高考数学微专题集不动点与数列(原卷版+解析)

不动点与数列

一、什么是不动点

取两根长短不一，有着同样刻度（但长度单位不同）的尺子（比如：一根长5cm,一根长5

寸），我们将其中较短的一根无论放在较长尺子的什么地方，只要短尺全部落在长尺内（图

1-1）,则两根尺子总有某刻度，它们的数值是相同的（如图中的“A”这一刻度），这个数值相

同的刻度，就是这种移动变换下的一个不动点.

一根橡皮绳子上打着许多结，当你均匀拉伸后，对称地放在原来的位置下面，再把绳子相应

的结用线连接起来，其中必有一条与橡皮绳垂直（图中A）,则这条垂线的结点，便是橡皮

绳在拉伸变换下的不动点.

"不动点''是一个重要的乂十分有趣的数学概念，斯丕诺（Sperner）定理可以说是不动点在数

学上有趣的应用：

把一A8C任意分割成许多小三角形（如图所示），然后把“比•的顶点分别涂上三种不同的

颜色，再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一.规则是：

若小三角形的顶点落在J8C某条边上，则这个顶点，只能涂该边两端之一的颜色，若小三

角形顶点落在a48c内，则可以任意涂三色之一.无论如何分割一48C,最后必有一个三角形

（确切些，有奇数个小三角形）使它的三个顶点恰好涂有三种颜色.从不动点观念看，这个

小三角形就是在“分割”、“着色”变换下的不动点.

历史上证明/Spemer定理后，导出了布劳韦尔（Brouwer）不动点定理：

“任怠一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点

定理的严格证明是艰深的.

由于篇幅所限，不可能给出这个证明了，但是，我们可以看看布劳韦尔不动点定理最简单而

又特殊的情况：

定理：设/("是连续函数，其定义域为［0』，值域［。』，则/("必有不动点(即存在一点

飞4°』使/(/)=%).

预备知识：

定义1对函数〃力，若存在实数小,满足〃不)=题，则称/为/‘(X)的不动点.

对此定义有两方面的理解：

(1)代数意义：若方程/(力=工有实数根%,则有不动点％.

(2)几何意义:若函数产〃力与y=”有交点伉,先),则与为y=/(x)的不动点.

利用递推数列/(〃)的不动点，可以将某些由递推关系%=/(。小)所确定的数列转化为较易

求通项的数列(如等差数列或等比数列)，这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的

递推数列如何用不动点法求其通项公式.

定义2若数列｛a,,｝满足%="4-),则称fa)为数列E｝的特征函数.

定义3方程=x称为函数/(另的不动点方程(特征方程)，其根称为函数/(x)的不动

点.

具体应用：

若数列｛6｝的递推公式为%=/(q_)把此式中的。“、q-1均换成X,得方程x=/(x),

我们把方程x=/(x)的实数根%称为数列｛q｝的不动点.利用数列｛〃”｝的非零不动点，可以转

化求等比、等差数列，继而可求出数列｛4｝的通项公式.

命题1若/(x)="+N"0,"1),x。是/(X)的不动点,%满足递推关系4=/(加)(〃>1),

则-=a(4i-％)，即｛《,-为｝是公比为。的等比数列.

证明因为是“X)的不劭点，所以时)+8二%)，所以〃7。=-5.由%得

4f=〃・%=〃(%F).

所以｛q-%｝是公比为。的等比数列.

命题2设〃”=竺子（cwOmd-儿工0）,且/（X）只有两个相同的不动点/，如果｛《.｝满

1]Or

足递推关系4=/（。1）（〃>1）,初值条件。产/（4），则-----=-~1+女.（这里k=

（一与an-\-xoa+d

证明由/（%）=为得/（%）==%,整理得氏+（d—a）%=0.

।Cl

所以〃—x°d=cK—a%,m=与卫，所以凡一%二也用一天

2cSi+a

二（〃―5卜*+1_际/

/t+d

〃一以0）<*+3；_叫

c*+d

卜，-5))1*一/)

c%+d

1ca.+d

所以-----=；------n号-------:

("5))(*7。)

二cSif)+以o+d

命题3设/（x）="'y（cHO/d-火工0）,也｝满足递推关系a.=/（4i）（〃>l）,初值条件

L•4-ia

4工〃4）,若“X）有两个相异的不动点K，a，则巴三五二入窿子.（这里〃=三§）

an-X2an-l-X2QK

证明因为X1,々是不动点,

_ax}+b

GVj4-dci12-ax=b-xd

所以，A}

_ax—^+bcx[-av2=b-x2d

X2

cx2+d

a%+6£

所以上五二4七一

ca..-\+d

44一十匕一内卜%_|+4)

aa^+b-x^ca^+d)

(。―西)4-]+071d

CX2)4T+b-X]d

("一邙应1-芯(〃-5)

(a-cx^a^-^a-cx.)

="⑶

”34-「xj

,.a-ex..a-x,a„.-x.

令L=----L,贝(j-n---L=k--2-1---L-x,

a-ex?、4一匕叫

命题2、命题3的另一种让明方法：

(1)推理

当数列递归方程满足。,向二安?

/+G

若令。M=/(1)，勺=x

根据不动点定义“x)=x,

即％=4=x，

x+C

可歹|J出方程X=—7T，整理得f+(。2-1)工-G=0.①

A*i

当判别式△=(G-if+4G=o时，该数列具有一个不动点与；

当判别式△=(6-1)2+4。|＞。时，该数列具有两个不动点七，/.

两种情况均满足数列特征方程

3+1一力乂(4一力+4(4+「6+8(4一力=0.②

(2)验证

将递归方程4"+1="/变形为an+l,an+。2•。”+1一。"一G=0,

an+5

A—x=C2

对比②式系数得，B-x=-\^

X1—Ax-Bx=—Cj

消去未知量A,B,推出等式广+（。2-1）X-G=°，

即特征方程①，证毕.

命题4设函数〃4）=竺二写=（。工0工工0）有两个不同的不动点〃，4,且由4,=/（加）确

e«x+j

/\22

定数列｛4｝,那么当且仅当人=0,e=〃时，上K=如二”.此时/3=存吗（。工0）.

a「q1%-力2ax+J

知识延伸：利用函数不动点构造桥函数求数列的通项公式.

定义2已知函数/'（x）,记工（力=/（力,工（x）=£i（x）,〃21,则又㈤称为函数“力的

〃次迭代.

定义3已知函数f（x）和g（x）,若存在可逆函数（存在反函数）（p（x）,满足

g（x）=，1/（8（x））），则函数/（x）和g"）互为相似函数，其中。（另称为桥函数.

说明（1）若g（x）=,'（/（夕（X）））,则/（工人/屈四⑼）且工（力=。&⑹（"）））.

（2）若/（x）的不动点为0,则/5）为函数g（x）的不动点.

对于数列｛q｝：已知首项外,及递推公式q=/（4.J,〃22,则数列｛%｝的通项公式即为

%二力一］（4）・若能求出，（力，则数列的通项公式即可很容易求出.而求人（"关键是需要找

到合适的桥困数8（x）,使得与“X）相似的函数g（x）能比较简单（常为一次函数或反比例

函数），从而求g〃（”，再由。（力=°（5（，（明）求。（工）.而由说明（2）乂启发我们可以

利用函数/（工）的不动点去构造桥函数9（x）.

2

桥函数的使用：己如数列｛凡｝满足：q=2,勺=7T—,〃22,求数列｛q｝的通项公式.

1+atl-\

2

解令/（x）=Y^;，则/（力的不动点为内=-2,x2=\,

构造桥函数以力二二三，则“（"=兽，

x+21-x

令雇力==07（/（言）卜一2X_3,

又g"（x）=（—2）"（x+1）—1,则力（力=9卜"（0”（司））=。

\\1-x77

尸借卜T

H)偌｝l+2

二(-2)”(2+x)-2("x)

(―2)z，(2+x)4-(l—x)

所以数列｛q｝的通项公式为4=工t(2)=[”.一,

(一，)-1

说明go(x)=〃x+q(〃。1，4。。，P，4为常数)，则g〃(x)=P"(x—%))+N)，其中小是go(x)

的不动点.

最后我们来研究关于数列%”=%!(，工6。4-从工0吗=〃)的周期性问题：

啊+d

对于方程以z+(4-〃)工一6=。；

(1)若△=(),则数列｛q｝无周期.

(2)若△>(),则数列｛4｝有周期的充要条件是1=-〃，且周期丁=2.

(3)若AvO,则数列｛《｝有周期的充要条件是2「4三箸]=也(其中〃?，攵为方程

、4—tCCy/I

Gr2+(d-a)x-〃=0的两根,/</:),且周期丁=〃.

证明：(1)当△=()时，方程的1+(d—a)x—〃=0两根加=A=噤

11/,、2c

因为-----=-----+(〃-1)----；，

an-inp-ma+d

I12e

------=-----+(zn+/-l)1X-----.

。”+,-mp-nta+d

对于，＞1,/wN,显然〃+

所以故数列｛〃”｝无周期.

(2)若>>0,则两根肛AwR,

因为忙生=上2(生q

an-kp-k\cm+d

凡+,一〃?_P-"?\ck+d、

J-kp-k\cm+d

所以数列｛q｝有周期的充要条件是，

\/t-lzt+r-

ck+d'ck'd

(/>1,/GN),

cm+dJ<cm+d

即*”

\cm+d/

所以9Y=i，但女h〃i，

,d

所以c&+d=-c/〃-d,kTH=------,

c

注意到方程dk+m=--=--f

cc

故"=-a.

反之，若d=-〃，

ab

a,>

巾।aan+bccaR,什，八be-adK

则勺+1=1—=--音=一十—7,(其中R=——)

叫—aa_aca_ac

nn

cc

aR

所以“同一1二一a,

an一一

c

即(。向_()(%_/=R①，

自然也有,用11司=R(〃>1，〃£N)②，

・②得，=于是。向=。…

CC

说明数列｛%｝的奇数项、偶数项分别相同，故数列也｝有周期7=2.

(3)若A<0,则k=a-d±kd-Gibci="d±巨？

2c2c

由于

,,_^.(a-inc\21乃，

故可设narg----=——(八〃eNW,T/<〃).

\a-kcJn

则巴子〃为I的一个〃次方根，(土”1=1.

a-kc\a-kc)

反之，若｛%｝是周期为〃的周期数列，则必有(伫"丫=1.

\a-kc)

♦ua-mc\…、

于是arg----=---

\a-kc)n

【强化训练1】

I.已知数列的递推公式=包彳，且首项4=5,求数列｛q｝的通项公式.

【强化训练2】

2.已知数列｛4｝的递推公式。向=券士,且首项4=。(。/0),求数列｛《,｝的通项公式.

【强化训练3】

3.设〃>0,数列｛%｝满足,="二('*2｝,求数列｛%｝的通项公式.

【强化训练4】

at

4.已知首项为王的数列｛%｝,满足%+I=—^7(〃为常数).当〃确定后，数列｛七｝由其首

项为确定，当4=2时，通过对数列｛七｝的探究，写出“｛%｝是有穷数列”的一个真命题.

【强化训练5】

a—9

5.已知%+i=---,%=1,求知的通项公式.

【强化训练6】

6.已知。用=4'，4=1,求%的通项公式.

4一,

【强化训练7】

7.已知。向"4=1,求/的通项公式.

【强化训练8】

8.已知函数〃x)=V-4,设曲线y=/(x)在点(％J(x.))处的切线与x轴的交点为

(%,0),〃tZ,已知玉=4.用匕表示工…并求数列其｝的通项公式.

【强化训练9】

2

9.已知数列｛q｝满足：4=2,an=——(H>2),求数列｛叫的通项公式.

1+an-[

【强化训练10]

4Q—2

10.已知数列｛凡｝中，q=3q=M,求｛4｝的通项.

n—1

【强化训练II]

2。一4

11.在数列｛4｝中，4=2,且％求其通项公式可.

【强化训练12】

12.已知数列也｝满足凡=步士|(〃之2),首项q=g求其通项公式

一56

【强化训练131

,、2一24z

13.已知数列｛4｝满足4一|=1丁，4=4,求数列｛4｝的通项公式.

【强化训练14]

14.已知数列｛%｝满足1=1，%.尸上^—,判断数列的周期性.

【强化训练15]

15.数列｛q｝满足4=1"==美》，判断数列的周期性.

【强化训练16]

a-]

16.数列｛q｝满足4=2,“向=」1,试研究数列｛4｝的周期性.

【强化训练17]

17.已知/(%)=台,且/⑴(x)=/(x)j3(x)=/(K))(〃22”M),求，⑹⑶的

解折式.

【强化训练18]

18.求数列｛%｝：《向=照■的周期.

【强化训练191

6+/口）

19.已知函数小+1)=，求证：/(同为周期函数.

1-V3/W

不动点与数列

一、什么是不动点

取两根长短不一，有着同样刻度（但长度单位不同）的尺子（比如：一根长5cm,一根长5

寸），我们将其中较短的一根无论放在较长尺子的什么地方，只要短尺全部落在长尺内（图

1-1）,则两根尺子总有某刻度，它们的数值是相同的（如图中的这一刻度），这个数值相

同的刻度，就是这种移动变换下的一个不动点.

•根橡皮绳子上打着许多结，当你均匀拉伸后，对称地放在原来的位置下面，再把绳子相应

的结用线连接起来，其中必有一条与橡皮绳垂直（图中A）,则这条垂线的结点，便是橡皮

绳在拉伸变换下的不动点.

“不动点”是一个重要的又十分有趣的数学概念，斯丕诺（Sperner）定理可以说是不动点在数

学上有趣的应用：

把.ABC任意分割成许多小三角形（如图所示），然后把.A8c的顶点分别涂上三种不同的

颜色，再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一.规则是：

若小三角形的顶点落在“8C某条边上，则这个顶点，只能涂该边两端之一的颜色，若小三

角形顶点落在..A8C内，则可以任意涂三色之一.无论如何分割.ABC.最后必有一个三角形

（确切些，有奇数个小三角形）使它的三个顶点恰好涂有三种颜色.从不动点观念看，这个

小三角形就是在“分割”、“着色”变换下的不动点.

历史上证明了Sperner定理后，导出了布劳韦尔（Brouwer）不动点定理：

“任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点”.

定理的严格证明是艰深的.

由于篇幅所限，不可能给出这个证明了，但是，我们可以看看布劳韦尔不动点定理最简单而

又特殊的情况：

定理：设/(X)是连续函数，其定义域为[0,1],值域[0,1],则/(X)必有不动点(即存在一点

七«0』使/(%)=%).

预备知识：

定义1对函数/(X),若存在实数%,满足〃％)=%,则称凡为外”的不动点.

对此定义有两方面的理解：

(1)代数意义：若方程/(»二]有实数根%,则)=/(力有不动点与.

(2)几何意义：若函数)=/(可与y=x有交点(X。,)，。)，则X。为y=/(x)的不动点.

利用递推数列/(〃)的不动点，可以将某些由递推关系q=/(«“)所确定的数列转化为较易

求通项的数列(如等差数列或等比数列)，这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的

递推数列如何用不动点法求其通项公式.

定义2若数列也｝满足4=〃4一)，则称“X)为数列｛4｝的特征函数.

定义3方程/(司=工称为函数/(力的不动点方程(特征方程)，其根称为函数/(X)的不动

点.

具体应用：

若数列｛q｝的递推公式为q二/(«1),把此式中的%、q-1均换成X,得方程x=/(x),

我们把方程x=/(x)的实数根X称为数列｛〃,｝的不动点.利用数列｛&｝的非零不动点，可以转

化求等比、等差数列，继而可求出数列｛q,｝的通项公式.

命题1若/(x)=ax+b(a=0,。/I),x0是/(.r)的不动点，%满足递推关系q=/(«„.1)(«>1),

则为一%=。(4.1一%)，即｛凡一不｝是公比为”的等比数列.

证明因为/是/(x)的不动点，所以咻+)=%，所以。7。=-".由得

可一题+b-x[)=a(an_i-xu).

所以｛4-％｝是公比为。的等比数列.

命题2设/(“)二丝?(cw0,s/一儿，0),且/(%)只有两个相同的不动点与，如果｛5｝满

足递推关系4,=/(4T)(〃>1),初值条件4工〃4),则=7=7■三+&•(这里氏=与)

anan-\%U+u

证明由〃与)=/得/(X。)=竺芸=%,整理得“+(d-a)xn-b=0.

CAr.IC4

-a-daa14-b

所以x/=cq；-a%,^=——,所以4-/=------

2c绍”-1+4

(a-cx^a^+b-x^d

c*+d

=(4-CXo)(*7o)

c%.i+d

1ca.+d

所以------=7------T7-------7

%一工0(。-仃0)(4”1一小)

二C&T/)+/+)

命题3设〃x)=My(c=O"-b"O),｛《)满足递推关系4=/(«-)(〃>1),初值条件

〃产/(4),若/(工)有两个相异的不动点演，々，贝(这里4=三的)

an_占4-1_fa_CV2

证明因为』，M是不动点,

_a》+b

cx+dcx^-axt=b-xid

所以t

at,+bcx；-ax=b-xd

——{22

cx-,+d

4%+b

~x\

所吟f_ca^+d

叫T+〃、.

cj+d

4qi+〃X](ca.T+d)

叫_1+6-巧("*+〃)

(a_crJa,i+Z?_x0

(a-ex2)4_]+b-x2d

(…占雇臼…占)

3勺-「西

…a-av.,a„-x.,a„.-.

令k=-----5-,则一2-L=h_±J—

”%、％一/a,J

命题2、命题3的另一种证明方法:

(1)推理

当数列递归方程满足一=乌干,

巴+G

若令4H4=/(X)，4“=M

根据不动点定义/(司=乩

即/+i=4=工，

可列出方程％=三"匕整理得x2+(G-l)x-G=().①

当判别式△=(a+4G=。时，该数列具有一个不动点与；

当判别式△=(G-I)2+4G>0时，该数列具有两个不动点占，戈2.

两种情况均满足数列特征方程

即T)X(4-X)+A(〃e-x)+B(a“_x)=0.②

(2)验证

将递归方程“向=\.r变形为.”+1,a»+G"。“+1-一G=0,

an+5

A-x=C2

对比②式系数得B-X=-1

消去未知量A,B,推出等式f+(G-i)x—G=0,

即特征方程①，证毕.

命题4设函数="士绊上包工0,0工0)有两个不同的不动点〃，4，且由勺=〃47)确

e工+/

/\22

定数列{%},那么当且仅当b=0,e=%时，上史=.此时/(1)=等:［伍。()).

生「q2ax+f

知识延伸：利用函数不动点构造桥函数求数列的通项公式.

定义2己知函数人力,记工(力=/(力,z)w=x-iW，/z>i,则£(田称为函数〃力的

〃次迭代.

定义3已知函数和g(“，若存在可逆函数(存在反函数)e(x),满足

g(x)=°|(/(。("))，则函数/(x)和g(x)互为相似函数，其中*3称为桥函数.

说明⑴若g(x)=o"(/(o(x))),则/(x)=*(g(G(K)))且力(X)=0(g”⑹(X))).

(2)若/(X)的不动点为/，则/(%)为函数g(x)的天动点.

对于数列｛%｝：已知首项％,及递推公式q,=/(4-J,〃22,则数列｛〃“｝的通项公式即为

4=/“(4).若能求用f”(x)，则数列的通项公式即可很容易求出.血求，(x)关键是需要找

到合适的桥函数0(力，使得与/(x)相似的函数g(“能比较简单(常为一次函数或反比例

函数)，从而求g”(x),再由，(耳=0卜”(。7(刈))求，(耳.而由说明(2)又启发我们可以

利用函数/(1)的不动点去构造桥函数*(司.

2

桥函数的使用：已知数列｛《J满足：«.=2,«„=——,n>2,求数列也｝的通项公式.

1+

7

解令/3=市，则〃”的不动点为％=-2，々=1，

构造桥函数。(x)=W，则”(“=学，

x+21-x

令g(x)="(/(*3))=/(/(E)卜一2X—3,

又g”(力二(-2)"(工+1)-1,则/；(力=0(/(，|(力))=。&三V"

=«2),(曾+1卜)

小怡可

(-2)4—1-1-1

F借X+2

「(-2)”(2+x)-2(l-x)

一(-2)”(2+”(一厂

/7y,+1।2

所以数列乩｝的通项公式为q=(2)=:,

(一6一1

说明go(x)=〃x+9(〃/1，q#0，P，。为常数)，则8"(工)="'(X-%)+%，其中/是心(6

的不动点.

最后我们来研究关于数列4“=大G（cw°，〃d-加w（）M=p）的周期性问题:

c%+d

对于方程以^^一加力=。；

（1）若△=（）,则数列｛4｝无周期.

（2）若△>（）,则数列｛叫有周期的充要条件是=且周期丁=2.

（3）若△<（）,则数列｛《｝有周期的充要条件是arg（（签卜华（其中“，

A为方程

以2+（1-。）不一〃=0的两根./,〃61>1,t<n）,且周期7=〃.

证明：（1）当△=（）时，方程的”2+（4-。）汇一人=。两根〃?=A=1

11/n2c

因为工7

11/2c

-------=+(n+t-1l)A.

an+l-mp-m----------a+d

对于，>1,fwN,显然1=〃+

所以4工4+,，故数列｛〃〃｝无周期.

(2)若A>0,则两根mleR,

因为冬p-m(ck+d

p-kycm+d

yn1-r-l

anJrt-m_p-tn(ck+d

a“+Lkp-k\cm+d

所以数列乩｝有周期的充要条件是,

x/r+/-l

以+d『ck+d

(t>l./eN),

cm+dcrn+d)

ck+d

即=1.

cm+d

ck+d

所以=1,但女工〃:，

cm+d

所以以+4=—。〃一"，k-m=---

c

汪息至lj方程❸，k+，n=-----=----

故d=.

反之，若d=-a,

ab

aa+bcncaR.cbe-ad

则t11I/+i=jn-=-一±=~+——->(其中R=——)x

叫一。〃_9ca_ac-

cc

a_R

所以"'用一［=—a,

a

n一一c

即1"+「?)(""-?)=R①,

自然也有-7=/?(??>LneN)②，

+②得，%不于是%=%，

说明数列｛%｝的奇数项、偶数项分别相同，故数列｛&｝有周期7=2.

(3)若△<(),则攵:〃一—土J—(/一〃)2一4反』=〃一"士W

a-mea+d-V^A/,

由于=------^=-=1，

a-kca+d+V-Az

a-me25/z、

故可设arg

a-kcn

贝IJ色子上"为]的一个〃次方根,a-me

a-kca-kc)

a-，〃c

反之，若｛4｝是周期为〃的周期数列，则必有

a-kc

a-me2/乃....

于是arg---(1,〃WNJv〃).

a-kcn

【强化训练1】

1.已知数列的递推公式。用==胃，且首项％=5,求数列｛〃”｝的通项公式.

【强化训练2】

2.已知数列上｝的递推公式。川二2。与+一3，且首项4=4。=0),求数列｛4｝的通项公式.

【强化训练3】

3.设—>0,数列｛4｝满足4=8，an“呵巳522j,求数列｛&｝的通项公式.

an-]+n~l

【强化训练4】

4.已知首项为王的数列｛4｝,满足(〃为常数).当〃确定后，数列上｝由其首

4十।

项为确定，当。=2时，通过对数列｛%｝的探究，写出“｛乙｝是有穷数列''的一个真命题.

【强化训练5】

5.已知。7=殳[，4=1,求〃”的通项公式.

【强化训练6】

6.已知勺6=1,求4”的通项公式.

4”-3

【强化训练7】

7.已知％=-^吗=1,求凡的通项公式.

【强化训练8】

8.已知函数/（另=/一4,设曲线y=/（x）在点处的切线与x轴的交点为

（XN，O）,〃WN",己知％=4.用/表示工”并求数列｛%｝的通项公式.

【强化训练9】

2

9.已知数列｛q｝满足：4=2,an=-^（n>2）,求数列｛q｝的通项公式.

1+an-\

【强化训练10】

4a-2

10.已知数列也｝中，4=3,%==求｛可｝的通项.

an-\+1

【强化训练11】

II.在数列｛《,｝中，4=2,且。间=之喘，求其通项公式

【强化训练12】

12.已知数列｛4｝满足。”=学氢±|（〃之2）,首项q邛，求其通项公式耳.

6。时1-56

【强化训练13]

,、2\ci-24zK

13.已知数列｛4｝满足％=4；+1吗=4,求数列｛%｝的通项公式.

n

【强化训练14]

14.已知数列｛4｝满足4=1，4加2=。卫+二2，判断数列的周期性.

n

【强化训练15】

15.数列乩｝满足％=1，4向判断数列的周期性.

【强化训练16】

16.数列｛4｝满足4=2,%“=宵，试研究数列｛q｝的周期性.

【强化训练17】

17.已知小)=?，且/⑴(x)=/(x)J⑻(X)=/("T(X))(〃"〃CN)求/㈣⑴的

解折式.

【强化训练18】

18.求数列｛〃"｝：《加=普■的周期.

【强化训练19]

、行+/(%)

19.已知函数/(4+1)=求证：f。)为周期函数.

1-V3/W

参考答案:

分析：令。向=%=%，求出数列的不动点，据此变形递推关系式，可构造等差数列，即可

求出数列通项公式.

【详解】令（*=%=尤先求出数列的不动点x=

解得X]=%2=2.

将不动点为=工2=2代入递推公式，

ci—21二（。「2）+1

整理得。向一2二一——

%-1%+1一2一…'

。，山一23.

令”=），

4-2

,11

：也+—“+1，凤==

q-zj

・•・数列他｝是以g为首项，以

为公差的等差数列.

:.也｝的通项公式为2二吊十（“-1）1=n—.

）3

2

将〃一o代入，得=n——

《「2an-23.

:.a----+2.

“3〃-2

—1,6?=—1

2.an=«3,。=3

a-3（lY-'

-•—+』

:葛宿_山____a*-1且"3且〃工0

分析：在〃=-1或4=3时，直接可计算得出％;在。工-1且〃工0且。工3时，推导出数列

工41为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得综合可得结果.

〔勺+1j

【详解】解：当。二—1时，4=-1,%=冬二=一1,L,以此类推可知为=-l（〃wN'）；

当a=3时，6=3,%=24+3=3,L，以此类推可知《=3（〃cN）

a\

2r+3

当"一1且"0且"3时，特征方程为］=二一，BPx2-2x-3=0,解得工=-1或x=3,

x

2CJ+3

因为。工一1且a工0且〃工3,且q=。且％|=~~»可知对任意的〃eN",。“二一1且

33.

段.3

则^2=^_____:3"___________

构造数列%卢1%土2+13(4+1)3(凡+1)'

出

所以‘数列牌为等比数列’且该数列的首项为公比为T’

分析：将4="）"'—之2）递推得到噂讨=（〃+1）加”两边取倒数得到,

q"+〃-ia“+〃

(〃+1)an+n11〃人〃11

々令二％，则明二­Ct—，

4出bnb

当）=1时卜〃｝是等差数列，求出｛%,｝通项公式进而求出｛〃“｝的通项公式；当〃X1时利用构

造法求出｛cj通项公式进而求出｛an｝的通项公式.

【详解】解：K=〃hp（g2）,%二仁她，两边取倒数得到

%+〃-1a+n

当b=l时，-c0+i.,•%］=&+l.•.数列仁｝是首项为G=：=；=l,公

Ub4］。

差为1的等差数列..,.％=|+(”-1)=〃「:=〃，，“=1.

当时，*=9+［则K厂)=4小/力，・・・数列卜+/■」是以

bb1-/?b\\-D)II-/?

q+='+.J八为首项,。为公比的等比数列.

\-bq1-bb\-bb(\-b)b

1III11zi11

•c+-----=----------------=------------•c=，------>—=「「—।

nlnnn

■,”\-bb(\-b)b-b(\-b)"nb(\-b)l—b''anb(\-b)\-b

n_1__1\-h"_nbn(\-b)

a>>=n

~an-〃"(1一1)一百一力"。一上'\-b

10=1),

nb'\\-b)

(b>0,〃H1).

\-bn

4.答案见解析

分析：根据题意中的递推公式，利用取倒数法可得」一TM^'-I）,数歹|J｛-*--1｝为等比

%2A；X”

数列，根据等比数列的通项公式可得，-1=（,-1）・（；严，进而求出土、内；令七=7可得

XnX1，

%=/二，结合充要条件的概念即可得出结论.

1—2

QX2x

【详解】由a=2,由x“+i="七"得/+1=-77•

两边同时取倒数，得「一二¥[=；•，+：,

Xn”■,।ILXAnZX”n乙

有_L_i=；（_L_i）,

加2x〃

所以｛♦-1-.1、｝是首项为一1—XL,公比为51的等比数列，

XnN2

所以

XnXi,

一、2f

所以'"-(2"7-1)5+］，X，~(1—2'i)x〃+2'i,

令兀=-1，则=（工_"（：）""=，

—1A]Z1-Z

即第〃项为-1,有穷数列在第〃项停止.

综上：写出的真命题为：数列｛/｝是有穷数列的充要条件是：

存在〃?wN+使得某项/=-1,所以

即王=丁二，且有穷数列的项数为次

1—2

2

5.a=3——

n〃

分析：根据不动点法求出不动点为3,进而可得数列｛」｝是以-《为首项、-!为公差的

a〃T22

等差数列，利用等差数列的通项公式即可求出4.

【详解】设%=%=%,

Y—9

即X=一=，解得x=3,即不动点为3,,

x-5

即数列々是以为首项，d--为公差的等差数列，

0=-r

其通项公式〃_3=2+（〃■

2

得％=3—.

n

2

6.a„=2+

n1-3"

—T=―3^T进而变形为‘不一!二3r—1、

分析：先将条件进行变形，化简为一，

1~23…221q-22；

然后通过等比数列的概念求得答案.

【详解】由题意，。向一2=上4—2=-q+2=_4-2=]=-q+5=—-)+3

q-54-5an-5an+l-2an-2an-2

1311(11)113f111

所以=1,则——---=3----,而-故-

…2%-9221%-22)4-222〔…2]

3

以-]为首项，3为公比的等比数列

1।714一2・3”-2

于是一!一一l=--.3n-'=---3;,=>a..=-----=2+-------.

【点睛】册“二y是，楠=7^一（〃儿工。）的一种变形，首先

/-5ban+c

±£=£

—=^L-+-，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案.

风+c。向aanaana

（lvSOV

因此我们可以将原式作如下处理：^+1-x=-^4~x=>^_,并且要求

4-5an-5

1—Y

--==nx=2,现将42代入或4（I亦可，无根的情况和分母为。的情况均不

1-X-8+5x

在此考虑之列），田—2=旦二!-2=也?=」==一区二牛=’7—1，进而转

4-5an-5ali+l-2a„-2%-2

化为等比数列解得答案.

7.S

分析：将已知式子变形为「一+1=2（-!~+1],进而根据等比数列的定义求得答案.

-1%）

【详解】根据题意变形为一！一二4J2=