第3节 随机事件与概率

第三节随机事件与概率

课标解读考向预测

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解近几年的高考以考查随机事件的频

概率的意义以及频率与概率的区别.率与概率、古典概型为主，其中古

2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与典概型常与排列组合知识交汇考

样本点的关系.查.预计2025年高考以上题型均可

3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件能出现，其中随机事件的频率与概

的并、交运算.率的题目以解答题的形式出现，互

4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的斥事件、对立事件的概念及古典概

概率加法公式.型以选择题、填空题的形式出现，

5.理解古典概型及其概率计算公式.难度中档.

必备知识——强基础

知识梳理

1.样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验石的每个可能的画1基本结果称为样本点,常用①表示.

全体样本点的集合称为试验石的样本空间，常用。表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果COl，0)2,...»(On，则称样本空间。={(01，

g，…，①”}为有限样本空间.

(2)随机事件

①定义：将样本空间。的画子＞称为随机事件，简称事件.

②表示：大写字母A,B,Ct....

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.事件的运算

定义表示法图示

事件A与事件B至少有一个发生，

并事件厨AU8

称这个事件为事件人与事件R的

并事件(或和事件)（或4+8）

事件人与事件4同时发生，称这

国ACW

交事件样一个事件为事件A与事件3的

（或A3）

交事件(或积事件)

3.事件的关系

定义表示法图示

若事件4发生，事件B厨一定发

画B-A◎

包含关系

生，称事件B包含事件4(或事件

（或AGB）

A包含于事件B)

如果事件A与事件就回丕能回

若从八3=0,则A与3

互斥事件时发生,称事件A与事件B互斥

互斥

(或互不相容)

如果事件4和事件B在任何一次

试验中国有且仅有一个发生,

若AflB=。，且AUB

对立事件

称事件4与事件8互为对立，事=Q,则4与B对立

件4的对立事件记为N

4.概率与频率

⑴频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率加A)

会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.

⑵频率稳定性的作用

可以用画频率RA)来估计概率l~i司PG4).

5.概率的性质

性质1：对任意的事件A,都有P(A)2()：

性质2：必然事件的概率为I,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,%。)=0；

性质3：如果事件人与事件8互斥，那么P(AUA)=叵|皿土皿；

性质4：如果事件A与事件4互为对立事件，那么P(/3)=1—P(A),P(A)=向1—P(8)：

性质5：如果AGB,那么P(A)WP(B),由该性质可得，对于任意事件A,因为0GAGQ,所以

OWP(A)W1：

性质6：设A,8是一个随机试验中的两个事件，有RAJ8)=向PG4)+P(B)—PG4CIB).

6.古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(1)有限性：样本空间的样本点只有画有限个.

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性回相处.

7.古典概型的概率公式

一般地，设试验£是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含其中的攵个样本点,

则定义事件4的概率P(A)=回5=常?.

其中，”4)和〃(。)分别表不事件A和样本空间Q包含的样本点个数.

1.概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(4UA2

U...U4〃)=P(4)+P(42)+…+P(4).

2.当随机事件A,B互斥时，不一定对立；当随机事件A,B对立时，一定互斥.也即两事

件互斥是对立的必要不充分条件.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打“止，错误的打“X”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的.()

(2)若事件A和8是互斥事件，则AC1B是不可能事件.()

(3)从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型.()

(4)若人U8是必然事件，则事件人与8是对立事件.()

(5)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能事件.()

答案(l)x(2)V(3)x(4)x(5)x

2.小题热身

(1)(人教A必修第二册习题10.1T14改编)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小

于160cm的概率为0.2,该同学的身高在［160,175J(单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学

的身高超过175cm的概率为（）

A.0.2B.0.3

C.0.7D.0.8

答案B

解析由题意知该同学的身高小于160cm的概率、该同学的身高在［160,175K单位：cm）内

的概率和该同学的身高超过175cm的概率和为I,故所求概率为1-0.2—0.5=03

（2）一个射手进行射击，记事件4=“脱靶"，A2="中靶”，A3=“中靶环数大于4”.则在上述

事件中，互斥而不对立的事件是（）

A.4与4B.4与4

C.4与4D.以上都不对

答案B

解析射手进行射击时，事件人尸“脱卵”，小=“中聊”,小="中聊环数大于4”，事件A与

A?不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件A与A：互斥且对立，A不正确；事件4与

As不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件4与4互斥不对立，B正确；事件Az与4

可以同时发生，即事件4与A3不互斥不对立，C不正确，显然D不正确.

（3）把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为

（）

A.7B.I

-I2

C.2D.Q

答案C

解析根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有Ai=24种不同的

排法，若语文书和英语书不相邻，其排法有A3A4=12种，则语文书和英语书不相邻的概率P

_n_\_

-24-2,

考点探究一提素养

考点一随机事件（多考向探究）

考向1随机事件的关系及运算

例I（1）（2024•广东梅州中学月考）“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，

分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器.某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研

究，记事件4为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件8为“至少研究一个黑匣子”，事件。为“至

多研究一个黑匣子”，事件。为“两个黑匣子都研究则（）

A.A与C是互斥事件

B.3与。是对立事件

C.4与C是对立事件

D.C与。是互斥事件

答案D

解析事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件8为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾

驶舱语音记录器''或"研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录

器”;事件C为“至多研究一个黑匣子”,包含“研究驾驶舱语音记录器''或"研究飞行数据记录

器，，，或“两个黑匣子都不研究”；事件。为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器

和研究飞行数据记录器”.对于A,事件人与事件。不是互斥事件，故A不正确：对于B,

事件B与事件。不是对立事件，故B不正确；对于C,事件B与事件。不是对立事件，故C

不正确；对于D,事件C和事件。不能同时发生，故C与。是互斥事件，故D正确.故选

D.

（2）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：G="点数为广，其中i=l,2,3,4,

5,6；。户“点数不大于2"，6=”点数不小于2"，。3="点数大于5"；E="点数为奇数”；F

="点数为偶数”.下列结论正确的是（）

A.G与。2对立B./力与。2不互斥

C.DyQFD.小（。|0。2）

答案BC

解析对于A,G="点数为1"，Cz="点数为2”，G与C?互斥但不对立，故A不正确；对

于B,。="点数不大于2”，6=”点数不小于2”，当出现的点数是2时，。与。2同时发生，

所以功与S不互斥，故B正确；对于C,5=”点数大于5”表示出现6点，尸="点数为偶

数”，所以。3发生时F一定发生，所以。3GF，故C正确；对于D,。。功表示两个事件同

时发生，即出现2点，E="点数为奇数“，所以。£功发生，事件石不发生，所以£3（7）6。2）

不正确，故D不正确.

【通性通法】

事件关系判断的策略

一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，

若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互

判断事件的互斥、对

斥事件.反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发

立关系

生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不

发生，即有且仅有一个发生

一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现

判断事件的交、并关

的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合

系

的关系和运用Venn图分析事件

【巩固迁移】

I.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C,。发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,

则下列说法正确的是()

A.A1」8与。是互斥事件，也是对立事件

B.8UC与。是互斥事件，也是对立事件

C.AUC与BU。是互斥事件，但不是对立事件

D.A与4UCUD是互斥事件，也是对立事件

答案D

解析对于A,与C是互斥事件，但不对立，因为P(4UB)+P(O=0.7,l,故A错误；

对于B,与。是互斤事件，但不对立，因为，(UUC)I2(0=0.即1,故B错误；对于

C,AUC与8UO是互斥事件，也是对立事件，因为尸G4UC)+P(8UO)=1,故C错误；对

于D,A与8UCUD是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)+P(8UCUO)=1,故D正确.

考向2随机事件的频率与概率

例2某险种的基本保费为以单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年

度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度

0123425

出险次数

保费0.85〃a1.25〃1.5a1.15a2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数0123425

频数605030302010

(I)记人为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费"，求PS)的估计值;

(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"，求P(B)

的估计值;

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所洽数据知，一年内出险次数小于2的

频率为6(甯0=0.55,故P(4)的估计值为0.55.

(2)事件8发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于

30+30

1且小于4的频率为十启一=0.3,故P(4)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

保费0.85。a1.25〃1.5i/1.75。2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查的200名续保人的平均保费为0.854x0.30+ax0.25+1.25ax0.15+1.5ax0.I5+1.75ax0.10

+2ax0.05=l.l925”.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a

【通性通法】

频率与概率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值,

区别通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概

率的估计值

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐

联系

步趋近于某一个常数，这个常数就是概率

【巩固迁移】

2.某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于

或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和H配方)做试验，各生产了

100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果:

4配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数82042228

8配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)"06,H0]

频数412123210

（I）分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率；

⑵已知用B配方生产的一件产品的利润），（单位：元）与其质量指标值i的关系为），=

-2,《94,

<2,94W/V102,估计用8配方生产的一件产品的利润大于。的概率，并求用8配方生产的

.4,彦102,

上述100件产品中每件产品的平均利润.

解（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为一加了=0.3,所以用A配方生

产的产品中优质品率的估计值为03

12+10

由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为二k=042,所以用B配方生产的

1UU

产品中优质品率的估计值为0.42.

⑵由条件知，用8配方生产的一件产品的利润大于0,当且仅当其质量指标值/294,由试

验结果知，质量指标值7294的频率为「10霁0—一4=0.96,

JUU

所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.

用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为心x[4x（—2）+54x2+42x4]=2.68元.

1VV

考点二互斥事件与对立事件的概率

例3（1）人类通常有O,A,B,AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是

有严格规定的.设X代表O,A,B,AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血

者，则输血规则如下：①X-X：②O—X；③X—AB.己知我国O,A,B,AB四种血型的人

数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，

则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（）

A.0.31B.0.48

C.0.65D.0.69

答案D

解析若受血者为A型血，则0型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能

为这位受血者正确输血的概率为0.41+0.28=0.69.

(2)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33名成员，

一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一名成员，则他至少参加2

个小组的概率为,他至多参加2个小组的概率为.

解析记“恰好参加2个小组”为事件A,“恰好参加3个小组”为事件8,随机选取一名成员，

恰好参加2个小组的概率P(A)=米+4+兴恰好参加3个小组的概率尸(B)=奈=会，

723

则至少参加2个小组的概率为尸(A)+P(B)=w+古=§,至多参加2个小组的概率为l-P(B)

,213

_1一石一I?

【通性通法】

求互斥事件概率的一般方法

将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的

直接法

求和公式计算

先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P(1)求出所求概率，特

间接法

别是“至多，，“至少，，型题目，用间接法比较简便

【巩固迁移】

3.已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取

出红球为事件A,取出黑球为事件B,随机事件。与B对立.若尸(AU8)=0.5,则尸(。=()

A.0.3B.0.6

C.0.7D.0.8

答案C

2

解析由题意可知，尸(A)=m=0.2.因为4与8互斥且P[AU8)=0.5,所以P(8)=0.3.又因为

随机事件C与B对立，所以P(C)=l—0.3=0.7.

4.若随机事件A,8互斥，A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-mP(B)=4a—5,则

实数。的取值范围为.

2口水(Q543_]

OVP(A)<1,

解析由题意可知[8)VI,

P(A)+P(B)<1,

0<2-«<1,

即｛()V4〃-5V1,即<解得*a/故实数a的取值范围为G，

.3。-3W1,aWa

<J

考点三古典概型

例4(1)(2024・南通质检)我国数学家张益唐在“挛生素数”研究方面取得突破，挛生素数也称

为季生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选

取2个不同的数，恰好是一组挛生素数的概率为()

3「3

AA-56B-28

C.1D.1

答案D

解析大于3且不超过2()的素数为5,7,11,13,17,19,共6个，随机选取2个不同的

数，分别为(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13),(7,17),(7,

19),(11,13),(11,17),(11,19),(13,17),(13,19),(17,19),共15种选法,其中恰

好是一组李生素数的有(5,7),(11,13),(17,19),共3种，故随机选取2个不同的数，恰

好是一组李生素数的概率为去3=£1

IJ0

(2)已知a,b€{—2,—1,1,2),若向量机=3，b),/?=(1,1),则向量〃，与〃所成的角

为锐角的概率是()

31

A-16B-4

答案B

解析向量m与n所成的角为锐角等价于inn>0,且/〃与〃的方向不同，即mn=(a,b)(\,

l)=a+bX),且干处,则满足条件的向量加有(一1,2),(1,2),(2,-1),(2,1),共4种,

41

又m的取法共有4x4=16种，则向量in与n所成的角为锐角的概率是花=[.

(3)已知〃2,〃€{1，2,3,4},且〃印〃，则方程)+，=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是

2g1

答案J

解析方程5+^=1表示焦点在x轴上的椭圆，则有(2,1),(3,1),(3,2),(4,

1),(4,2),(4,3),共6种，在题设条件下，方程有/=12种，所以所求概率为P苴=；.

【通性通法】

公式法求解古典概型问题的步骤

【巩固迁移】

5.将3名男生、1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至

少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是()

A-12B-3

CJ12D16

答案D

解析分配方案的总数为CML恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CJLM和，则

恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是尸=藤=/

6.(2022.全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

答案~

口木35

解析从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=&=70种取法，这4个点在同一个平面的有

,〃=6+6=12种取法，故所求概率尸=々=粽=蔡

7.已知函数y=/,集合4={-3,—2,-I,0,1,2,3},现从A中任意取出若干个元素

组成函数的定义域。，则函数)，=/的值域为{1,4}的概率为.

9

答案127

解析易知集合A的非空子集有27—1=127个，即样本点的总数为127,记“函数)，=/的值

域为{1，4}”为事件M,'7)中含有2个元素且函数)，=W的值域为{1,4}”为事件Mi，"。中

含有3个元素且函数y=E的值域为{1,4}”为事件M2，“。中含有4个元素且函数y=/的

值域为{1，4}”为事件Ma，易知"|+"2+加3=知，则MI中含有的样本点为(一1,一2),(—1,

2).(I,-2).(L2),共4个：M2中含有的样本点为(一1,一2,I),(—1,一2,2).(一2,

1,2),(—1,1,2),共4个；M3中含有的样本点为(一2,—1,I,2),只有1个.所以P(M)

4419

=P(M+%+M5)=P(M)+P(M2)+P(M0=历+屈+诟=历.

考点四古典概型与统计的交汇问题

例5为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，其机构日前联合医院，进行了小规模

的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药

品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统

计数据如表：

疲乏症状

新药合计

无疲乏症状有疲乏症状

未使用新药15025t

使用新药Xy100

合计225m275

⑴求2x2列联表中的数据x,»〃?，/的值，根据小概率直a=0.05的独立性检验，能否判断

有无疲乏症状与是否使用该新药有关？

(2)从使用该新药的10()人中按是否有疲乏症状，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽出4

人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.

nqad-be)2

附：/2=〃=a+0+c+d.

(a+O)(c+J)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

Xu

解（1）由数表知，x=225-150=75,y=100-75=25,〃?=275—225=50,f=150+25=175,

所以x=75,y=25,〃?=50,r=175,

零假设为儿：有无疲乏症状与是否使用该新药无关.

77SX（150x?5—?Sx75）277S

根据列联表中的数据，经计算得到/2=—=翁4.911>3.841=xo.o5.

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断从不成立，即认为有无疲乏症状与是否使用

该新药有关.

（2）从使用新药的100人中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人的抽样比为宜=表，

则抽取有疲乏症状的人数为£X25=1,无疲乏症状的人数为3,

记”这2人中恰有1人有疲乏症状”为事件M,于是P（M）=罟CICI=gI所以这2人中恰有1人

有疲乏症状的概率是今

【通性通法】

有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个宣要题型.概率与统计的结合题，无

论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是

解题的关键.复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.

【巩固迁移】

8.为了调查国企员工对现行个税法的满意程度，研究人员在某地各个国企中随机抽取了1000

名员工进行调杳，并将满意程度以分数的形式统计成如二的频率分布直方图，其中〃=44

（1）求》的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；（计算结果保留两位小数）

⑵若采用比例分配的分层随机抽样方法从［50,60）,［60,70）中随机抽取8人，再从这8人中

随机抽取2人，求至少有1人的分数在［50,60）的概率.

解(1)依题意，得(。+8+0.008+0.027+0.035>10=1,所以。+力=0.03,

又a=4b,所以。=0.024,/>=0,006,

­、皿〃.0.5-0.08-0.24

所以中位数为70+----丽云------75.14.

(2)依题意，知分数在［50,60)的员工抽取了2人，记为a，b,分数在［60,70)的员工抽取了6

人,记为1,2,3,4,5,6,

所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况有(〃，b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,

5),(〃，6),S，1),(〃，2),(b,3),s，4),S，5),(/？,6),(1,2),(1,3),(1,4).(1,

5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,

6),共28种，

其中满足条件的有3，b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6),(b,1),(b,2),

S，3),S，4),(b,5),(b,6),共13种，

13

设“至少有1人的分数在［50,60)”为事件A,则P(A)=/

Zo

课时作业

A级，

一、单项选择题

1.抛掷一枚骰子，记”向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件8,则()

A.AQB

B.A=B

C.AU8表示向上的点数是1或2或3

D.4nA表示向上的点数是I或2或3

答案C

解析由题意，可知A={1,2},B={2,3},则4PIB={2},AUB={\,2,3},所以AU8

表示向上的点数为1或2或3.故选C.

2.从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中随机不放回地摸球两次，每

次摸出一个球.若事件”两个球都是红球''的概率端，“两个球都是白球”的概率为最则”两

个球颜色不同”的概率为()

47

A-15B-15

答案c

解析设“两个球都是红球”为事件A,“两个球都是白球”为事件B,“两个球颜色不同”为事件

21——

C,则P(A)=qP(B)=y且。=408.因为A,B,C两两互斥，所以P(O=1—P(C)=1

2i8

一P(AUB)=1一［0(A)+P(B)］=1一代一］=正.故选C.

1JJ1J

3.(2023•广东东莞模拟)在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率

是()

1八2

A•五B-21

1

jC42iD>・7

答案B

解析不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17,随机选取两个不同的数有C^=2I种，

2

和等于16的有3+13=16,5+11=16,共2种，所以和等于16的概率是五.

4.《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一，是一部传习久远的兵法奇书，与《孙子兵

法》合称我国古代兵法谋咯学的双璧，三十六计共分胜战计、敌战计、攻战计、混战L、并

战计、败战计六套，每一套都包含六计，合三十六个计策，如果从这36个计策中任取2个计

策，则这2个计策都来自同一套的概率为()

A.4B.=

C1D

J742

答案c

解析从这36个计策中任取2个计策，基本事件总数“=(36=630,这2个计策都来自同一

套包含的基本事件的个数m=6以=90,则这2个计策都来自同一套的概率为尸=£=篇=:.

故选C.

5.设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(4)+尸(B)=l,则甲是乙的

()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.允要条件

D.既不充分也不必要条仁

答案A

解析若事件A与事件8是对立事件，则AU8为必然事件，再由概率的加法公式得尸(4)+

尸(8)=1.但P(A)+P(8)=1，A,8不一定是对立事件，如投掷一枚硬币3次，事件A="至少

71

出现一次正面“，事件8="出现3次正面”，则P(A)=g,P(B)=Q,满足P(4)+P(B)=I,但4,

3不是对•立事件.故甲是乙的充分不必要条件.

6.(2024.海南华侨中学模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验

舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人,

问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲、乙两人安排在不同舱内的概率为()

A-6

答案B

解析从甲、乙、丙、丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，

则有C3A3=6x2=12种可能，要使得甲、乙在同一个舱内，由题意，甲、乙只能同时在天和

核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有A?=2种可能.所以甲、乙两人安

排在同一个舱内的概率尸=方，则甲、乙两人安排在不同舱内的概率。=1一2丸.

7.已知〃W{0,1,2},床(-1,1,3,5},则函数K：)=aF-2法在区间(1,+oo)上为增

函数的概率是()

A.专B.|

11

「C4口D，6

答案A

解析因为aW{0,1,2}.斥{-1,1,3,5},所以样本点总数〃=3x4=12.函数於)=底

-2/＞在区间(I,+8)上为增函数，①当〃=0时，儿"=一2"，符合条件的只有(0,-1),

即。=0,b=-\；②当访⑷时，需要满足［wi,符合条件的有（1,-1）,（1,I）,（2,-1）,

（2,1）,共4种.所以函数危尸加一2以在区间（1,+s）上为增函数的概率是看

8.（2024.“西南汇”联考）已知某校高三年级共1400A,按照顺序从1到1400编学号.为了如

实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有2个黑球和

3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是向球，回答问题一；否则回答问题二.问

题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现

在高三年级1400人全部参与调查，经统计，有972人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高

三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（）

A.8B.20

C.148D.247

答案B

32

解析根据题意，回答问题一的学生约有1400x^=840A，回答问题二的学生约有1400xj=

560人，840人中约有420人回答“否”，则560人中约有972—420=552人回答“否”，8人回

答“是”，则问题二回答“是''的人数约占玄，该校高三年级“带智能手机进入校园''的人数约为

1400x^=20.

二、多项选择题

9.包含甲、乙的若干人站成一排，其中不是互斥事件的是（）

A.“甲站排头”与“乙站排头”

B.“甲站排头”与“乙不站排尾”

C.“甲站排头”与“乙站排尾”

D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”

答案BCD

解析排头只能有一人，因此“甲站排头''与"乙站排头”互斥，而B,C,D中，甲、乙站位不

一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥.故选BCD.

10.小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通培塞状况有所变化，其概

率分布如下表所示：

所需时间（分钟）30405060

线路一0.50.20.20.1

线路二0.30.50.10.1

则下列说法正确的是()

A.任选一条线路，”所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一

D.若小张上下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

答案BD

解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，故A错误；线

路一所需的平均时间为30x0.5+40x0.2+50x0.2+60x0.1=39分钟，线路二所需的平均时间

为30x0.3+40x0.5+50x0.1+60x0.1=40分钟，故B正确；线路一所需时间小于45分包的概

率为0.7,线路一所需时恒小于45分钟的概率为0.8,小张应选饯路一，故C错误；所需时

间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情

况，概率为0.2x0.1+0.1x0.1+0.1x0.1=0.04,故D正确.故选BD.

三、填空题

11.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件/，表示

“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件AU后发生的概率为.

9

答案3

2I42

解析抛掷一枚骰子的试检有6种等可能的结果，依题意知P(4)=言P⑹=＞东所以

-2I——

P(4)=l-P(B)=l-§=亍因为8表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与4互斥，从

——112

而P(AU3)=P(A)+P(8)='+§=Q.

12.北斗七星自古是我国人民辨别方向、判断季节的重要依据、北斗七星分别为天枢、天璇、

天矶、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随

机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一•颗被选中的概定为.

工褊1大枢

八权

摇光璇

天矶

答案号

解析因为玉衡和天权都没有被选中的概率为尸=言=印，所以玉衡和天权至少一颗被选中

的概率为1一号=非

13.(2024・湖南名校联考)某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣

拓展活动.现有甲、乙、丙、丁四人，乒乓球、篮球、足球、羽毛球、网球五项活动，由于

受个人精力和时间限制，每人只能等可能的从中选择一项活动，则四人中恰有两人参加同一

活动的概率为.

答案含

解析根据题意，每个人有5种选择，四人共54种选法，其中恰有两人参加同一种活动，有

GCSAi种选法，故四人中恰有两人参加同一种活动的概率为笔色=含.

14.(2023•石家庄二中模拟)数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三

位数.水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间(150,160)内，我们姑且称它为“水仙四妹”,