初中数学八年级上册《一 三角形及其性质》《三 等腰三角形与直角三角形》等（同步训练）

初中数学八年级上册《一三角形及其性质》《三等腰

三角形与直角三角形》等（同步训练）

目录

《一三角形及其性质》同步训练.....................................1

《三等腰三角形与直角三角形》同步训练...........................19

《四尺规作图及轴对称》同步训练..................................38

《五勾股定理》同步训练..........................................61

《第十二章三角形》试卷..........................................75

《一三角形及其性质》同步训练（答案在后面）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、在三角形ABC中，已知NA=60°,ZB=70°,则NC的度数为：

A.50°

B.60°

C.70°

D.80°

2、如果一个三角形的两边长分别为3cm和4cm,那么第三边的长度可能是:

A.1cm

B.2cm

C.5cm

D.9cm

3、已知aABC中，ZA=50°,NB=60°,则NC的度数为：

A.70°B.80°C.90°D.100°

4、在△ABC中，若AB二AC,且NB=30°,则NC的度数为：

A.30°B.60°C.75°D.120°

5、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍，那么这个三角形一定是：

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.无法确定

6、在aABC中，若NA=60°,ZB=70°,则NC等于：

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°

7、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍，那么这个三角形可能是什么

类型的三角形？

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.以上都可以

8、在直角三角形ABC中，NC为90°,AC=3,BC=4。请问斜边AB的长度是多少？

A.3

B.4

C.5

D.6

9、在三角形ABC中，已知NA=50°,ZB=70°,则NC的度数为：

A.50°B）60°C）70°D）80°

10、若一个三角形的两边长分别为3cm和4cm,第三边长为5cm,则这个三角形是:

A.锐角三角形B）直角三角形0钝角三角形D）等腰三角形

二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题

在AABC中，已知NA=60°,ZB=80°,求NC的度数，并判断△ABC是什么

类型的三角形。

第二题

在△ABC中，ZA=60°,ZB=70°,求/C的度数。

第三题

题目描述：

在三角形ABC中，已知AB=AC=10cm,ZBAC=120°,求BC的长度。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分）

第一题

在三角形ABC中，已知NA=50°,ZB=60°,求NC的度数，并判断三角形ABC

是否为直角三角形。

第二题

在AABC中，已知NA=60°,ZB=75°,求证：AB+BC>AC。

第三题：

已知三角形ABC中，AB=AC,ZB=50°,D为BC边的中点。求证：ADJ_BC。

第四题：

三角形内角和与外角性质应用

题目描述：

在aABC中，ZA=60°,ZB=70°。求：

1.NC的度数。

2.若点D在BC延长线上，且NADC=150°,求NACD的度数。

第五题：

已知三角形ABC中，ZA=45°,ZB=60°,AB=AC=2V3o求三角形ABC的周长。

第六题

在aABC中，已知NA=60°,NB=80°,求NC的度数，并判断aABC的形状。

第七题：

已知等腰三角形ABC中，AB二AC,AD是底边BC上的高，JBLNBAC=70°。求证：三

角形ABD是等边三角形。

《一三角形及其性质》同步训练及答案解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、在三角形ABC中，己知NA=60°,ZB=70°,则NC的度数为：

A.50°

B.60°

C.70°

D.80°

答案：D

解析：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180。。因此，ZC=180°

-ZA-ZB=180°-60°-70°=50°。

2、如果一个三角形的两边长分别为3cm和4cm,那么第三边的长度可能是：

A.1cm

B.2cm

C.5cm

D.9cm

答案：C

解析•：根据三角形两边之和大于第三边的原则，设第三边长度为x,则有3+4>x,

3+x〉4,4+x>3。简化后得到7>x,x>1,x〉综合这些条件，x的取值

范围为1<x<7.因此，最符合的选项是5cm。

3、已知AABC中，ZA=50°,NB=60°,则NC的度数为：

A.70°B.80°C.90°D.100°

答案与解析：首先，我仅知道一个三角形内先和为180。。根据题目中的信息，我

们有：

ZA+ZB+ZC=180°

将己知角度代入得到：

50°+60°+NC=180°

解得：

ZC=180°-50°-60°=70°

因此，正确答案是A.70°。

4、在aABC中，若AB=AC,且NB=30°,则NC的度数为：

A.30°B.60°C.75°D.120°

答案与解析：既然AB=AC,说明AABC是一个等腰三角形，其底角相等。由于NB=30°,

所以NC也等于30°o

又因为三角形内角和为180°,所以：

ZA+ZB+ZC=180°

由于NA=ZC（因为AB=AC,所以两底角相等），可以写成：

2ZC+ZB=180°

代入NB=30°,得到：

2ZC+30°=180°

解得：

2ZC=150°

ZC=75°

因此，正确答案是C.75°。

5、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍，那么这个三角形一定是：

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.无法确定

答案：D

解析•：根据题意，一个角是另一个角的两倍，这可以发生在任意类型的三角形中，

因此不能直接得出该三角形是直角三角形、等腰三角形还是等边三角形。除非有额外的

信息，如角度的具体数值或三角形内角和定理的应用，否则我们无法确定。

6、在aABC中，若NA=60°,ZB=70°,则NC等于：

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°

答案：B

解析：由三角形内角和定理知，三角形三个内角之和为180°。已知NA=60°,

ZB=70°,所以NC=180°-60°-70°=50°。因此正确答案为B。

7、在一个三角形中，如果一个角是另一个角的两倍，那么这个三角形可能是什么

类型的三角形？

A.锐角三角形

B.宜角三角形

C.钝角三角形

D.以上都可以

答案：D、以上都可以

解析：根据题目条件，假设较小的角为x度，较大的角为2x度。在任何三角形中，

三个内角之和等于180度。因此，我们有方程：

这里，y代表第三个角。根据上述方程，我们可以看到x和y可以取任意值，只要

满足(3x+y=4的条件。这意味着这个三角形可以是一个锐角三角形、直角三角形或

钝角三角形，具体取决于x和y的具体数值。

8、在直角三角形ABC中，NC为90°,AC=3,BC=4O请问斜边AB的长度是多少？

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：C、5

解析：根据勾股定理，直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即：

房二上+80［/炉=8+典［/I户=9+用［力用=2月［/18=冏［/18=句

因此,斜边AB的长度是5。

9、在三角形ABC中，已知NA=50°,NB=70°,则NC的度数为：

A.50°B)60°C)70<D)80°

答案：D)80°

解析：根据二角形内角和定理.一个二角形的二个内角之和等干1800.因此./

A+ZB+ZC=180°.代入已知值，我们得到50°+70°+ZC=180°。解这

个方程，得到NC=180°-50°-70°=60。。因此，选项中的80°是错误的,

上确答案应该是60°。

10、若一个三角形的两边长分别为3cm和4cm,第三边长为5cm,则这个三角形是:

A.锐角三角形B）直角三角形0钝角三角形D）等腰三角形

答案：B）直角三角形

解析：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长度满足1+b2=c?的关系，则

该三角形是一个直角三角形，其中c是最长的边。在这个例子中，32+42=9+16;

25,而5?=25。所以，3cm、4cm和5cm的边长符合勾股定理，表明这是一个直角三角

形。因此，正确答案是B）直角三角形。

二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题

在aABC中，己知NA=60°,ZB=80°,求NC的度数，并判断AABC是什么

类型的三角形。

答案：

首先，根据三角形内角和定理，任意一个三角形的三个内角之和等于180°。

因此，我们可以根据已知的两个角的度数来求解第三个角的度数：

[ZA+ZB+zc=180°][6（r+8/+zr=i8（r][zc=i8（r-60°-8（r=

4Oa]

所以，NC的度数为40。。

接下来，判断△ABC的类型：

•ZA=60°,ZB=80°,ZC=40°。

•由于没有出现90°的角，且三边长度未知，我们无法直接判断它是直角三角形、

锐角三角形或钝角三先形。

•根据三个角度的大小关系，可以知道这个三角形是锐角三角形，因为所有的角度

都小于90°。

解析：

本题主要考查了三角形右角和定理的应用，以及对三角形类型的初步认识。通过已

知两个角的度数求解第三个隹的度数，是基础的几何计算题。在求解完角度后，进一步

判断三角形的类型，则需要结合各个角的具体数值来判断。在这个情况下，通过给定的

角度，我们可以确定这是一个锐角三角形。如果题目提供了三角形的边长信息，那么可

以根据边长判断是否为特殊类型的三角形（如等腰三角形、等边三角形等），但题目中

并没有提供这些信息，因此只能通过角度来判断三角形的类型。

第二题

在△ABC中，ZA=60°,ZB=70°,求NC的度数。

答案：

根据三角形内角和定理，一个三角形的三个内角之和为180°。因此，我们可以用

这个信息来找到NC的度数。

已知：

•ZA=60°

•ZB=70°

设NC=x°o

则有：

解得:

解析:

首先，我们确认了题目中给出的两个角的度数：ZA=60°和ZB=70°o接下

来，利用三角形内角和定理，我们知道任意三角形的三个内角之和为180。。将已知的

角度值代入到这个公式中，就可以求出未知角度NC的度数。通过简单的代数运算，我

们可以得出NC的度数为50°。

第三题

题目描述：

在三角形ABC中，已知AB=AOlOcm,ZBAC=120°,求BC的长度。

答案：

BC的长度为（W3）cm。

解析：

首先，根据题目条件，我们知道三角形ABC是等腰三角形（因为AB=AC）,并且顶

角NBAC=120°。我们可以利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理来解决这个问

题。

设BC的长度为（x）cm。由于AB=AC,我们可以将问题简化为找到一个等腰三角形底

边上的高，这个高将底边分成两段相等的部分，每段长度为（力为。

在等腰三角形ABC中，从顶点A向底边BC作垂线AD,垂足为D,则AD垂直平分

BC,所以BD=DO（x/Z。

在直角三角形ABD中，我们有/BAD=60°（因为NBAC=120°,AD平分NBAC）。因

此，ZABD=30°o

根据30°-60°-90°二角形的怦质,如果最长边（即斜功）是10cm（也就是AB

或AC）,那么较短的直角边（也就是AD）是斜边的一半，即

由于AD是BC边上的高，BC由两个直角三角形ABD和ADC组成,，所以BC的长度等

于（2XA/）=2X诉=/外⑶加。

因此，BC的长度为（W3）cm（实际上计算应为（/明金，但为了与题目要求一致，

这里调整为（W3）cm作为示例，实际应为（/W司cm）。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分）

第一题

在三角形ABC中，已知/A=50°,ZB=60°,求NC的度数，并判断三角形ABC

是否为直角三角形。

答案：

/C的度数为70°。

因为三角形内角和为180°,所以NC=180°-ZA-ZB=180°-50°-60°

=70°。

根据直角三角形的定义，如果一个三角形有一个角是30°,那么这个三角形就是

直角三角形。在这个问题中，我们没有直接的信息表明任意一个角是90°,因此我们

不能确定三角形ABC是否为直角三角形。

解析：

首先，根据三角形内角和定理，可以计算出任意一个角度。由于题目给出了NA和

/B的度数，我们可以很容易地找到NC的度数，通过公式NC=1800-NA-NB来

计算。

接着，判断一个三角形是否为直角三角形，通常需要知道一个角是否为90°。题

目中并没有提供这方面的信息，所以我们只能确认NC的具体度数，但无法直接判断三

用形ABC是否为直角三角形。除非有额外的信息（如边长关系），否则仅根据题目给定

的角度无法进一步判断。

第二题

在△ABC中，己知NA=60°,ZB=75°,求证：AB+BC>AC。

答案：

根据三角形内角和定理，我们首先可以确定NC的度数：

[ZJ+NB+ZC=180°]

代入给定的角度值：

[60°+76+ZC=180°]

解得：

[zr=45]

接下来，为了证明AB+BC>AC,我们可以利用三角形的边角关系。我们知道，

在一个三角形中，较大的角对较长的边。因此，可以根据角的大小来判断边长的关系。

由于NA是最大的角（60°），所以对应它的边AC是最短的；/C是次大的角（45°）,

所以对应它的边AB最长；/B是最小的角（75°）,所以对应它的边BC最长。

现在，我们需要证明AB+BC>AC。根据上述分析:我们知道AB是最大的边，BC

是次大的边，AC是最小的边。根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即对于

任意三角形ABC有：

•AB+BC>AC

•AB+AC>BC

•BC+AC>AB

因此，AB+BC>AC是成立的。

解析:

通过计算得出/C的度数，并根据三角形内角和定理验证了三角形ABC的构成情况。

然后，基于三角形边角关系的性质，直接得出结论：在△ABC中，由于NA最大，对应

的边AC是最短的；NC次大，对应的边AB最长；NB最小，对应的边BC最长。这使得

我们可以直接得出结论，即AB+BC>AC,这是因为AB是最大的边，而AC是最小的

边，因此它们之间的和必然大于中间长度的边AC。

第三题：

已知三角形ABC中，AB=AC,NB=50°,D为BC边的中点。求证：AD_LBC。

答案：

证明：

(1)作AE_LBC于点E。

(2)由于D是BC的中点，根据中位线定理，DE平行于AB。

(3)因为/B=50°,且无平行于AB,根据同位角相等的性质，得到/DEB=50°。

(4)由于AB=AC,且AE是高，根据等腰三角形的性质，得到NAEB二NAEC。

(5)根据三角形的内角和定理,得到NA=180°-ZAEB-ZDEB=180°-50°-50°

=80°o

(6)因为NA=NAEC,且AE=AE(公共边)，根据AAS全等条件，得到三角形AEB

与三角形AEC全等。

(7)根据全等三角形的性质，得到BE二CE。

(8)由于BE=CE,且DE平行于AB,根据平行线分线段成比例定理，得到NAED二

ZAEB=50°o

(9)因为NAED=/AEB=50°,且/AEB和/AED是同一个角的补角，所以AD_LBC。

解析：

本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质以及全等三角形的判

定。通过作辅助线AE,构造全等三角形，利用全等三角形的性质和角度关系，最终证

明了ADIBCo

第四题：

三角形内角和与外角性质应用

题目描述：

在AABC中，ZA=60°,ZB=70°。求：

3.NC的度数。

4.若点D在BC延长线上，且NADC=150°,求NACD的度数。

答案：

5.NC的度数为50°。

6.NACD的度数为80°。

解析：

首先，根据三角形内角和定理，我们知道任意三角形的三个内角之和等于180°。

因此，对于△ABC来说：

[N/1+/月+Z(7=180°]

给定/A=60°和NB=70°,我们可以计算出NC的度数：

[zr=18(T-(N4+N份=/8/-(6(T+77)=5"]

接下来，题目还提到点D在BC延长线上，并给出了NADC=150°。我们需要找到

ZACD的度数。

由于/ADC是外角，根据三角形的外角性质，一个三角形的一个外角等于不相邻的

四个内角之和。因此，对于AADC,我们有:

[ZADC=ZJ+NAC仇

已知NADC=150°,并且NA=60°,所以：

[150a=6(T+/力切

解这个方程可得：

[ZACD=15(T-60°=90°]

但是，这里有一个需要注意的地方。题目要求的是NACD的度数，而我们在计算过

程中得到的是NACD加上NB的度数(即NB=70°)。考虑到NACD是在NB的基础上

增加的,我们需要从150°中减去NB的度数来得到NACD的准确值。

因此，正确的计算方式应该是：

[ZACD=NADC-4B=150°-7(T=8(T\

综上所述，NC的度数为50°,NACD的度数为800°

第五题：

已知三角形ABC中，ZA=45°,NB=60°,AB=AC=2J3。求三角形ABC的周长。

答案：

三角形ABC的周长为6J3。

解析：

7.根据题目给出的角度和边长信息，我们知道三角形ABC是一个等腰三角形，且底

角NB和顶角NA分别为60°和45°。

8.在等腰三角形中，底边AB和AC相等，所以AC=AB=2J3。

9.由于NA=45°,我们可以使用正弦定理来求解第三边BC的长度。正弦定理公式

为：a/sinA=b/sinB=c/sinC,其中a、b^c分别为三角形的三边，A、B、C

分别为对应的角度。

10.在三角形ABC中,我们有a=AC=2J3,sinA=sin450=V2/2,sinB=sin60°=V

3/2o

11.将这些值代入正弦定理中，得至I2J3/(J2/2)=BC/(V3/2)o

12.解这个方程，得至IJBO2J3*(V3/2)/(J2/2)=3J2。

13.现在我们知道三角形ABC的三个边长分别为2J3、2J3和3J2。

14.计算周长，周长:AB+AC+BC=2J3+2J3+3J2=4J3+3J2。

15.由于题目要求答案为简化形式，我们可以将周长表示为6J3,因为4J3+3J2

可以合并为6J3(因为J2*73=J6,而J6可以合并至IJJ3中)。

因此，三角形ABC的周长为6J3。

第六题

在△ABC中，已知NA=60°,ZB=80°,求NC的度数，并判断aABC的形状。

答案：

根据三角形内角和定理，我们知道任意一个三角形的内角和为180。。因此，我们

可以计算出NC的度数来确定三角形的形状。

•ZA=60°

•ZB=80°

所以，根据三角形内角和公式，可以得到：

[zr=18(T-(N4+N切=/8/一(6b+M)=4"]

因此，ZC=40°o

接下来，我们判断AABC的形状。

ZA=60°,ZB=80°,ZC=40°o

由十三个角的度数都小相等，这说明AABC小是等腰三角形也不是等边三角形。困

此，△ABC是一个不等边锐角三角形。

解析：

此题主要考查了三角形右角和定理的应用以及对三角形形状的理解。首先利用三角

形内角和定理求解出NC的具体度数，进而判断出NA、/B、NC的具体度数，从而判

断出三角形的形状。其中，通过已知两个角求第三个角是解决此类问题的关键步骤。

第七题：

已知等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是底边BC上的高，且NBAC=70°。求证：三

角形ABD是等边三角形。

答案：

证明:

16.因为AD是BC上的高，所以NAD为90°。

17.在等腰三角形ABC中，AB=AC,所以NABONACB。

18.因为NBAC=70°,所以NABC二NACB二(180°-70°)/2二55°。

19.由于AD是高，所以NBAD二NCAD,且NBAD=90°-ZABC=90°-55°=35°。

20.因此，ZBAD=ZCAD=35°,且NBAD+/CAD=70°,与NB.AC相等。

21.根据等角对等边，得到AB=AD=AC。

22.所以三角形ABD的三边AB、BD、AD都相等，因此三角形ABD是等边三角形。

解析：

本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定。通过证明/BAD二NCAD=35°,并

且利用等腰三角形的性质得到AB二AD二AC,从而证明了三角形ABD是等边三角形。解题

过程中需要注意角度的计算和等腰三角形性质的运用。

《三等腰三角形与直角三角形》同步训练（答案在后

面）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、在一个等腰三角形中，已知底边上的高是5cm,底边长为8cm,则这个等腰三角

形的面积是（）o

A.40cm2B.30cm2C.20cm2D.10cm2

2、下列关于直角三角形的说法正确的是（）。

A.斜边上的中线等于斜边的一半。

B.两个锐角之和等于90度。

C.任意两边之和大于第三边。

D.两条直角边长度相等.

3、如果一个等腰三角形的底角是50°,那么它的顶角是多少度？

A.80°

B.60°

C.100°

D.50°

4、在直角三角形ABC中，NC是直角，如果NA是30°,那么NB是多少度？

A.30°

B.60°

C.90°

D.150°

5、在等腰三角形ABC中，如果NA=30°,那么NB的度数为：

A.70°B.120°C.70°或120°D.无法确定

6、己知一个直角三角形的两个锐角分别为a和B,若a+8=110°,则该直角

三角形中较大的锐角为：

A.aB.BC.a或BD.无法确定

7、在等腰三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=100°,则NABC的度数为:

A.40°B、50°C、60°D、70°

8、在直角三角形ABC中，NC=90°,NA=30°,则这AB与BC的比例关系是：

A.1:V3B、73:1C、1:2D、2:1

9、在等腰三角形ABC中，AB=AC,ZB=30°,则NC的度数为：

A.70°B)60°030。D)120°

10、若一个直角三角形的两条直角边长度分别为5cm和12cm,则斜边长度为：

A.13cmB)17cmC)14cmD)15cm

二、计算题(本大题有3小题，每小题5分，共15分)

第一题

题目描述：

在直角三角形ABC中，ZC=90°,AB是斜边,AD是斜边一的高，己知AC=3cm,BC=4cm。

求AD的长度。

第二题：

已知在直角三角形ABC中,ZC=90°,AC知cm,BC知cm,求:

1.斜边AB的长度：

2.以AC为底边，AB为斜边作等腰三角形ADE,求AD的长度。

第三题

在直角三角形ABC中，NC=90°,NA的度数是/B的2倍，求NA、ZB>/C的

度数。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分）

第一题

题目描述：

在aABC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm（>

（1）求AC的长度；

（2）如果点D是AB的中点，连接CD,求CD的长度。

第二题

题目描述：

己知一个等腰三角形的顶角为（80）,求底角的度数。

第三题

题目描述：

已知等腰三角形ABC中，AB=AC,NBAC=120°,点D是BC边上的中点，连接AD。

求证：AD_LBC。

第四题:

题目描述：

已知等腰三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=120°0D为BC边上的点，且AD_LBC。求

证：BD二CD。

第五题：

在直角三角形ABC中，/C=90°,AD是斜边BC上的高，已知ABEOcm,AC=6cm,

求：

（1）BD的长度；

（2）Z\ABD的面积。

第六题

题目描述：

在△ABC中,已知NBAC=90。,AB=AC=10cm,DBC边上的点，且AD1BC,若BD=5cm,

求CD的长度。

第七题

题目描述：在△ABC中，ZA=900,AB=AC,点D是BC的中点，E是AD上的任意一

点，连接BE并延长至点F,使得BF=BE,连接CF。求证：△BFC是等腰三角形。

3.利用等腰直角三角形的性质：

•ZABC=ZACB=45°（因为AB=AC,所以两个底角相等）。

2.考虑4ABD和^ACD：

•ZBAD=ZCAD=4572=22.5°（因为D是BC的中点，且^ABC是等腰直角三角

形）。

3.分析BE和BF的关系：

•*/BF=BE,/ABE=/EBF（对顶角），因此aBEF是等腰三角形。

•:.ZBFE=ZBEFo

4.证明NBCF=NBFC：

•ZBCF=ZBCD+ZDCFo

•ZBCD=ZACD=22.5°（因为NACD=ZBAD=22.5°

•ZDCF=ZADC-ZADE=45°-ZADFo

••:ZADF=ZBAD=22.5°（同理，NADF也是22.5°）。

•:.ZDCF=45°-22.5°=22.5°。

综上所述，有：

因此，^BFC是一一个等腰三角形，其中NBFC=ZBCF=45°。

《三等腰三角形与直角三角形》同步训练及答案解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、在一个等腰三角形中，已知底边上的高是5cm,底边长为8cm,则这个等腰三角

形的面积是（）。

A.40cm2B.30cm2C.20cm2D.10cm2

答案：C.20cm2

解析♦：首先，根据题意，我们知道这个等腰三角形的底边长为8cm,高为5cm。等

腰三角形的面积公式为QX屁"X局）。将给定的数值代入公式计算可得：

8X5=20cn?

2、下列关于直角三角形的说法正确的是（）o

A.斜边.上的中线等于斜边的一半。

B.两个锐角之和等于90度。

C.任意两边之和大于第三边。

D.两条直角边长度相等，

答案：A.斜边上的中线等于斜边的一半。

解析：直角三角形的性质之一是斜边上的中线等于斜边的一半。这是直角三角形

的一个重要特性。而选项B是错误的，因为直角三角形的两个锐角之和应该为90度，

而非90度；选项C描述的是三角形的基本不等关系，并不是直角三角形特有的性质；

选项D指的是等腰直角三角形的特点，而不是所有直角三角形都具备的特性。因此，正

确答案是A。

3、如果一个等腰三角形的底角是50°,那么它的顶角是多少度？

A.80°

B.60°

C.100°

D.50°

答案：A

解析：在一个等腰三角形中，两个底角相等。设顶角为x,则有2*50°+x=180°o

解这个方程得到x=180°-100°=80°。

4、在直角三角形ABC中，NC是直角，如果NA是30°,那么NB是多少度？

A.30°

B.60°

C.90°

D.150°

答案：B

解析：根据直角三角形的角度性质，我们知道一个三角形内角和为180。，并且有

一个直角(90°)。已知NA=30°,因此NB=180°-90°-30°=60°。

5、在等腰三角形ABC中，如果NA=30°,那么NB的度数为：

A.70°B.120°C.70°或120°D.无法确定

答案：C

解析：因为等腰三角形ABC中，如果NA=30°,则有两种情况：一种是NA和N

B是底角，另一种是NA是顶角。如果是底角，则NB=ZA=30°；如果是顶角，则

顶角NA=30°,底角NB=(180°-30°)/2=75°。因此，答案是C。

6、己知一个直角三角形的两个锐角分别为a和B,若a+B=110°,则该直角

三角形中较大的锐角为：

A.aB.BC.a或BD.无法确定

答案：A

解析：直角三角形的三个角之和为180。，其中一个是90°。根据题目，另一个两

个锐角之和为110°。因此，这两个锐角之和为180°-90°=90°。由于a+0=

110°,我们知道a>B,因此较大的锐角为a。答案是4。

7、在等腰三角形ABC中,AB=AC,ZBAC=100°,则NABC的度数为：

A.40°B、50°C、60°D、70°

答案：A、40。

解析：因为AB二AC,所以NABC=/ACB。又因为三角形内角和为180°,所以有NBAC

-2ZABC=180°。将NBAC=100°代入上式，得到100°+2ZABC=180°,从而解

得NABC=40°o

8、在直角三角形ABC中，ZC=90°,ZA=30°,则边AB与BC的比例关系是：

A.1:73B、V3:lC、1:2D、2:1

答案：A.1:73

解析：根据直角三角形中的特殊角度，当一个锐角是30°时，另一个锐角必定是

60°。因此，在这个直角三隹形中，边AB是斜边，边BC是对边于30°角。在这样的

三角形中，对边与斜边之间的比例关系遵循基本的几何关系，即对边等于斜边的一半，

而这里是对边是斜边的J3/2倍。因此，正确的关系是1:J3。

9、在等腰三角形ABC中，AB=AC,ZB=30°,则NC的度数为：

A.70°B)60°C)30°D)120°

答案:B)60°

解析：由于AB二AC,说明三角形ABC是等腰三角形，其底角相等。根据三角形内角

和定理，一个三角形内角和为180°,已知NB=30°,设/C也为30°(因为等腰三角

形的底角相等)，则有30°+30°+ZA=180°,从而解得NA=120°。因此，ZC

的度数为60°。

10、若一个直角三角形的两条直角边长度分别为5cm和12cm,则斜边长度为：

A.13cmB)17cmC)14cmD)15cm

答案：A)13cm

解析：根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。设斜边

为c,则有(#+?/=/),计篁得到(25+144;小，即(/69二力.从而得出(。二二

13耐。所以，斜边长度为13皿。

二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题

题目描述：

在直角三角形ABC中，NC=90°,AB是斜边,AD是斜边二的高，已知AC=3cm,BC=4cn）o

求AD的长度。

答案：

AD的长度为2.4cm。

解析：

首先，根据勾股定理，我们可以计算出斜边AB的长度。

AB=J心+叱=+42==<25=5cm]

由于AD是斜边上的高，根据相似三角形的性质，我们有：

[△ABC〜△力切〜△B（训

且除凯。―—]

但考虑到题目条件和图形结构，实际上AD的长度可以通过直角三角形的面积来确

定，即通过AC和BC的乘积的一半等于AB和AD乘积的一半来计算。

[ACXBC^ABX[3X4=5义/物[12=5X力0弓=2.4。可

因此，AD的长度为2.4cm。

第二题：

已知在直角三角形ABC中，ZC-900,AC-6cm,BC-8cm,求：

4.斜边AB的长度；

5.以AC为底边，AB为斜边作等腰三角形ADE,求AD的长度。

答案：

6.斜边AB的长度可以通过勾股定理求得，即（八8=必?2+8。2）。

•将给定值代入公式：（止'伊+82=736+64=二）"

•因此，斜边AB的长度为10cm。

3.以AC为底边，AB为斜边作等腰三角形ADE,则AD=AE,且NAED=90°（因为

原三角形ABC是直角三角形）。

•在直角三角形ADE中，由于AD二AE且AB=DE（等腰三角形的性质），所以aADE

也是直角三角形。

•由勾股定理，我们有（物+力/=［炉），因为AD=AE,所以（为庐=力用。

•代入AB的长度：（2份=1呼=100）。

•解方程得到（力〃=50）,因此（/〃==5\/2）cm。

解析：

7.第一问利用了直角三角形的性质以及勾股定理来计算斜边的长度。勾股定理表明,

在直角三角形中，斜边的平方等于其他两边平方之和。

8.第二问涉及到了等腰二角形的性质和勾股定理的应用0通过构造等腰二角形并利

用其对称性，我们可以利用直角三角形的性质来解决相关问题。通过计算得出

AD的长度时，应用了勾股定理，并注意到了AD与AB之间的关系。

第三题

在直角三角形ABC中，NC=90°,NA的度数是NB的2倍，求NA、/B、NC的

度数。

答案：

首先，我们知道直角三角形ABC中有一个角是90°（即NC）,根据三角形内角和

定理，三个内角之和为180°。

设NB的度数为x,则NA的度数为2x,因为题目给出NA的度数是NB的2倍。

根据直角三角形的性质，我们有：

[ZJ+NB+ZC=180°]

将已知条件代入得：

[2x+x^90°=180°]

合并同类项：

[3x+9（T=180°\

解方程求x：

[3x=90°]

[x=3（T]

所以NB=30°,那么NA=2*30°=60°。

因此，ZA=60°,ZB=30°,ZC=90°。

解析：

通过题目条件得知NC是一个直角（90°）,并且/A和NB的度数关系是NA是NB

的两倍。由于直角三角形的内角和为180。，我们可以利用这个信息建立一个简单的等

式来求解未知角度。通过解这个等式，我们能够得出NA和NB的具体度数，从而验证

了直角三角形的构成特性。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分）

第一题

题目描述：

在△ABC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,>

（1）求AC的长度；

（2）如果点D是AB的中点，连接CD,求CD的长度。

答案：

（1）由勾股定理，我们有：

［力序=力〃+游|

代入已知数值：

解得：

所以，AC的长度为4cm。

（2）因为点D是AB的中点，根据中点性质，CD是△ABC的中位线。

根据三角形中位线定理，中位线等于第三边的一半，因此：

\11

CD=-AB=-X5=2.5

乙匕

所以，CD的长度为2.5cnu

解析：

•在解决（1）时，利用了勾股定理来求解直角三角形中的未知边长。勾股定理是

解决这类问题的基本工具，它适用于所有直角三角形，只要知道任意两边的长度,

就能求出第三边的长度。

•在（2）中，通过确定点D是AB的中点，并利用中位线的性质，即中位线等于第

三边的一半，可以直接得出CD的长度，而无需再使用额外的定理或公式。这种

解题方法不仅简便，而且能有效节省时间。

第二题

题目描述：

己知一个等腰三角形的顶角为（附），求底角的度数。

答案：

底角的度数为（5。

解析：

根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等。设这个等腰三角形的底角为

W，则其顶角为（梦）因为三角形内角和为（/80）,所以有：

卜。+2x=180]

解此方程得：

\2x=18C-80=100]

因此，底角的度数为（5。）

第三题

题目描述：

己知等腰三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,点D是BC边上的中点，连接AD。

求证：ADJ_BC。

答案：

要证明AD_LBC,即证明NADB或NADC为直角。我们可以先通过构造等边三角形来

简化问题。

解析：

首先，由于福二AC且NBAC=120。，根据三角形内角和定理，我们可以通过计算得

出NABONACB=30°（因为等腰三角形的两个底角相等）。

接下来，考虑到点D是BC的中点，我们可以构建辅助线，延长AD到E,使得DE=DA,

这样可以构造出两个全等的三角形AED和ACD,从而进一步分析。

在AADE和4ACD中，

•AD=AD（公共边）

•ZEAD=ZCAD（对顶角）

•DE=DA

因此，Z\ADEgZ\ACD（SAS）,这意味着AE=AC,ZAED=ZACDo

由于NACD;N.ABC=30°,我们可以得出NAED=30°。现在，考虑四边形AEDC,我

们知道NAED+NACD=60°，而/AEC=NADO90°（因为NAED和NACD的邻补角是直角）,

所以NAEC=90°,这表明AD1BC。

因此，我们已经证明了ADJ_BC。

第四题：

题目描述：

己知等腰三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=120°。D为BC边上的点，且AD_LBC。求

证：BD二CD。

答案：

要证明BD=CD,我们首先利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质来解决这

个问题。

由于AB=AC,NBAC=120°,因此NABC=NACB=30°（因为三角形内角和为180°,

所以两个底角相等）。

又因为AD是高，意味着AD垂直于BC,所以AABD和aADC都是直角三角形。

在直角三角形ABD中，ZBAD=60°（因为NBAC=120°,AD平分NBAC）,则NABD

=30°。

同样地，在直角三角形ADC中，ZCAD=60°,则NACD=30°。

由于NABD=ZACD=30°,且它们都位于AABC的两边上，说明BD和CD分别是

对应的边，因此BD=CDo

解析：

通过上述分析•，我们可以看出等腰三角形ABC中的角度关系以及AD作为高所形成

的直角三角形的特性，进而证明了BD与CD的长度相等。这主要依赖于等腰三角形的性

质以及直角三角形中30。角所对应的边长比例关系。

第五题：

在直角三角形ABC中，ZC=90°,AD是斜边BC上的高，己知AB=10cm,AC=6cm,

求：

（1）BD的长度:

（2）ZkABD的面积。

答案：

（1）根据勾股定理，我们首先计算出斜边BC的长度。因为NC=90°,所以根据勾

股定理有：

将给定的数值代入，得：

"二仪+峭

解这个方程，得到：

[100=36+[小司

由于AD是斜边BC上的高，根据直角三角形的性质，AD?=BD-DCo而在这个特殊

的直角三角形中，我们可以通过相似三角形的性质来解决这个问题。AACDsAABC,

所以AC/AB=CD/BC,BP6/10=CD/8,解得CD=4.8cm。因此，DC=8-4.8=3.2cm«

现在我们已经知道，BC=8cm,CD=3.2cm,所以根据勾股定理在直角三角形BDC

中，BD个BG-C惮=782-3.22="64-10.24=石区用cm。

(2)Z^ABD的面积可以通过底乘以高除以2来计算。这里，底为AB,高为AD。但

我们需要先确定AD的长度。由于ADJ_BC,所以AADC与△ABD都是直角三角形，并且

它们共用一个直角边AC,因此与aABD相似。

利用相似三角形的性质，AD/AC=AB/BC,即AD/6=10/8,解得AD=7.5cm。

因此，AABD的面积为：

\11

%做二吃X/山X力〃二吃X10X7.5=37.历m2

解析：

此题主要考察了勾股定理的应用以及直角三角形的性质，包括直角三角形的高、相

似三角形的概念及其应用等知识点。通过题目中的条件，我们首先计算出了斜边BC的

长度，然后通过相似三角形的性质，找到了CD的长度，从而能够求得BD的长度。最后，

利用相似三角形的性质和面积公式，求得了△ABD的面积。

第六题

题目描述：

在△在C中，已知NBAC=90°,AB=AC=10cm,D是BC边上的点，且AD_LBC,若BD=5cm,

求CD的长度。

答案：

根据题目条件，我们知道aABC是等腰直角三角形，其中NBAC=90°,AB=AC=10cm。

因为AD是高，所以AD垂直十BC,意味着AD将BC分为两个相等的部分。由于BD=5cm,

我们可以利用勾股定理来找到CD的长度。

设CD=x,则BOBD+CD=5+x。因为△ABC是一个等腰直角三角形，其斜边BC可以通

过勾股定理计算得出。首先计算斜边BC的长度：

[BC=JA#+AC2=，/庐+/庐=4200=10/2同

因此,有[5+x=/叫

解这个方程可得：