高考数学模拟试卷(衡中)

2018年衡中高考数学全真模拟试卷（理科）

第1卷

一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的

I.（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2VI},B={y|y=|x|},则AAB=（）

A.0B.（0,1）C.[0,1）D.[0,1]

2.（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量&〜N（3,。2）,若P（€>4）=0.2,则P（3<

C<4）=（）

A.0.8B.0.4C.0.3D.0.2

3.（5分）（2018•衡中模拟）已知复数2=（i为虚数单位），则3=（）

A.IB.-1C.D.

4.（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线-=1（a>0,b>0）的一个焦点F作两渐近线的垂

线，垂足分别为P、Q,若NPFQ=五，则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x

5.（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个

圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为rlj2,r3,那么rl+r2+r3的值为（）

A.B.2C.D.1

6.（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{an}中,a3=7,a5=ll,若bn=,则数列{bn}的前8项

和为（）

A.B.C.D.

8.(5分)(2018•衡中模拟)已知(x-3)10=a0+al(x+1)+a2(x+i)2+-+al0(x+1)10.

则a8=()

A.45B.180C.-180D.720

9.（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S-ABC的三视图、其表面积为（）

A.16B.8+6C.16D.16+6

10.（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E:+=1（a>b>0）的左焦点F（-3,0）,P为椭

圆上-动点，椭圆内部点M（7,3）满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.

II.（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）-kx恒有一个零点，则k的

取值范围为（）

A.kWOB.kWO或k21C.kWO或k2cD.kWO或k2

12.（5分）（2018•衡中模拟）己知数列（an）的通项公式为an=-2n+p,数列｛bn）的通项公式

为bn=2n-4,设cn=,若在数列｛cn｝中c6〈cn（n£N*,nW6）,则p的取值范围（）

A.（11,25）B.（12,22）C.（12,17）D.（14,20）

第2卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13.（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2,|-|=，则在上的投

影为

14.（5分）（2018•衡中模拟）若数列｛an｝满足al=a2=l,an+2=,则数列｛an｝前2n项和

S2n=.

15.（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a-2）y+4-a=0把区域分成而枳相等的两部

分，则的最大值为

16.（5分）（2018•衡中模拟）己知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（aV-1）对任意的xl、

x2>0,恒有|f（xl）-f（x2）|^4|xl-x2|,则a的取值范围为

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=l,且

cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0

（1）求C的大小：

（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A.B的值.

18.（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱徘P-ABCD中，侧棱PA_L底面ABCD,AD〃

BC,ZABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.

（I）求证：平面PBC_L平面PCD；

（H）设点N是线段CD上一动点，且=入，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求

19.（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B）,在两个图中三个扇形

区域的圆心角分别为60°、120。、180°.用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个

转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开

始），记转盘（A）指针所对的区域为x,转盘（B）指针所对的区域为y,x、y£{l,2,3},设

x+y的值为€.

（I）求xV2且y>l的概率：

（H）求随机变量4的分布列与数学期望.

20.（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E:+=1（a>b>0）,倾斜角为45°的直线与椭

圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（-1,）.过椭圆E内一点P（1,）的两条

直线分别与椭圆交于点A.C和B.D,且满足=入，=入，其中人为实数.当直线AP平行

于x轴时.对应的入=.

（I）求椭圆E的方程；

（II）当入变化时,kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点x=c2处的切线与直

线x-2y+e=0平行.

(I)若函数g(x)=f(x)・ax在(1,+8)上是减函数，求实数a的最小值；

(II)若函数F(x)=f(x)-无零点，求k的取值范围.

［选修4-1:几何证明选讲］

22.(10分)(2018•衡中模拟)如图所示,AC为。O的直径,D为的中点,E为BC的中点.

(I)求证:DE〃AB：

(II)求证：AC-BC=2AD・CD.

AC

［选修4-4:坐标系与参数方程］

23.（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线1的参数方程为（t为参数），在以直角

坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为P=

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线1的普通方程；

（2）若直线I与曲线C相交于A,B两点，求AAOB的面枳.

［选修4-5:不等式选讲］

24.（2018•衡中模拟）已知函数f<x）=|x-l|+|x-3|.

（I）解不等式f（x）W6：

（ID若不等式f（x）2ax-l对任意x£R恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2Vl},B={y|y=|x|},则ACB=（）

A.想（0,I）C.[0,1）D.[0,I]

【解答】A={x|x2<1}={x|-1<x<1},B={y|y=|x|^0）,

贝ijAnB=[0,1）,

故选：C.

2.（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量&〜N（3,。2）,若P（4>4）=0.2,则P（3<

C<4）=（）

A.0.8B.0.4C.0.3D.0.2

【解答】解：•••随机变量X服从正态分布N（3,02）,

/.u=3,得对称轴是x=3.

VP（S>4）=0.2

AP（3<CW4）=0.5-0.2=C.3.

故选：C

3.（5分）（2018•衡中模拟）已知狂数2=（i为虚数单位），则3=（）

A.1B.-1C.D.

【解答】解：复数z=,

可得="=cos+isin.

则3=cos4n+isin4n=l.

故选:A.

4.（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线-=1（a>0,b>0）的一个焦点F作两渐近线的

垂线，垂足分别为P、Q,若NPFQ=八，则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x

【解答】解：如图若NPFQ=n,

则由对称性得NQFO=,

则/QOx=,

即OQ的斜率k==tan=,

则双曲线渐近线的方程为y=±x,

故选：B

5.（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三

个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为rl,r2,r3,那么rl+r2+r3的值为（）

A.B.2C.D.1

【解答】ft?:V2nrl=,.*.rl=,同理，

Ariir2ir3=l,

故选：D.

6.（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：第一次循环,sin>sin0,即1>0成立,a=l,T=l,k=2,kV6成立,

第二次循环,sin兀>sin,即0>1不成立,a=0,T=l,k=3,kV6成立,

第三次循环,sin>sinn,即-1>0不成立,a=0,T=l,k=4,kV6成立，

第四次循环,sin2丸>sin,即0>-1成立,a=l,T=l+1=2,k=5,kV6成立，

第五次循环,sin>sin2K,即1>0成立,a=l,T=2+l=3,k=6,k<6不成立，输出T=3,

故选：B

7.（5分）（2018•衡中模拟）等差数列｛an｝中,a3=7,a5=ll,若bn=，则数列｛bn｝的前8项

和为（）

A.B.C,D.

【解答】解：设等差数列｛an｝的公差为d,a3=7,a5=ll,

a3=a1+2d=7

，

a5=a1+4d=ll

解得al=3,d=2,

an=3+2(n-1)=2n+l,

.,1_1A_1、

in为而尸IT笛＞

••.b8」(1-工+工-1+..△-1)=1(1-1)=2

422389499

故选B.

8.(5分)(2018•衡中模拟)己知(x-3)10=a0+al(x+1)+a2(x+1)2+-+al0(x+l)

10,则a8=()

A.45B.180C.-180D.720

【解答】解：(x-3)IO=[(x+1)-4]10,

2

・'・a8=cfo(-4)=72O»

故选:D.

9.(5分)(2018•衡中模拟)如图为三极锥S-ABC的三视图、其表面积为()

A.16B.8+6C.16D.16+6

【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2,4.4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体.

三棱锥的三条边长分别为，

・••表面积为4X=16.

故选：C.

10.(5分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点F(-3.0),P为

椭圆上一动点，椭圆内部点Mi-1,3)满足PF+PM的最大值为17,则椭圆的离心率为()

A.B.C.D.

【解答】解：设右焦点为Q,

由F(-3,0),可得Q(3,0；,

由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a,

即|PF|=2a-|PQ|,

则|PM|+|PF|=2a+(|PM|-|PQ|'W2a+|MQ|,

当P,M,Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|,

由|MQ|==5,可得2a+5=17,

所以a=6,

则e===,

故选：A.

II.(5分)(2018•衡中模拟)已知f(x)=，若函数y=f(x)-kx恒有一个零点，则k的

取值范用为()

A.k这0B.kWO或kNlC.kWO或kNeD.k这0或kN

【解答】解：由y=f(x)-kx=O得f(x)=kx,

作出函数f(x)和y=kx的图象如图，

由图象知当kWO时，函数f(x)和丫=10(恒有一个交点，

当x20时，函数f(x)=ln(x+1)的导数f'(x)=,则r(0)=1,

当x<0时，函数f(x)=ex-1的导数f'(x)=ex,则「(0)=e0=1,

即当k=l时,y=x是函数f(x)的切线，

则当0<k<i时，函数f(x)和y=kx有3个交点，不满足条件.

当k21时，函数f(x)和y=kx有1个交点，满足条件.

综上k的取值范围为k<0或kA1,

故选：B.

12.(5分)(2018•衡中模拟)己知数列｛an｝的通项公式为an=-2n+p,数列｛bn｝的通项公式

为bn=2n-4,设cn=,若在数列｛cn｝中c6Vcn(n^N*,n#=6),则p的取值范围()

A.(11,25)B.(12,22)C.(12,17)D.(14,20)

【解答】Van-bn=-2n+p-2n-4,

二•an-bn随着n变大而变小，

又•.•an=-2n+p随着n变大而变小，

bn=2n-4随着n变大而变大，

ac>b4

・•・<=12<p<22，

b?a7

_/=16<p<2C

(1)当c6=a6=12+p,

a6<b7

(2)当，

综上p£(14,20),

故选D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)

13.(5分)(2018•衡中模拟)若平面向量、满足||=2||=2,|-|=，则在上的投

影为-1.

【解答】解：根据条件，

=4-2a*b+l

=7：

,*a*b=_1;

・••在上的投影为.

故答案为：-I.

14.(5分)(2018,衡中模拟)若数列｛an｝满足al=a2=l,an+2=，则数列｛an｝前2n项和S2n=

2n+n2-1.

【解答】解：:数列｛an｝满足al=a2=l,an+2=,

An=2k-1时,a2k11-a2k-1=2,为等差数列；

n=2k时,a2k+2=2a2k,为等比数列.

S2n=(1+3+5+…+2n-l)+(l+2+4+,,,42n-1)=n2+2n-1-

故答案为:2n+n2-1.

15.(5分)(2018•衡中模拟)若直线ax+(a・2)y+4・a=0把区域分成面积相等的两部

分，则的最大值为2.

【解答】解：由ax+(a-2)y+4-a=0得a(x+y-1)+4-2y=0,

则得，即直线恒过C(-1,2),

若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D.

由得，即A(1,6),

VB(3,0),・•・中点D(2,3),代入a(x+y-1)+4-2y=0,

得4a-2=0.

则，则的几何意义是区域内的点到点(-2,0)的斜率，

由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2.

故答案为：2.

16.(5分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=(a+1)lnx+x2(aV-1)对任意的xl.x2

>0,恒有|f(xl)・f(x2)]》4|xl・x2|,则a的取值范围为(-«>t-2].

【解答】解：由f'(x)=+X,

得F(1)=3a+l,

所以f(x)=(a+1)lnx+ax2,(a<-I)在(0,+°0)单调递减，不妨设0<xI<x2,

则f(xl)-f(x2)24x2-4x1,即f(xl)+4xl2f(x2)+4x2,

令r(x)=f(x)+4x,F'(x)=f'(x)+4=+2ax+4,

等价于F(x)在(0,+8)上单调递减，

故F'(x)WO恒成立，即+2&X+4W0,

所以恒成立，

得aW-2.

故答案为：(-8,-2].

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12分)(2018•衡中模拟)在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足c=l,且

cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=0

(1)求C的大小；

(2)求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A,B的值.

【解答】解：＜1)cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=0

可得：cosBsinC-(a-sinB)cosC=0

即：sinA-acosC=0.

由正弦定理可知：，

,c=l,

asinC-acosC=0,

sinC-cosC=0,可得sin(C-)=0,C是三角形内角，

AC=.

(2)由余弦定理可知:c2=a2+b2-2abcosC,

得1=a2+b2-

2,,2

又ab《包土，

2

22

•••（i-^）（a+bXh

即：&2+b242+五

当时,a2+b2取到最大值为2+.

18.（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA_L底而ABCD,AD〃

BC,ZABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M是棱PB中点.

（I）求证：平面PBC_L平面PCD；

（H）设点N是线段CD上一动点，且=入，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求

【解答】证明：(1)取PC的中点E,则连接DE,

VME是△PBC的中位线，

/.ME，又AD,

.*.MEAD,

四边形AMED是平行四边形，・•・/”【〃0£.

VPA=AB,M是PB的中点,

AAM±PB,

PA_L平面ABCD,BCc平面ABCD,

/.PA±BC,又BC_LAB,PAAAB=A,

，BC_L平而PAB,VAMc平面PAB,

ABC1AM,

又PBc平面PBC.BCc平面PBC,PBnBC=B,

平面PBC,VAM/7DE,

，DE_L平面PBC,乂DEu平面PCD,

・•・平面PBC_L平面PCD.

(2)以A为原点，以AD.AB,AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(0,0,0),B(0,2,0),M(0,I,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0).

/.=(1,2,0),=(0,1,1),=(1,0,0),

.・.=x=(X,2X,o),=(X+l,2Xfo),

==(入+1,2入-I,-I).

•，AD_L平面PAB./.为平面PAB的一个法向量.

ACOS<AD,水〉

AD*MN入+1X+l

同11而I6入2-2入+36（入+1）2-12（入+1）+10

1__________

「一12।10二

V入+1（入+1产

1

izH）看

设MN与平面PAB所成的角为0,则sin0=.

・•.当即时，sin（）取得最大值，

AMN与平面PAB所成的角最大时.

19.（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B）,在两个图中三个扇形

区域的圆心角分别为60°、120。、180°.用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个

转盘待指针停卜（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开

始），记转盘（A）指针所对的区域为x,转盘（B）指针所时的区域为y,x、y£{l,2,3},设

x+y的值为€.

（I）求xV2且y>l的概率：

（H）求随机变量€的分布列与数学期望.

【解答】解：(1)记转盘A指针指向1,2,3区域的事件为A1,A2,A3,

同理转盘B指针指向1,2,3区域的事件为Bl,B2,B3,

AP(Al)=,P(A2)=,P(A3)=,

P(Bl)=,P(B2)=,P(B3)=,

P=P(Ai)P(1-P(Bi))

X(1-).…（5分）

(2)由已知得&的可能取值为2,3,4,5,6,

P(C=2)=P(Al)P(Bl)===,

P(€=3)=P(Al)P(B2)+P(A2)P(Bl)==,

P(&=4)=P(Al)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P<B1)=

p(&=5)=p(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=+=,

P(f>=6)=P(A3)P(B3)==,

・•・€的分

布列为：23456

Sf

P62139339

108108108108108

E4==.…(12分)

20.(12分)(2018•衡中模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0),倾斜角为45°的直线与椭

圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为(-I,).过椭I51E内一点P(1,)的两条

直线分别与椭圆交于点A.C和B.D,且满足=入，=X，其中人为实数.当直线AP平行

于x轴时，对应的入=.

(I)求椭圆E的方程；

(II)当人变化时,kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

【解答】解：(I)设M(ml,nl)、N(m2,n2),则，

两式相减，

故a2=3b2...(2分)

当直线AP平行于x轴吐设|AC|=2d,

,/,，则，解得，

故点A(或C)的坐标为.

代入椭圆方程，得…4分

a2=3,b2=L

所以方程为《+y2二］"分)

(II)设A(xl,yl)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)

由于，可得A(xl.yl)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),

入入

x2+x4=l+

同理而二人玩可得i…②…(8分)

y+Xy=—(1+X)

24乙

由①②得：…③

将点A.B的坐标代入椭圆方程得，

两式相减得(xl+x2)(x1-x2)+3(yI+y2)(yI-y2)=0.

于是3(yi+y?)kAB=-(xi+x2)…④

同理可得:3(y3+y4)kCD=-(x3+x4),…(10分)

于是3(y3+y4)kAB=-(x3+x4)(VAB/7CD,/.kAB=kCD)

所以3人(y3+y4)kAB=-A(X3+X4)…⑤

由④©两式相加得到：3[yl+y2+入(y3+y4)]kAB=-[(xl+x2)+X(x3+x4)]

把③代入上式得3(1+X)kAB=-2(l+X),

解得：，

当人变化时,kAB为定值，.…(12分)

21.(12分)(2018•衡中模拟)已知函数f(x)=，曲线y=fix)在点x=e2处的切线与直

线x-2y+e=0平行.

(I)若函数g(x)=f(x)-ax在(1,+8)上是减函数，求实数a的最小值；

(II)若函数F(x)=f(X)-无零点，求k的取值范围.

【解答】解：(I)由，得，解得m=2,

故，则，函数g(x)的定义域为(0.1)U(l,+oo),

而，又函数g(x)在(1,+8)上是减函数，

・••在(1,g)上恒成立，

・•.当XW(1,+8)时，的最大值.

而，即右边的最大值为，

...,故实数a的最小值；

(II)由题可得，且定义域为(0.1)U(1,+8),

要使函数F(x)无零点，即在(0,1)U(1,+OO)内无解，

亦即在(0,1)U(1,+8)内无解.

构造函数，则，

(1)当kWO时,H(x)<0在(0,])U(l,+oo)内恒成立，

・♦.函数h(X)在(0,1)内单调递减，在(1,+8)内也单调递减.

又h(1)=0,.•.当x£(0.1)时,h(x)>0.即函数h(x)在(0,1)内无零点，

同理，当x£(1,+8)时,h(x)<0,即函数h(x)在(1,+8)内无零点，

故kWO满足条件；

(2)当k>0时,.

①若0Vk<2,则函数h(x)在(0,1)内单调递减，在内也些调递减，在内单调递增.

又h(I)=0.，h(x)在(0,1)内无零点；

又，而，故在内有一个零点，・・・0VkV2不满足条件：

②若k=2,则函数h(x)在3,1)内单调递减，在(1,+8)内单调递增.

又h(I)=0,，当x£(0,I)U(1,+8)时,h(x)>0恒成立，故无零点.，k=2满足条

件：

③若k>2,则函数h(x)在内单调递减，在内单调递增，在(1,+8)内也单调递增.

又h(I)=0,，在及(1,+=)内均无零点.

易知，又h(e-k)=kX(-k)-2+2ek=2ek-k2-2=(p(k),

则C(k)=2(ek-k)>0,则cp(k)在k>2为增函数，，(p(k)>(p(2)=2e2-6>0