高考数学 专题28 2月月考（全部高考内容）测试卷 理-人教版高三数学试题

2月月考【全部高考内容】

测试时间：］20分钟班级：姓名：分数：

试题特点：本套试卷涵盖高考数学的重要考点，试题创新度较高，吻合高考命题趋势.在命题时，注重考查基础

知识如第1-8,13-15,17-20及22,23题等；注重考查知识的交汇，如第1题考杳函数定义域、值域以及集合

的交集运算等；注重数形结合能力的考查，如第5,6,8,10,13题等.

讲评建议：评讲试卷时应注重对运算能力的要求(快、活、准)，如第1-8,13,14,15,17,18等；转化与划

归能力，如第4,6,15题等；抽象概括能力，如第8,1(),16,18,21题等.试卷中第3,8,9,15,19,21

各题易错，评讲时应重视.

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的)

1.函数y=lg(—x)的定义域为A,函数/的值域为8,则=()

A.(0,+oo)B.(O,e)C.RD.0

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意知A=(YO,0),B=(0,fs),「.Ac8=e，故选【).

考点：1.函数的定义域；2.集合的运算.

71

2.已知—=i+l,则复数z在复平面，上所对应的点位于()

z-1

A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限

【答案】B

【解析】

试题分析：由==i+l,则Z=C+1XI)=二=方,所以复数Z在复平面上所对应的点位于虚轴上,

j-1?i

故选B.

考点：复数的运算与表示.

3.已知向量G=(x,y)为=(-1,2),且〃+〃=(1,3),则卜一2b|等于()

A.1B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

试题分析：由向量a=(x,)，),〃二(—1,2),且a+〃=(l,3),则々+〃=3-1»+2)=(1,3),解得

x=2,y=l,所以a=(2』),〃=(—1,2),所以〃-2〃=(2,1)-2(-1,2)=(4,-3),所以

1—2*次+(-3)2=5,故选D.

考点：向量的运算.

4.已知命题〃：DX£(0,+CQ),3'>2,；命题/玉£(-0,0),3工>2工，则下列命题为真命题的是()

A.p/\qB.p八(r)C.(「p)A(y,D.(―/?)A(—i(y)

【答案】B

【解析】

试题分析：根据指数函数的性质，可知命题pNxE(Qxo)3>2x知真命题，对于命题4：

3x>2x=>x>0,所以命题4二3XC(YO：0)：3X>2X为假命题，所以命题p人(［《)为真命题，故选B.

考点：复合命题的真假判定.

22

5.设双曲线*■-亲■=1(。>()，力>())的右焦点为尸，点尸到渐近线的距离等于2。，则该双曲线的离心率等于

()

AV2B.6C.亚D.3

【答案】C

【解析】

2

试题分析：由双曲线的方程:可得其中一条渐近线的方程为)，=&x,即笈—。)，=0,

a-6a

hehe

其中右焦点/(c,0),所以右焦点至U.渐近线的距离为，/=^^^==—=b=2a,所以双曲线的离心率为

&十-c

=£二』£jg=不，故选C.

aa~

考点：双曲线的标准方程及其几何性质.

jr

6.已知函数/（x）=cos（万x+o）[}<（p<—的部分图象如图所示，/（%）=—/（0）,则正确的选项是（）

乙）

【答案】A

【解析】

试题分析：由函数的图象可知〃0）=*,即8S@=坐，因为所以0=£,因为

2226

/（飞）二一/（0）=-*,所以8s（5+。）=一*,所以哄+。=?,解得与=1,故选A.

考点：三角函数的图象与性质.

7.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）

A._2B.—C._1D.2

2

【答案】B

【解析】

试题分析：模拟程序框图的运行的过程，如下：Z=0M=2J=1+1=2M=12014,否；

22

,•=2+l=3,A=l-2=-l,/>2014,否；；=3+1=4,4=1--=2,z>2014,否；

-1

/=4+1=5,4=1--=-,/>2014,否；……；/=2015+1=2016,4=1>2014,是输出A二,，

22222

故选B.

考点：程序框图.

8.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形.的面积和是（）

A.2B.4C.2+逐D.4+26

【答案】C

【解析】

试题分析：由三视图可得原几何体，如图所示，该几何体的高尸。=2,底面45c为边长为2的等腰直角

三角形，所以该几何体中，直角三角形是底面3C和侧面融C,事实上，因为POJL底面/5C,所以

平面尸KC_L底面K5C,而所以3C,平面尸NC,所以3C_LPC,尸。=炉1产=透，

SE=]X2X«=«,S皿=：x2x2=2,所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2+存,

故选C.

p

3

考点：几何体的三视图及其面积的计算.

【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中

档试题，解答此类.问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状,

本题的解答中得到原几何体表示四面体，且各个面的形状是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.

9.在长为2的线段43上任意取一点C,以线段AC为半径的圆面积小于4的概率为（）

113£

Ba

A.4-2-4-D.4

【答案】B

【解析】

试题分析：设4C=x,若线段AC为半径的圆的面积小于灯，则W<〃，则0<xv1,则对应的概率为

P=:，故选B

2

考点：几何概型及其概率的计算.

10.如图所示，直四棱柱ABC。-A16coi内接于半径为6的半球。，四边形ABCO为正方形，则该四棱柱

的体积最大时，48的长为（）

【解析】

试题分析：设AB=a,BB】=b,则OB二丰”,连接0片,。3,则。"+8母=。母=3,所以++川=3,

所以"=6-2〃2,所以四棱柱的体积为1/=。2/2=6〃-2〃3,所以V'=6-3〃2,当OV〃<1时，V'>0,当

1<〃<百时，F<0,当〃=1时，该三棱柱的体积最•大，此时AB=2,故选I).

考点：球内接组合体的应用.

/、ax2+l,x>()

11.已知函数"x)=《/、心为R上的单调函数，则实数〃的取值范围是()

,\7[(a+2)*,x<0

A.[-1,0)B.(0,+oo)C.(-2,0)D.(-co,-2)

【答案】A

【解析】

a>0

试题分析：由题意得，若在K上单调递增，则有<。+2>0,此时无解；若/(%)在R上单调递减，

产+2<1

a<0

则有；。+2<0,解得TWa<0,所以函数为单调函数时，实数。的取值范围是[一L0),故选A.

«+2>1

考点：函数的单调性的判定.

【方法点睛】本题主要考查了函数单调性的判定及应用，其中解答中涉及到分段函数的性质、分段函数的单调性、

不等式组的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的.能力，以及推理与运算能力，本题

的解答中正确根据函数的单调性，列出相应的不等式组是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.

12.在中，角所对的边分别为a,b,c,已知。=2,5皿/1二65抽8,则小48。面积的最大值为()

A.——B.\/3C.V20.2

2

【答案】B

【解析】

试题分析：因为sinA=GsinB,所以。=麻，由余弦定理及c=2得,£i^iz£i£ii^

cosC=2ab=2ab

-4

FKi'i•万It，cLz2/7-22yl-b4-8Z?~—4

所以sinC=，l-cos-C=Jl-(-7=—)-=-----?=-：----,所以AA8C的面积为

V回73b，

5=-^sinC=-xV3/?2x口"亶=_1_口/蚀―=-"-面-行+战，所以当^=4,即〃=2,AA3c

226b222

的面积有最大值是LXJT2=G，故选B.

2

考点：解三角形问题.

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公

式以及二次函数的性质与最值等知识点，的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运

算能力，本题的解答中，利用正弦定理和余弦定理求解sin。的值是解答的一个难点，试题有一定的难度，属于

中档试题.

二、填空题（每题5分，满分20分）

x+y>0

13.若x,y满足约束条件,x-yNT,则目标函数z=2x+y的最小值是.

2x-y<2

【答案】」

2

【解析】

试题分析：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立（x+»）=0，解1得1化目标函数

x-y=-l22

z=2x+y为y=-2x+z,由图可知，当直线y=-2x+z过点、幺时，直线在y轴上的截距最小，z有最

小值为2x（_；）+〈=一；.

考点：简单的线性规划问题.

14.[1-1]（1+刈"人展开式中含一项的系数为.

【答案】2

【解析】

试题分析：山题意得（1—：）（1+力4的展开式中，设（1+刈4的通项公式为7；句=C1F,（r=0,l,2,3,4）,则

（1一：）（1+工）4的展开式中含/项的系数为C：—C：=2.

考点：二项式的系数问题.

15.设4,&分别为双曲线C:。-£=1（。>0,6>（））的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率

[%<2，则双曲线C的离心率的取值范围为.

【答案】（1,、回）

【解析】

试题分析：设拉（XJ）,4（力0）,肛。：0）,则％।=」一：%,=」一,

x+ax-a

「・％儿（*）.又在双曲线一一当=1上，・—=次4-1）,代入（*）式得，

x-aaba

—j―z5~=—r<2,IP----j—=c-lv2=l<cv{3・

（x—o）«a

|X<[

16.已成函数'一，则方程/（x）=ox-恰有两个不同的实根时，实数〃的取值范围是

lnx,x>l

【答案】

.【解析】

试题分析：本题可转化为：丁=/（0与），=必有两个交点，又因为4表示直线），=依的斜率，则），'=2,设切

点为“o，yo），A=’，，切线方程为了一%=—（A-Ao）,而切线过原点，y0=1,A0=e,k=',.二直线/［的斜率为

//6

,，又因为直线/，与y='x+l平行，所以直线/,的斜率为,，所以实数〃的取值范围为

e444e

考点：函数的零点与方程的关系；分段函数的应用.

【易错点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的关系；分段函数的应用等知识点.函数零点个数的判断方法：

（1）直接求零点：令/（x）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.（2）零点存在性定理法：要求函数

在［口可上是连续的曲线，且人）＜0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少

个零点.（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交

点的横坐标有几个不同的值，就有儿个不同的零点.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）已知数列｛q｝的前〃项和为S”，满足4=g，SM=S〃+4q+3.

（1）证明：｛4+1｝是等比数列：

（2）求数列｛〃”｝的前〃项和S”.

【答案】（1）证明见解析；（2）4J—”.

【解析】

n+14^2+44*

试题分析：（D根据数列的递推关系，得到上彳=—H"=4，即可得到结论;（2）由（1）得4=

4+14+13

利用分组求和的方法，即可求解数列的和.

n4-1+44

试题解析：（D•.・5川=S+痴*+3,.•・%+］=4^+3,=而6+1=

a4-14+1

4

・・・{4+1}是以一为首项，4为公比的等比数列.

3

44〃

（2）由（1）得q+l=-x4'i,：.a,二——1,

〃33

4424“4424"\

，S,,=«+凡+…+=一一1+----1++-----1=-+——++-----〃=-4+4.++4”）—〃

“I-”3333333、7

14（1一4"）4,,+,-4

=-x---------n=---------m

31-49

考点：等比数列的概念及通项公式；数列的求和.

18.（本小题满分12分）如图，正四棱锥P-A3C。中，底面48co的边长为4,PO=4,E为物的中点.

（2）求直线3E与平面心。所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）—.

6

【解析】

试题分析：（D设4CnAD=。，连结EO尸。，由。为正方形的中心，得出P0JLAD,再利用&CD

为正方形，得到/C_LAD,即可证明平面丽，平面PXC；（2）建立空间直角坐标系，把直线3召与

平面PBD所成角,转化为向蚩0A和丽所成的角，即可求解直线与平面所成的角.

试题解析：（1）设ACflB力=。，连结EO,PO,

•・・。为正方形的中心，・・・POJ_底面A3CQ,・••尸O_L8O.

又・・・ABCO为正方形，，4C_L8D,

•••POClAC=O,・・・8O_L平面PAC,

又•••BOu平面£8。，・•・平面平面PAC....6分

建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，

则A（260,0）,B（0,260）,尸（0,0,2匈,网衣0,应）

OA=（2技0,0）,BE=（叵-20,夜），

・・•OA±PO,OAJLBD,OA为平面PBD的一个法向量.

设8E与平面PBD所成角为则

nICADc\lOA・BER

sin0=costOA,BE）=---；----=——，

\71OA\BE6

・,・直线班与平面PBD所成角的正弦值为£

考点：平面与平面垂直的判定：直线与平面所成的角.

19.（本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是年至年的统计数据:

年份

居民生活用水量（万吨）236246257276286

（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程），="+〃；

（2）根据改革方案，预计在年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稔定，预测该城市2023年的居

民生活用水审.

Y^y,-^yHHT（yr）__

参考公式：b=---------=----------；,a=y-bx

力；一九J次（菁r）2

1=11=1

【答案】（1）y=13（x-2013）+260.2：（2）351.2.

【解析】

试题分析：（1）根据平均数的公式，求解1=20133=260.2,利用最小二乘法去，求得$的值，得出百,

即可求解回归直线方程；（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用

水量相当，当x=2020时满足（1）中所求的回归直线方程，即可求解该城市2023年的居民生活用水量.

试题解析：（D解法一：容易算得7=2013$=260.2,

b=-----——=[3,a=y-bx=260.2-13x2013,

力NT,

1=1

故所求的回归直线方程为y=13x+260.2—13x2013=13（%—2013）+260.2

解法二：由所给数据可以看出，年需求量与年份之间的是近似直线上升，为此时数据预处理如卜表：

年份-2-1012

居民生活用水量-257-21-1101929

对预处理后的数据■，容易算得

1n1n

x==o，y=-Zy=3.2,

〃石130__

/9=-^---------=—=13,«=y-/?x=3.2

V2-210

i=i

所求（1勺回归直线方程为y一257="_"2013）+。=13（入一2013）+3.2,

即），=13（x—2013）+260.2.

（2）根据题意，该城市2023年的居民生活用水量与该城市2020年的居民生活用水量相当，当x=2020时

满足（D中所求的回归直线方程.

此时>=13（2020—2013）+260.2=351.2（万吨）.

考点：回归直线方程及其应用.

20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点M到点尸（1,0）的距离与它到直线x=2的距离之比为

旦

（1）求动点M的轨迹E的方程;

（2）设直线），=丘+机（〃冲0）与曲线E交于4,8两点，与x轴、y轴分别交于C,。两点（旦C、。在4B

之间或同时在4、8之外）.问：是否存在定值上,对于满足条件的任意实数机，都有AOAC的面积与AOB。的

面枳用等，若存在，求Z的值；若不存在，说明理由.

2万

【答案】（1）----F）广=1；（2）存在，攵=±---.

22

【解析】

^(x-1)-+y2

试题分析：（1）由题意，设M（x,j，），则—,化简即可得到动点”的轨迹E的方程；（2）

\x~2\2

联立2y2—2消去y得（1+2二卜2+4加质+2病一2=0,利用韦达定理和AOAC的面积与ACM。的面

积总用等o|AC|=|8。恒成立o线段A3的中点与线段C。的中点重合，列出方程，即可求解A的值.

试题解析：（1）设M（x,），），则1:T）：）'=在，整理得上+丁=1,

'7|x-2|22

2

・•・轨迹E的方程为5+丁二|

'=1M消去)得(1+2/)储+4雇x+2相2-2=。,

<2）联立

A二（4掰上旷—40+2^）（2/»2-2）=8（卯-"?+1)>由A>0得阳2<2A，+IC).

Ano/c

设4%，M）乃（孙必）>则再+为=丞节〉

由题意，不妨设C-£,0,0（（）,〃。,

\OAC的面积与AOBD的面积总相等<^>\AC\=\BD\恒成立0线段反的中点与线段CO的7点重合

.7mk解得女=±受,

「2A"k2

即存在定值％=±JX『2，对于满足条件〃?。0,且W|＜四（据（*）的任意实数〃7,

都有\OAC的面积与△08。的面积相等.

考点：椭圆的标准方程；直级与椭圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系

等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推埋与运算能力，本题解答中利用直线

与椭圆的方程联立，利用方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答关键，试题有一定的难度，属于中档试

题.

InV

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=——一如（mwR）.

人

（1）当m=0时，求函数/（X）零点的个数；

（2）当〃?20时，求证：函数/（文）有且只有一个极值点；

（3）当〃＞。＞0时，总有""A""）＞1成立,求实数团的取值范围.

b-a

【答案】（1）6=0时，函数f（x）有且只有1个零点；（2）证明见解析；（3）

【解析】

试题分析：（D当机=0时，求得了'（M，令/（可=0,得x=c,得到函数的单调区间和最值，即可判

定出数零点的个数；（2）求，（X）,令g（x）=l-lux-?Kx2,由/（力=一」一2皿＜0,得到函数8（%）

X

在区旬（0,例）上单调递减，从而得到函数了（到的单调性，即可证明函数〃%）有且只有一个极值点；（3）

当力＞。＞0时，总有"，一；（"）＞1成立,即当〃＞々＞0时.，总有/（与一匕＞/（4）一4成立，也就是函数

〃（司=/（x）—X在区间（0,十动上单调递增，把机工上学一1在区间（0,48）恒成立，设43=1_萼-1,

XX

即可利用函数k（x）的性质，即可求解实数〃?的取值范围.

试题解析：（1）当加=0时,/（X）=—（x＞0）,/r（x）=,令r（x）=0,得x=e,

XX

X(0,e)e(e,+cc)

f'(x)+0—

f(x)/

・•・函数/(x)在区间(O,e)上单调递增，在亿+O。)上单调递减

・•・函数/(X)在区间(0,6)内有且只有一个零点；

Inr

又当x>e时，/(工)=+>0恒成立，

・•・函数/(尢)在区间(e,欣)内没有零点.

综上可知，当m=0时，函数/(x)有且只有1个零点

]nx

(2)证明：•.•/(1)=------tnx^m>0),

.,，/、1-Inxl-lnx-zzir2八、

・•・f\x)=--——m=--------------((x>0),

-V八

令g(x)=1_111工一如2,

V^'(x)=---2/ztr<0,

・•・函数g(x)在区间(0,+oo)上单调递减

，m、

*/g=1+丝-；>0(*.*em>m),g^=-me2<0,

ABAQG(0,-KO),使得g(毛)=0,

・•・当尤40多）时,g（x）＞0,即/'（x）＞oj（x）在区间（0多）单调递增；

当工£（%+8）时，g（x）＜0,即/㈤＜0,『⑺在区间（如+00）单调递减,

・・・%=不是函数〃力在区间（0：饮）内的极大值点，

即当阳之0时，国数/（可有且只有一个极值点

（3）,・,当时，总有J（"）―/（"）〉1成立,

h-a

即当。＞a＞0时，总有了（〃）一〃一a成立，

也就是函数〃（%）=/（x）—x在区间（0,y）上单调递增

由〃（x）=2-（〃z+l）x（尤＞0）可得”（力=上学—（〃2+1）20在区间（0,卡＞0）恒成立，

即m＜匕学-1在区间（0,-K»）恒成立

X

设Mx）=W^—l,则R（x）=21n；3（x〉0）,

3

令Y（x）=0,则x=e"

/3\（3\

・••当兀£0,后时，/（人）＜0,函数A（X）在区间0,标上单调递减：

时，l（x）＞0,函数女（力在区间涓,+8上单调递增;

3

k（X）.=ke2=---^--1=----r-l,

—mmIJ//2?

・•・所求机的取值范围是机W——1