LOAG-OBH（已证），

在MX7/W和.OHN中，，

・•・四边形OMPN是正方形，

在Rf八AOM中，OA=A//W24-OM2=A/F+F=>/26，

二.正方形ABC7）iiixAB=y/2OA=y/2x>/26=2\/\3.

AB=V2OA=V2XV26-2V13.

【例9】如图所示，在四边形ABC。中，ZAZX7=ZABC=9O°,AD=CD,DPLAB于P,

若四边形ABC。

的面积是16,求/*的长.

【答案】如图，过点。作

延长3C交DE于点E,口K

简洁证得MDP^ACDE

（事实上就是把尸逆时针旋转90。，得到正方形分砥，|C

•・•正方形。尸班的面积等于四边形MCD面积为16,JD］=4J____________

ApB

【例10］如图，正方形A8CD中，ZFAD=ZFAE.求证：BE+DF=AE.

【答案】延长。8至M,使得BM=D尸,连接

易证得：AABM^AADF,从而可得：

ZAMB=ZEAM,&AE=EM=BE+BM=BE+DF.

【巩固】如图，正方形A8C。的边长为］，点F在线段8上运动，AE平分㈤尸

交8C边于点E.

(1)求证：AF-DF+BE.

(2)设"'=x(OWxWl),A41邛及A48E的面积和S是否存在最大值？若

存在，求出此时工的值及S.若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明：如图，延长a至点G,使得AG=£）尸，连结AG.

因为旗8是正方形，

，在RtAADF和RtAABG中,/V）=人A,

/.AF=AG,Z.DAF=^AG.又丁AE是的F的平分线.

BPZEAD=ZGAE,VAD//BC,/.ZGEA=ZEAD,

AZGEA=ZGAE,/.AG=GE.gpAG=BG+BE.

；.AF=BG+BE,得证.

（2）S=S^DF+S^BE=^DFAD^^BEAB,vAD=AB=\,・・.s=g（z）/+8£）由（1）

知，AF=DF+BE,所以S=：AF.在RiAAO产中，AD=\,DF=x,

：.AF=47T\9A5=17771.由上式可知，当『达到最大值时，

S最大.而0—W1,所以，当x=l时，S最大值为:庐］=；夜.

【例■】如图①，一等腰直角三角尺G）的两条直角边及正方形钻8的两条

边分别重合在一起.现正方形MS保持不动，将三角尺GEF绕斜边所

的中点。（点0也是四中点）按顺时针方向旋转.

（1）如图②，当）及相交于点M,GV及3D相交于点N时，通过

视察或测量孙的长度，猜想小满意的数量关系，

并证明你的猜想；

（2）若三角尺G"旋转到如图③所示的位置时，线段庄的延长线及

加的延长线相交于点线段即的延长线及G的延长线相交于

点N,此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成

立，请说明理由.

【答案】（1）3〃=3.

证明如下：因为AG"是等腰直角三角形，四边形"CO是正方形，

所以ZA4/）=N〃=45。,OB=OF•

又NBOM=NFON,所以B|JBM=FN.

⑵BM=7W仍旧成立.

理由是：因为AG"是等腰直角三角形，四边形ABCQ是正方形，

所以ZDBA=NGFE=45。,OB=OF.

所以ZMBO=4/FO=135。.又/BOM=4FON,所以AOBM四AOEN,所以

BM=FN.

真题拔高

如图，A4AD和AC£D均为等边三角形，AC=BC,AC^BC.若BE=C,则

CD=_______.

【答案】痒1.

【解析】易知ACDB”ACDA"/\EDB,从而BC=AC=BE=&,AB=2,

由NCZ）A=NC/汨知CQ是15D一条高的一部分，

不难算出答案为6-1.

【例12]已知RiAABC中，AC=BCfZC=90°,D为AB边的中点，ZED产=90。，ZEDF

绕。点旋转，它的两边分别交AC、C8（或它们的延长线）于E、F.

当ZEDF绕。点旋转到。E_L4C于E时（如图1）,易证AABC.当

ZEDF绕。点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种状况下,

上述结论是否成立？若成立，请赐予证明；若不成立，S。，Sg-，

S会.又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【答案】图2成立；图3不成立.

证明图2：

过点O作WAC,DN1BC

则ZDME=ZDNF=AMDN=90°

再证=广，DM=DN

有ADME^^DNF

由信息可知s四叱"8c2S/\ABC

图3不成立，S“C.、SMBC的关系是：SWEF_SMEF=5S&\8C

【例13]如图①，在AABC中，D、E分别是他、AC上的点，且DE//BC,将A4DE

绕4点顺时针旋转肯定角度，连结切、CE,得到图②，然后将加、

C£分别延长至M、N,使EN=；CE,连结AM、AN、MN,

得到图③，请解答下列问题：

（1）若A8=AC,请探究下列数量关系:

①在图②中，曲及CE的数量关系是

②在图③中，猜想AW及你的数量关系、MV及/班。的数量关系,

并证明你的猜想；

（2）若科=小念（人］），按上述操作方法，得到图④，请接着探究：

AM及/W的数量关系、ZAWV及/加C的数量关系，干脆写出你的猜想,

不必证明.

（09年朝阳二模）

图①

图②

图③

图④

【答案】⑴①如=。石

证明：在和AC4E中

VZBAC=ZDAEAABAD=^CAE,由题意矢口：AB=ACiAD=AE

・.BD=CE,ZABD=ZACE,又DM=-BD,EN=-CE,•・BM=CN

22

证明如下

又DM=-BD,EN=-CE,/.BM=-BD,CN=-CE,/.—=—=—,

2222CNCEAC

/.\ABM^\CAN

【例14】已知，A48C中，AB=3,Za4C=12O°,AC=\,。为AB延长线上一点，BD=l,

点?在的C的平分线上，且满意小是等边三角形.

（1）求证：BC=BP；

（2）求点。到所的距离.

【答案】⑴解法一：连结也

*/ZBAC=\20°,"平分NBAC,

・・•AEW是等边三角形，.・.以=叨，〃=60。，

...AP8C是等边三角形，BC=BP.

解法二：作8W〃四交也于M,证明AP8V/N

证明过程略.

⑵解法■：作CEJ•尸6丁石，尸尸_LA6丁尸.

E

'P

N

APS是等边三角形，PFA.AB,

即点。到利的距离等于与.

解法二：作BN_LDP于N,

以下同解法一.

【例15］如图1,若MAC和MPE为等边三角形，例，N分别加C。的中点，易证:

CD=BE,AAMV是

等边三角形.

（1）当把皿绕A点旋转到图2的位置时，8=跖是否仍旧成立？

若成立请证明，若不成立请说明理由；

（2）当闻汨绕A点旋转到图3的位置时•，匈w是否还是等边三角形？

若是，请给出证明，并求出当=时，AAQE及AAM及。"N的

面积之比；若不是，请说明理由.

【答案】（1）CD=BE.理由如下：

・・・AA3C和AAOE为等边三角形

（2）即是等边三角形.理由如下：

・.・”、N分别是亚、C。的中点，「・/，M=：BE=gcO=CN

・•・AWN是等边三角形.

设AO=a,贝ljAZ?=2«.

•/AA小为等边三角形，

・\ZADC=900・••在RtAAOC中,AD=a,Z4CD=30°,

/.CD=43a.•・2为DC中点，二，

,:ME,MBC,为等边三角形，

解法二：即是等边三角形.理由如下：

•?MBE^MCD,M、N分别是帆、6的中点，

・・.A4AW是等边三角形

设4）=〃，贝ljAO=AE=OE=a,AB=BC=AC=2ci

易证8E_LAC,工BE=jAB?-AE，==瓜,

*/AADE,MBC,AWN为等边三角形

【例16】已知：在四边形Asm中，AD//BCfZBAC=ZDf点E、户分别在这、6上,

且

ZAEF=ZACD^,摸索究/夕及旗之间的数量关系.

（1）如图1,若人B=8C=AC,则八七及所之间的数量关系为

（2）如图2,若心一〃C,你在（1）中得到的结论是否发生改变？写

出你的猜想，并

加以证明；

（3）如图3,若AB=kBC,你在（1）中得到的结论是否发生改变？写

出你的猜想，并

加以证明.

(

09年海淀二模）