第01讲 概率初步（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第01讲概率初步

工Lm【学灯目标】

1.了解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.

2.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概念,

理解概率取值范围的意义.

3.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.

4.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了

解频率与概率的区别与联系.

5.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.

知识点1：事件类型

①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.

②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可

能事件.

③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又

叫随机事件）.

说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.

（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，

其中，

①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1;

②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0：

③如果A为不确定事件，那么0<P（A）<l

知识点2：概率

1.定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称

为随机事件A发生的概率，记为P（A）.

（1）一个事件在多次忒验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这

个事件发生的概率。

（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中.有n种可能的结果.并且它们发

生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为

P（A）=-.

n

（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。

（2）在一次实验中，可能出现的结果有限多个.

（3）在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能

性越大，则它的概率越接近1;反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接

近Oo

（5）一个事件的概率取值：OWP（A）

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1,即P（必然事件）=1

不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则OVP（A）<1

（6）口J能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小，则

它的概率越接近0.

事件发生的可能性越来越小।

9_一I概率的值

不可能发生--------------------------必然发牛

事件发生的可能性越来越大’

2.求概率方法:

（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可

能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性

事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助

枚举法。

（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现

的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取

球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

知识点3：频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数

2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某

n

个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P。

【黑例合新】

【题型1:事件类型】

【典例1】（2023春•成华区期末）下列事件是必然事件的是（）

A.打开电视，正在播放神舟载人飞船发射

B.掷一枚骰子，点数是3的面朝上

C.两直线被第三条直线所截，同位角相等

D.三角形内角和是180°

【答案】D

【解答】解：A.打开电视，正在播放神舟载人飞船发射，是随机事件，故A

不符合题意；

B.掷一枚骰子，点数是3的面朝上，是随机事件，故8不符合题意；

C.两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，故C不符合题意；

D.三角形内角和是180°,是必然事件，故D符合题意；

故选：D.

【变式1-1]（2023•武昌区一模）彩民小明购买10000张彩票，中一等奖.这个

事件是（）

A.必然事件B.确定性事件C.不可能事件D.随机事件

【答案】D

【解答】解：彩民小明购买1000（）张彩票，中一等奖.这个事件是随机事件，

故选：D.

【变式1-2]（2023春•高港区月考）“水中捞月”是（）

A.随机事件B.必然事件C.确定事件D.随缘事件

【答案】C

【解答】解：水中捞月不可能达成，故为确定事件中的不可能事件.

故选：C.

【变式1-3］（2023春•江岸区校级月考）下列事件是必然事件的是（）

A.任意画一个三角形，其内角和是180°

B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数

C.汽车累积行驶1000%从未出现故障

D.购买1张彩票，中奖

【答案】A

【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°,是必然事件，故A

符合题意；

B.随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，故3不符合题

息:

C、汽车累积行驶1000切2,从未出现故障，是随机事件，故C不符合题意；

。、购买1张彩票，中奖，是随机事件，故。不符合题意；

故选：A

【题型2：可能性大小】

【典例2］（2（）23•西湖区开学）一个仅装有球的不透明盒子里，共有2（）个红球

和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大均是

()

红球：0个红球：4个

白球：20个白球：16个

B.

红球：10个

白球：10个

【答案】D

【解答】解：•・•一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有

颜色不同），0V4V10V16,

・・・摸到红球可能性最大的是。选项.

故选：D.

【变式2-1］（2023•成武县校级开学）同时掷两个骰子，算点数之和.如果小芳

选5、6、7、8、9五个数，而小明选2、3、4、10、11、12六个数，掷20次，

（）赢的可能性大.

A.小芳B.小明C.机会均等D.无法判断

【答案】A

【解答】解：..•掷出和是5有4种情况，和是6有5种情况，和是7有6种

情况，和是8有5种情况，和是9有4种情况，即这五个数的情况有24种，

掷出和是2有1种情况，和是3有2种情况，和是4有3种情况，和是10有

3种情况，和是11有2种情况，和是12有•1种情况，即这六个数的情况有12

种，

・・・小芳赢的可能性大，

故选：A.

【变式2-2］（2023春•乳山市期末）一个不透明的盒子中装有3个红球和5个

白球，它们除颜色外其它都相同.若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确

的是（）

A.摸到白球是必然事件

B.摸到黑球是不可能事件

C.摸到红球比摸到白球的可能性大

D.摸到红球与摸到白球的可能性相等

【答案】B

【解答】解：A、摸到白球是随机事件，选项错误，不符合题意；

3、摸到黑球是不可能事件，选项正确，符合题意；

C、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符

合题意；

力、红球的数量比白球少，摸到红球比摸到白球的可能性少，选项错误，不符

合题意；

故选：B.

【变式2-3］（2023•白云区二模）一个不透明的盒子内装中有除颜色外，其余完

全相同的2个红球，2个白球，2个黄球，小星将盒中小球搅匀后，每次从中

随机摸出一球，记下颜色后放回盒中搅匀，再从中随机摸出一球下面是他前

两次摸球的情况：当小星第三次摸球时，下列说法正确的是（）

次数第1次第2次第3次

颜色红球红球？

A.一定摸到红球

B.摸到红球的可能性小

C.一定摸不到红球

D,摸到红球、白球、黄球的可能性一样大

【答案】。

【解答】解：•・•不透明的盒子内装有完全相同的2个红球，2个白球，2个黄

球，

・••小星第三次摸到红球、白球、黄球的可能性一样大.

故选：D.

【题型3：概率的意义】

【典例3]（2023•上城区开学）某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100

元，就可以获得一次抽奖机会，中奖的可能性是85%,也就是说抽奖（）

A.100个人抽奖必有85个人中奖

B.抽100次必有85次中奖

C.一定中奖

D.有可能中奖

【答案】。

【解答】解：某商店开展“有奖销售活动”：凡购物满100元，就可以获得

一次抽奖机会，中奖的可能性是85%,也就是说抽奖有可能中奖，

故选：D.

【变式3-1]（2023春•北票市期末）小刚掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出

正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（）

A.0B.1C.AD.，

2100

【答案】C

【解答】解：根据概率的意义，无论哪一次掷硬币，都有2种情况，即正面、

反面朝上，

正面朝上的概率都为』，

2

故选：C.

【变式3・2】（2023春♦清苑区期末）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为

2

下列说法错误的是（）

A.通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的

B.大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于工

2

C.连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上

D.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上

【答案】。

【解答】解:抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为工，就是经过大量重复的实验，

2

抛一枚均匀硬币正面朝上的频率越稳定在2左右，因此，

2

4.通过抛一枚均匀硬币确定篮球赛中谁先发球是公平的，这是公平的，为此

选项A不符合题意；

B.大量重复抛一枚均匀硬币，出现正面朝上的频率稳定于2，这种说法是正

2

确的，因此选项B不符合题意；

C.连续抛一枚均匀硬币10次可能都是正面朝上，是可能存在的，因此选项C

不符合题意；

D.连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，这是不正确的，因此选项。

符合题意；

故选：D.

【变式3-31（2023春•龙华区期末）某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”

对此信息，下列说法正确的是（）

A.明天一定会下雨

B.明天全市90%的地方在下雨

C.明天90%的时间在下雨

D.明天下雨的可能性比较大

【答案】。

【解答】解：某气象台预报“本市明天下雨的概率为90%”，意思是：明天

下雨的可能性比较大，

故选：D.

【题型4：几何意义】

【典例4】（2023春•沙坪坝区校级期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转

盘转动并停止后，指针落在8区域的概率是

45312

【答案】C

【解答】解：由题意可得，指针落在8区域的概率是磔=」.

3603

故选：C.

【变式4-1]（2022秋•连云港期末）如图，转盘中的各个扇形面积相等，任意

4556

【答案】B

【解答】解：,・,圆被等分成5份，其中阴影部分占1份，

，指针落在阴影部分的概率为工.

5

故选：B.

【变式4-2]（2022秋•仓山区校级期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地

板上自由滚动，并随机停在某块方徜上，若每一块方彼除颜色外完全相同，

那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）

A.-iB.苴C.性D.1

995

【答案】A

【解答】解：•・.总面积为9个小正方形的面积.，其中阴影部分面积为4个小

正方形的面积，

・,•小球停留在阴影部分的概率是‘，

9

故选：A.

【变式4-3]（2023春•汝州市期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随

机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（）

A.J-B.2C.AD.A

205220

【答案】D

【解答】解：由图矢1,若设方砖的边长为4，

则地板的总面积为5〃义4〃=20次，黑砖的面积为20a2-1（3〃X3〃+2〃X

2

X5a）=%?,

2

・•・小球最终停留在黑砖上的概率是与二=且，

20a220

故选：D.

【题型5：概率公式】

【典例5]（2022秋•铜梁区校级期末）一个布袋中放着12个黑球和8个纥球,

除了颜色以外没有任何其他区别.则从布袋中任取1个球，取出红球的概率

是（）

A.AB.2C.2D.2

2553

【答案】C

【解答】解：布袋中球的总数为：8+12=20（个），

因此从市袋中任取1个球，取出红球的概率是且上.

205

故选：C.

【变式5-1]（2023•柯桥区一模）学校招募运动会广播员，从三名男生和一名女

生中随机选取一人，则选中女生的概率是（）

A.1B.1C.AD.1

2345

【答案】C

【解答】解：・・,从三名男生和一名女生共四名候选人中随机选取一人，

工选中女生的概率为2，

4

故选：C.

【变式5-2]（2023春•渠县校级期末）某路口南北方向信号灯的设置时间为：

红灯25s,绿灯3（）s，黄灯5s.王老师随机地由南往北开车到达该路口，他遇

到绿灯的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

1112122

【答案】D

【解答】解:因为红灯25s,绿灯30s,黄灯5s,

所以他遇到绿灯的概率是_」，

25+30+52

故选：D.

【变式5-3]（2023•锡林浩特市二模）质检人员从编号为1,2,3,4,5的五种

不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于4的概率

为（）

A..1B.2C.1D.1

5555

【答案】B

【解答】解：:抽取的产品数为5种，编号不小于4的情况有2种，

・・・所抽到的产品编号不小于4的概率为2.

5

故选：B.

【题型6：列表法与树状图法】

【典例6]（2023•朝阳）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校

园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文

艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为4B,C,D）.学校要求八年级全

体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活

动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制

（1）本次一共抽样调查了50名学生;

（2）将条形统计图补充完整；

（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”

的人数；

（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”.用

列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率.

【答案】（1）50；

（2）1.

6

【解答】解：（1）124-24%=50（人），

所以本次一共抽样调查了50名学生；

故答案为：50；

（2）3组人数为50-18-5-12=15（人），

条形统计图补充为：

50

所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人;

（4）画树状图为：

开始

ABC

小小小/h

BCDACDABCAB口

共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为

2,

所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率=2=2.

126

【变式6-1]（2023•东城区校级模拟）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,

除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从

中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）

【答案】C

【解答】解：列表如下:

红绿

红（红，红）（绿，红）

绿（红，绿）（绿，绿）

所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种

情况，

所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为工

4

故选：C.

【变式6-2］（2023春•渠县校级期末）有五条线段，长度分别是2,4,6,8,

10,从中任取三条能构成三角形的概率是（）

A.AB.AC.J-D.2

51025

【答案】B

【解答】解：所有的情况有：2,4,6；2,4,8；2,4,1（）；2,6,8；2,6,

10；2,8,10：4,6,8；4,6,10；4,8,10；6,8,10,共10种，其中

能构成三角形的有:4,6,8；6,8,10；4,8,10,共3种,

则p=A.

10

故选：B.

【变式6-3］（2022秋•昌图县期末）小红有三顶帽子，分别为白色、红色和粉

色，有两条围巾，分别为白色和红色.她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，

恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（）

A.AB.Ac.AD.苴

3266

【答案】C

白红白红白红

共有6种等可能的结果，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种,

所以恰好为红色帽子和红色围巾的概率=工.

6

故选：C.

【变式6-4］（2023•舒城县模拟）甲、乙、丙三个同学并排走在一起，则甲乙恰

好相邻的概率是（）

A.1B.1C.1D

234-f

【答案】D

【解答】解：用树状图分析如下：

开始

第一人甲

第二人

丙,

第三人丙甲

・・・一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，

・•・甲、乙两人相邻的概率是刍上.

63

故选：D.

【变式6-5］（2023•江山市模拟）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校

九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四

个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”.根据获

奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图.

获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表:

分数/分80859095

人数/人42104

根据图形信息，解答下列问题:

（1）求获奖学生的总人数，并补全条形统计图；

（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分,众数是90分:

（3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随

机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰

好抽到甲和乙的概率.

【答案】（1）200人，统计图见解答；

（2）90,90；

（3）-1.

6

【解答】解：（1）本次获奖人数有：20・10%=200（人），

则获得“秦九韶奖”的人数有200X46%=92（人）.

（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分;

故答案为：90,90；

（3）树状图如图所小，

•・•从四人中随机抽取两人共有12种情况，并且每种情况出现的可能性相等,

恰好是甲和乙的有2种可能，分别是（甲，乙），（乙，甲）.

・•・抽取两人恰好是甲和乙的概率是2=2.

126

【题型7：游戏的公平性】

【典例7】（2021秋•乌兰察布期末）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备

了两个可以自由转动的转盘48,每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并

在每一个扇形内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，

指针所指区域的数字之和为0时，中获胜；数字之和为1时，乙获胜.如果

指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止.

（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；

（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）列表:

A盘

1234

-10123

-2-1012

-3-2-101

由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3

种结果.

：・P（乙获胜）=一^-二；

124

（2）公平.

P（乙获胜）=-»P（即铁胜）

4124

；・P（乙获胜）=P（甲获胜）

，游戏公平.

【变式7.1】（2023春•酒泉期末）在“五•四”青年节中，全校举办了文艺汇演

活动.小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额.小丽想出了一

个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示.

游戏规定：随意转动转盘，若指针指到3,则小丽去；若指针指到2,则小芳

去.若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：不会同意.

因为转盘中有两个3,一个2,这说明小丽去的可能性是2,，而小芳去的可

63

能性是」，

6

所以游戏不公平.

【变式7-2]（2023春•梅江区期末）有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都

想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主

意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张,

抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去.

（1）求小明抽到4的概率；

（2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗请说明理由；若不公平，请你修改

游戏规则，使游戏对双方都公平.

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）解：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8

种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有2种.所以，尸（抽到

4）=2」.（2分）

84

答：小明抽到4的概率为（3分）

4

（2）解：不公平.

理由如下：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种，每

种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种.所以，尸（抽到比

4大）=1.

8

所以小明去看演唱会的概率为3,则小亮去看演唱会的概率为：

8

1-1=1.因为旦〈区，所以，游戏不公平.（5分）

8888

修改游戏规则如下：（答案不唯一）从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张

扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；抽到比4小的牌，小亮去，

抽到4重新抽，游戏对双方都公平.（7分）

【变式7-3］（2023•定西模拟）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的

4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁

从剩余的3张牌中也抽出一张.比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获

胜.

（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果：

（2）这个游戏公平吗？请说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）树状图如右：

x36810

/K/N/1\/1\

y681038103610368

则小红获胜的概率：巨=工，小丁获胜的概率：至=工

122122

所以这个游戏比较公平.

【题型8：用频率估计概率】

【典例8】（2022秋•路北区校级期末）在一个不透明的盒子中装有。个除颜色

外完全相同的球，这。个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意

摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频

率稳定在20%左右，则。的值大约为（）

A.16B.20C.24D.28

【答案】B

【解答】解：根据题意知'=20%,

a

解得。=20,

经检验：。=20是原分式方程的解，

故选：B.

【变式8-1]（2022秋•吉安期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统

计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验

最1tx可能的是（）

A频率

0.25-----------------------------------

0.20——二---------------------------

0.15——-----*—

0.10-----------------------------------

0.05------------------------------------

0------1-----1------1------1------1------►

100200300400500次数

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出

一个球是黄球

C.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6

【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布折线图.

【答案】。

【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率计

算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案.

【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

的概率为」，故本选项不符合题意；

3

B.袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出

一个球是黄球的概率为2,故本选项不符合题意；

3

C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是』，故本选

2

项不符合题意；

。、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为工七

6

0.17,故本选项符合题意.

故选：D.

【变式8-2]（2023•巴中模拟）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候

鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉

4（）只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有

10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有只A种候鸟.

【考点】利用频率侑计概率.

【答案】见试题解答内容

【分析】在样本中“200只A种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识

别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答.

【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，

则200：10=/：40,

解得x=800.

故答案为：800.

【变式8-3]（2023春•盐都区期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜

色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验,

他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述

过程，下表是实验中的一组统计数据.

摸球的次数〃10020030050080010003000

摸到白球的次521381783024815991803

数m

摸到白球的频0.520.690.5930.6040.600.5990.601

率

（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6（精

确到0.1）

（2）盒子里白色的球有12只:

（3）若将加个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白

球的概率是0.8,求机的值.

【考点】利用频率估计概率.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）计算出其平均值即可；

（2）用总数乘以其频率即可求得频数；

（3）利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）•・・摸到白球的频率约为06

・•・当〃很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；

（2）・・・摸到白球的频率为0.6,共有20只球，

・••则白球的个数为20X0.6=12只；

（3）根据题意得：8，

20-Hn5占

解得：〃7=20.

故答案为:0.6；12

21&必修依】

1.（2023•呼和浩特）如图所示的两张图片形状大小完全相同，把两张图片全部

从中间剪断，再把四张形状大小相同的小图片混合在一起.从四张图片中随

机摸取一张，不放回，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张

完整图片的概率是（）

A.1B.1C.1D.1

2346

【答案】B

【解答】解：四张形状相同的小图片分别用A、。、B、b表示,其中A和。合

成一张完整图片，8和人合成一张完整图片,

画树状图如下：

开始

共有12种等可能的结果，其中两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数为

4,

所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率=二」.

123

故选:B.

2.（2023•镇江）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上.任意将其中1张卡

片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）

339

【答案】B

【解答】解：・・・任意将其中I张卡片正反面对调一次，有3种对调方式，其

中只有对调反面朝上的2张卡片才能使3张卡片中出现2张正面朝上，

・・.p=2,

3

故选：B.

3.（2023•盘锦）下列事件中，是必然事件的是（）

A.任意画一个三角形，其内角和是180。

B.任意买一张电影票，座位号是单号

C.掷一次骰子，向上一面的点数是3

D.射击运动员射击一次，命中靶心

【答案】A

【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°,是必然事件，故A

不符合题意；

B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故B符合题意；

C、掷一次骰子，向上一面的点数是3,是随机事件，故。不符合题意;

。、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故。不符合题意；

故选：A.

4.（2023•阜新）某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设

置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取

一个主题参赛.如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精

神”的概率是（）

A.1B.1C.1D.1

2369

【答案】。

【解答】解：用1、2、3分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”

三个主题，

画树状图为：

/4X个

12323123

共有9种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为1,

所以他们同时选中主题“海州矿精神"的概率=2.

9

故选：D.

5.（2023•哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，

这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子

是黑棋子的概率是（）

A.1B.1C.AD.2

5323

【答案】D

【解答】解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋

子是黑棋子的有1（）种结果，

所以其概率为也=2,

153

故选：D.

6.（2023•德阳）在6,7,8,9四个数字中仟意选取两个数字，则这两个数字

之和为奇数的概率是（)

A.1B.1C，fD，1

32

【答案】C

【解答】解：画树状图得:

•・,共有12种等可能的结果，这两个数字之和为奇数的有8种情况,

，这两个数字之和为奇数概率为3=2.

123

故选：C.

7.（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统

计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：

移植的棵数1003006001000700015000

a

成活的棵数84279505847633713581

h

成活的频率0.840.930.8420.8470.9050.905

_b

a

根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到。1）

()

A.0.905B.0.90C.0.9D.0.8

【答案】C

【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活

的频率稳定在0.9左右，

故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9.

故选：C.

8.（2023•北京）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第

二次反面向上的概率是（）

A.AB.Ac.AD.旦

4324

【答案】A

【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，

分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则笫一次正

面向上、第二次反面向上的概率是』，

4

故选：A.

9.（2023•湘西州）在一个不透明的袋中装有5个白球和2个红球，它们除颜色

不同外，其余均相同现从袋中随机摸出一个小球，则摸到红球的概率是

—2™•

7~

【答案】2.

7

【解答】解：摸到红球的概率为，-上.

5+27

答案为：2.

7

1（）.（2023•广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球.

（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为人，B,C,D）,若甲先从

中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍。为概

率；

（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向

上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球.这个约定是否公平？为

什么？

【答案】（1）

4

（2）公平,理由见解答.

【解答】解：（1）画树状图如下：

开始

甲ABCD

/N/\/N/N

乙BCDACDABDABC

一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍。有3种可能的结果,

：.P（乙选中球拍C）=§△；

124

（2）公平.理由如下：

画树状图如下：

开始

第1枚止反

AA

第2枚正反正反

一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2

种可能的结果，

：.p（甲先发球）=2」，

42

p（乙先发球）=生2」，

42

・・・尸（甲先发球）=P（乙先发球），

・••这个约定公平.

11.（2023•盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学

生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所

示）.

学生平均每天阅读时长情况统计表

平均每天阅读时长人数

x/min

0«020

20VxW40a

40Vx<6025

60VxW8015

x>8010

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查共抽取了100名学生,统计表中“=30

（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60Vx<80”所对应的圆心角

度数.

(3)若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生

人数.

(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中

选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A,B,C,D标记，先随机

抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，

求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率.

学生平均每天阅读时长

情况扇形统计图

【答案】(1)100,30；

(2)54°；

(3)140名;

(4).1.

6

【解答】解：(1)'・・4()VA<6()组的人数为25,占比为25%,且25・25%=

100,

・•・本次调查共抽取了100名学生；

・・・20<rW40组占比30%,30%X100=30,

，30,

故答案为：100,30；

(2)・・♦样本中平均每天阅读时长为“60VxW80”有15名,

且15+100X360°=54°,

・•・扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60VH80”所对应的圆心角度数

为54°；

（3）・・,样本中平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数为10人，

且104-100X1400=140（名），

，估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数为140名；

（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的

卡片A,B,C,。标记，画树状图如下：

开始

ABCD

小小小小

BCDACDABDABC

一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即

。有2种可能的情况，

：.p（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）=2」.

126

修锦后双周】

1.（2022秋•临汾期末）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球

除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）

A.至少有1个球是黑球B.至少有1个球是白球

C.至少有2个球是黑球D.至少有2个球是白球

【答案】A

【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外

都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1

个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件.

故选：A.

2.（2022秋•辛集市期末）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一

个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率

C.4D.1

252

【答案】A

【解答】解：画树状图如图：

共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，

，小李获胜的概率为生；

25

故选：A.

12345

3.（2023春•环翠区期中）下列事件中，属于必然事件的是（）

A.三角形的外心到三边的距离相等

B.某射击运动员射击一次，命中靶心

C.任意画一个三角形，其内角和是180°

D.抛一枚硬币，落地后正面朝上

【答案】C

【解答】解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内

心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合

题意；

8、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；

C、三角形的内角和是180°,是必然事件，故本选项符合题意；

。、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；

故选：C.

4.（2022秋•南关区校级期末）如图，在4X4正方形网格中，黑色部分的图形

构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部

分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（）

13131313

【答案】B

【解答】解：•・・根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴