北师大版七年级数学下册举一反三系列61概率初步【九大题型】同步练习(学生版+解析)

专题6.1概率初步【九大题型】

【北师大版】

【超型1确定事件与随机事件】..................................................................1

【题型2判断事件发生的可能性的大小】.........................................................2

【题型3改变条件使事件发生的可能性相同】.....................................................3

【题型4频率与概率的关系】....................................................................3

【题型5求某事件的频率】......................................................................4

【题型6由频率估计概率】......................................................................5

【题型7频率估计概率的综合运用】.............................................................6

【题型8根据概率公式球概率】.................................................................8

【题型9几何概率】............................................................................9

”7浮一共三

【知识点1必然事件、不可能事件、随机事件】

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，

这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。

必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。

【题型1确定事件与随机事件】

【例I】（2022秋•安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的

是（）

A.一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性

B.在8（）个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性

C.一枚质地均匀的骰子,任意掷一次,I・6点数朝卜的可能性

D.小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性

【变式1-1］（2022秋•安次区校级月考）下列说法中，正确的是（）

A.生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生

B.生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件

C.生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生

D.生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生

【变式1-2］（2022•武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（）

A.掷一次骰子，向上一面的数字是3

B.通常温度降到0℃以下，纯净水结冰

C.度量一个三角形的内角的度数，其和为360°

D.某次抽奖活动中奖的概率为烹，小明买100张奖券，可能会中奖

【变式1-3］（2022•兰考县二模）下列说法正确的是（）

A.”任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件

B.”一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件

C.“明天会下雨”是随机事件

D.“两个整数的和一定大于0”是必然事件

【题型2判断事件发生的可能性的大小】

【例2】（2022春•天津•九年级期末）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛.有同学预测“小

东夺冠的可能性是80%〃，则对该司学的说法理解最合理的是（）

A.小东夺冠的可能性较大B.如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局

C.小东夺冠的可能性较小D.小东肯定会赢

【变式2-1］（2022♦北京顺义•八年级统考期末）从一副普通的54张的扑克牌中随意抽出一张，有4个事件:

①抽到大王；②抽到小王；③扣侄U2；④抽到梅花.则这4个事件发生的可能性最大的是（）

A.①B.②C.③D.④

【变式2-2］（2022秋・山东烟台•七年级统考期中）必然事件发生的概率是—.

【变式2-3］（2022秋•陕西宝鸡・七年级统考期末）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜

色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所

指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）.下列事件：①指针指向红色：②指针指向绿色；

③指针指向黄色；④指针不指向黄色.估计各事件的可能性大小，完成下列问题：

（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（填写序号）

（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：.

【题型3改变条件使事件发生的可能性相同】

【例3】（2022春・江苏镇江•九年级统考期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中

再放入〃个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红

球的可能性大，则〃的最小值等于.

【变式3-1］（2022秋•江苏•八年级专题练习）一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些

球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球.

（1）会出现哪些可能的结果？

（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？

（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？

（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？

【变式3-2］（2022秋•江苏盐城•八年级校考期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红

球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，

⑴会出现哪些可能的结果？

⑵事先能确定摸出的一定是红球吗？

⑶你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？

⑷怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？

【变式3-3］（2022春•九年级单元测试）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次

从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案.

⑴摸到红球是不可能的；

（2）摸到红球是必然的；

⑶摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能.

【题型4频率与概率的关系】

【例4】（2022春•九年级课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上〃的概率为0.5,那么抛掷一枚质

地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（）

A.可能有50次反面朝上B.每两次必有1次反面朝上

C.必有50次反面朝上D.不可能有100次反面朝上

【变式4-1］（2022秋•山西运城•七年级统考期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有.

①频率就是概率

②频率是客观存在的，与试验次数无关

③随着试验次数的增加I,频率一般会越来越接近概率

④概率是随机的，在实验前不能确定

【变式4-2］（2022春・北京西城・九年级北京育才学校校考期末）投掷•枚质地均匀的硬币加次，正面向上

〃次，下列表达正确的是（）

A.2的值一定是:

m2

B.2的值一定不是3

m2

C.〃?越大，二的值越接近;

m2

D.随着〃，的增加，二的值会在:附近摆动，呈现出一定的稳定性

m2

【变式4-3］（2022春•云南红河•九年级统考期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶

园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（）.

移植棵数5）成活数（771）成活率（m/?。移植棵数6）成活数（小）成活率（m/n）

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.923700063350.905

7506620.8831400012628U.90Z

下面有四个推断：

①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于0.890；

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的

概率是0.900；

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；

④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵.A.①②B.①④C.②③

D.②④

【题型5求某事件的频率】

【例5】（2022春•海南海口•九年级海南华侨中学校考期中）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些

球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有〃个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回

袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则〃的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式5-1］（2022春・浙江舟山•九年级校考阶段练习）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球

和〃个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出•个球记录下颜色后再放回，并且统

计了黄球出现的频率，如图，则”的值是（）

，，频率

0.64-

0.62.

0.60-

0.58-

0.56-

0.54-

0.52%

-------------------：・・------->

O50010001500200025003000次

A.2B.3C.5D.8

【变式5-2］（2022春•九年级课时练习）已知数据：y,V4,-V5,0.其中无理数出现的频率为

（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【变式5-3］（2022秋•江苏扬州•八年级校考阶段练习）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、

2、3组的频数分别为6、12、14,则第4组的频率为.

【题型6由频率估计概率】

【例6】（2022春•陕西榆林•九年级校考阶段练习）•个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒

出来数的情况下，为了估计白球数，则刚向其中放入了4个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，

再把它放回盒中，不断重复这一过程，若摸球100次，其中20次摸到黑球，则盒中大约有白球（）

A.12个B.16个C.20个D.24个

【变式6-1］（2022春・浙江宁波•九年级校联考期中）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基

本情况相同的条件下，得到如下数据：

抽查小

1005001000200030004000

麦粒数

发芽粒

9548696819402907a

数

则a的值最有可能是（）

A.3680B.3720C.3880D.3960

【变式6-2]（2022秋•江苏连云港•八年级统考期中）“头盔是生命之盔〃质检部门对某工厂生产的头盔质量

进行抽查，抽查结果如表:

抽查的头盔数〃10020030050080010003000

合格的头盔数小951942894797699602880

合格头盔的频率巴

n0.9500.9450.9620.9580.9610.9600960

如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为.（精确到0.01）

【变式6-3]（2022春•全国•九年级专题练习）有两个正方体的枳木，如图所示：

卜.面是淘气掷200次积木的情况统计表:

灰色的面朝上白色的面朝上

32次168次

根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是一号积木，请简要说明你的判断理由

【题型7频率估计概率的综合运用】

【例7】（2022秋・江苏扬州•八年级校考阶段练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、向两种

颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放【可袋中，

不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数n1002003005008001000

摸到黑球的次数m65118189310482602

摸到黑球的频率巴

n0.650.590.630.620.6030.602

（1）请估计：当〃很大时，摸到黑球的频率将会接近_______（精确至I」0.1）;

（2）试估计袋子中有黑球个:

（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%,则可以在

袋子中增加相同的白球个或减少黑球个

【变式7-1］（2022秋・江苏•八年级专题练习）某班“红领巾义卖〃活动中设立了一个可以自由转动的转盘.规

定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应

的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据：

转动转盘的次数n1002003004005001000

落在“书画作品〃区域的次数m60122180298a604

落在“书画作品”区域的频率;0.60.610.6b0.590.604

（1）完成上述表格：Q=；b=：

（2）请估计当n很大时，频率将会接近,假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品〃的概率约是

;（结果全部精确到0.1）

（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品〃的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆

心角至少还要增加多少度？

【变式7-2］（2022•福建厦门•厦门一中校考一模）某水果公司以3元/kg的成本价新进10000kg柑橘，如

果公司希望这批柑橘能获得利润6000元，已知柑橘损坏率统计表如下，请你填写最后一栏数据，完成此表:

⑴损坏率的概率约是多少，并说明埋由（保留小数点后一位）

⑵在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，确定大约定价多少合适？

柑橘总质量九"g损坏柑橘质量m/kg柑橘损坏的频率m/n

30C30.90.103

35C35.70.102

40C39.20.098

45C44.50.099

50C50.5?

【变式7-3］（2022•江西南昌•二模）某校为了调查学牛.对卫生健康知识，特别是疫情防控下的卫生常识的

了解，现从九年级1000名学生中随机抽取了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和

扇形统计图（尚不完整）.

组别成绩%/分人数

第1组x<6020

第2组60<x<70a

第3组70<x<80100

第4组83<x<9065

第5组90<x<100b

请结合图表信息完成下列各题.

（1）表中a的值为,b的值为:在扇形统计图中，第1组所在扇形的圆心角度数为。；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校九年级学生中随机抽查一个学生，成绩为优秀的概率.

（3）若测试成绩在60分以上（含60分）均为合格，其他为不合格，请你估计该校九年级学生中成绩不合格的

有多少人.

【题型8根据概率公式球概率】

［例8］（2022秋・河北石家庄•九年级统考期末）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于2且小于5

的概事是（）

12

A.B.C.D.

6

【变式8-1］（2022秋•福建•九年级统考期末）某班级共有20位女同学和22位男同学，将每位同学的名字

分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀.老师从盒中随机取出1张纸条，抽到男同学名字的

概率是.

【变式8・2】（2022春・贵州贵阳•七年级统考期末）一个不透明的口袋里装有2个红球，3个白球，5个黄球,

这些球除颜色外都相同.小星和小红做摸球游戏.

⑴小星从袋中任意摸出一球，求他摸到红球的概率；

⑵小红认为口袋里共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是/你

认为对吗？说明理由.

【变式8-3］（2022秋•黑龙江大庆•八年级校考期末）在一个不透明的袋中装有红，黑，白三种颜色的球共

10C个，它们除颜色外其他的都相同，其中红球个数比黑球个数的2倍多6个，已知摸出一个白球的概率是

7

10,

⑴求袋中白球的个数；

（2）求从袋中摸出一个球是红球的概率；

⑶取出5个球（其中没有白球）后，求从剩余的球中摸出一个球是白球的概率.

【题型9几何概率】

【例9】（2022春•浙江杭州•九年级期末）计算机的“扫雷”游戏是在9x9个小方格的雷区中，随机埋藏着地

雷，且每个小方格最多能埋藏1航地雷.如图，小明某次游戏时随机点开一个方块所显示的数字是“2〃.它

表示与这个方格相邻的8个小方格中共埋藏着2颗地雷，则小明接下来在数字2的周围随机点开•个方块,

踩中地雷的概率为.

【变式9-1］（2022秋♦广东茂名•九年级统考期末）如图，一个转盘被分为了4,B,C三个区域，自由转动

专题6.1概率初步【九大题型】

【北师大版】

【撅型।确定事件与随机事件】.......................................................................10

【题型2判断事件发生的可能性的大小】.............................................................12

【题型3改变条件使事件发生的可能性相同】.........................................................14

【题型4频率与概率的关系】.........................................................................16

【题型5求某事件的频率】...........................................................................18

【题型6由频率估计概率】...........................................................................20

【题型7频率估计概率的综合运用】..................................................................22

【题型8根据概率公式球概率】.......................................................................26

【题型9几何概率】..................................................................................28

如可f二

【知识点1必然事件、不可能事件、随机事件】

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件

必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得

事件称为随机事件。

必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。

【题型1确定事件与随机事件】

【例1】（2022秋•安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的

可能性都相等的是（）

A.一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸M每个球的可能

性

B,在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可

能性

C.一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1-6点数朝上的可能性

D.小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性

【分析】利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断.

【解答】解：A、一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为其

他性质不一定相同，所以携出每个球的可能性不一定相同，不符合题意.

B、在80个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其池性质相同，所以取出每件产品的

质量可能性不一定相同.不符合题意.

C、一枚质地均匀的股子，任意掷一次，1・6点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机

事件且该事件每个结果发生的可能性都相等，符合题意

D、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一定相同，因为

每种灯的时间可能不同，不符合题意.

【变式1-1］（2022秋•安次区校级月考）下列说法中，正确的是（）

A.生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生

B.生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件

c.生活中，如果一个事件发生的可■能性很大，那么它也可能不发生

D.生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生

【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然不发生，故本选项

错误；

B,生活中，如果一个事件可能发生，那么它是随机事件，故木选项错误；

C、生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生，故本选项正确；

D、生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就可能发生也可能不发生，故本选项错误.

【变式1-2］（2022•武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（）

A.掷一次骰子，向上一面的数字是3

B.通常温度降到0C以下，纯净水结冰

C.度量一个三角形的内角的度数，其和为36（r

D.某次抽奖活动中奖的概率为总，小明买100张奖券，可能会中奖

【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小.

【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的数字是3,是可能事件；

B、通常温度降到0C以下，纯净水结冰，是必然事件；

C、度量一个三角形的内角的度数，其和为360,，是不可能事件；

D、某次抽奖活动中奖的概率为高，小明买100张奖券，可能会中奖，是可能事件.

【变式1-3］（2022•兰考县二模）下列说法正确的是（）

A.”任意画•个矩形是轴对称图形”是不可能事件

B.”一名射击运动员肘击一次正中靶心”是必然事件

C.“明天会下雨”是随机事件

D.“两个整数的和•定大于0”是必然事件

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答.

【解答】解：A、“任意画一个矩形是轴对称图形”是必然事件，故A不符合题意；

B、”一名射击运动员射击一次正中靶心”是随机事件，故B不符合题意：

C、“明天会下雨”是随机事件，故C符合题意；

D、“两个整数的和一定大于0”是随机事件，故D不符合题意；

【题型2判断事件发生的可能性的大小】

【例21（2022春•天津•九年级期末）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛.有

同学预测"小东夺冠的可能性是80%〃，则对该同学的说法理解最合理的是（）

A.小东夺冠的可能性较大B.如果小东和他的对手比赛10局，他一定会

赢8局

C.小东夺冠的可能性较小D.小东肯定会赢

【答案】D

【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定

不发生，依次分析可得答案.

【详解】解：根据题意，有人预测小东夺冠的可能性是80%,结合概率的意义，

A、小东夺冠的可能性较大，故本选项正确；

B、小东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本优项错误；

C、小东夺冠的可能性较大，故本选项错误；

D、小东可能会赢，故本选项错误.

【点睛】本题主要考查了概率的怠义：反映的只是这•事件发生的可能性的大小.

【变式2-1]（2022•北京顺义•八年级统考期末）从一副普通的54张的扑克牌中随意抽出一

张，有4个事件：①抽到大王；②抽到小王；③抽到2；④抽到梅花.则这4个事件发

生的可能性最大的是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】D

【分析1可以根据每种牌数量的多少，直接判断可能性的大小即可.

【详解】一副普通的54张的扑克牌中，

①大王有一张；

②小王有一张；

③2有4张；

④梅花有13张；

013>4>1,

回这4个事件发生的可能性最大的是④.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了可能性的大小，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：不需要计

算可能性的大小的准确值时，可以根据每种牌数量的多少，直接判断可能性的大小.

【变式2-2］（2022秋•山东烟台•七年级统考期中）必然事件发生的概率是—.

【答案】1

【分析】必然事件就是一定会发生的事件，它的概率为1.

【详解】必然事件发生的概率是1,即P（必然事件）=1.

故答案为1.

【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的

概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不

发生的事件，不确定事件却随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

【变式2-3］（2022秋•陕西宝鸡・七年级统考期末）有一个转盘（如图所示），被分成6个

相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中

的某个扇形会恰好停在指计所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）.下列事

件：①指针指向红色：②指针指向绿色；③指针指向黄色：④指针不指向黄色.估计各

事件的可能性大小，完成卜.列问题：

（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（填写序号）

（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：.

【答案】（1）可能性最大的是④，最小的是②；（2）由题意得：②〈③〈①〈④

【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大.

【详解】回共3红2黄1绿相等的六部分，

团①指针指向红色的概率为

62

②指针指向绿色的概率为3

③指针指向黄色的概率为

④指针不指向黄色为

6

（1）可能性最大的是④，最小的是②；

（2）由题意得：②〈③〈①〈④，

故答案为②〈③〈①V④.

【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待.用到的

知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比.

【题型3改变条件使事件发生的可能性相同】

【例3】（2022春・江苏镇江•九年级统考期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红

球，现在向袋中再放入〃个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸

个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则〃的最小值等于.

【答案】2

【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解•.

【详解】解：团要使摸到白球比摸到红球的可能性大，

加的最小值等于3+1-2=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解.

【变式3-1]（2022秋,江苏•八年级专题练习）一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5

个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球.

（1）会出现哪些可能的结果？

（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？

（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？

（4）怎样改变袋了•中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？

【答案】（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定

摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子

中红球、绿球和白球的数量相等即可.

【分析】（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断：

（2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现；

（3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小;

（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可.

【详解】解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球；

（2）不能事先确定摸到的一定是红球；

（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；

（4）只要袋子中红球、级球和白球的数量相等即可.

【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即

可，比较简单的中考常考题.

【变式3-2]（2022秋•江苏盐城•八年级校考期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2

个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，

⑴会出现哪些可能的结果？

⑵事先能确定摸出的一定是红球吗？

⑶你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？

⑷怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？

【答案】（1）白、黄、红三种

⑵不能

⑶红球

⑷袋子中白球、黄球、红球的个数相同

【分析】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可；

（2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大；

（3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大；

（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可.

（1）

解：会出现：白、黄、红三种

（2）

解：不能确定摸出的球一定是红球；

（3）

解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大；

（4）

解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等.

【点睛】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即

可，比较简单的中考常考题.

【变式3-3］（2022春•九年级单元测试）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以

外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案.

⑴摸到红球是不可能的；

⑵摸到红球是必然的；

⑶摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶见解析

【分析】（1）不放红球即可.

（2）都放红球即可.

（3）根据可能性的程度确定红球比例即可.

（1）

解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；

（2）

解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；

（3）

解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；

盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；

盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关

键.

【题型4频率与概率的关系】

【例4】（2022春•九年级课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上〃的概率为。.5,

那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（）

A.可能有50次反面朝上B.每两次必有1次反面朝上

C.必有50次反面朝上D.不可能有100次反面朝上

【答案】D

【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐

项判断即可.

【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上〃的概率为0.5,那么抛掷一枚质地均匀

的硬币100次，可能有50次反面朝上，

【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率

是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现.

【变式4-1］（2022秋•山西运城•七年级统考期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表

示正确的有.

①频率就是概率

②频率是客观存在的，与试验次数无美

③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

④概率是随机的，在实验前不能确定

【答案】③

【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析.

【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重更试验的次数变化而变化，而概率是固定

的，故①错误；

@：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误

③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正

确；

④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误.

故答案为：③.

【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题

关键是要记住相关概念.

【变式4-2］（2022春•北京西城•九年级北京育才学校校考期末）投掷一枚质地均匀的硬币

加次，正面向上〃次，下列表达正确的是（）

A.巴的值一定是:

7n2

B.。的值一定不是:

m2

C.小越大，马的值越接近;

m2

D.随着•加的增加，。的值会在:附近摆动，呈现出一定的稳定性

m2

【答案】D

【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可

【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是5而投掷一枚质地均匀的硬币正面向

上是随机事件，巴是它的频率，随着加的增加，卫的值会在:附近摆动，呈现出一定的稳定性;

mm2

故选：D

【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别.解题的关键是理解随机

事件是都有可能发生的时间.

【变式4-3］（2022春•云南红河•九年级统考期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山

改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如卜.表所示，则下面推断中，其中

合理的是（）.

移植棵数5）成活数（m）成活率（m/九）移植棵数5）成活数（m）成活率（m/Ti）

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.923700063350.905

7506620.883140C0126280.902

下面有四个推断：

①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于0.890；

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以

估计树苗成活的概率是0.900：

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；

④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵.A.①②B.①④

c.②③D.②④

【答案】A

【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性,

可以估计树苗成活的概率是0.900,据此进行判断即可.

【详解】解：①当移植的树数是3500时，表格记录成活数率是0.915,且树苗成活的频率

总在0.900附近摆动，这种树苗成活的概率不•定高于0.890,故错误：

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可

以估计树苗成活的概率是0.900,故正确；

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确；

④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误.

故选C.

【点睹】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，

事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性

定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【题型5求某事件的频率】

【例5】（2022春・海南海口•九年级海南华侨中学校考期中）已知不透明的袋中只装有黑、

白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有〃个，若随机地从袋子中摸出

一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在

0.4附近，则〃的值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根据题意可得忘=。4,解方程即可求解.

【详解】根据题意得：

解得：〃=6,

经检验：〃=6是分式方程的解且符合题意，

【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键.

【变式5-1］（2022春・浙江舟山•九年级校考阶段练习）在一个不透明的口袋中，放置6个

黄球、1个红球和〃个蓝球，这曲小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球

记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则〃的值是（）

频率

0.64.........：....r...：...二.........

0.62

0.60

0.58

0.56

0.54

0.52

O50010001500200025003000“次

A.2B.3C.5D.8

【答案】B

【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解

方程即可求出n.

【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现II勺频率稳定在0.6附近，

0^=0-6

解得〃=3

【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式.

【变式5-2］（2022春•九年级课时练习）己知数据：y,V4,-V5,2n-l,0.其中无理

数出现的频率为（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【答案】B

【分析】根据无理数的定义和“频率=频数+总数”计算即可.

【详解】解：共有5个数，其中无理数有一遍，211-1,共2个

所以无理数出现的频率为2。5=0.4.

故选B.

【点睛】此题考查的是无理数的判断和求频率问题，掌握无理数的定义和频率公式是解决此

题的关键.

【变式5-3］（2022秋•江苏扬州•八年级校考阶段练习）我们把一个样本的40个数据分成4

组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14,则第4组的频率为.

【答案】0.2##1

【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可.

【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8,

频率为：左0.2,

40

故答案为：0.2.

【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数+总数.

【题型6由频率估计概率】

【例6】（2022春•陕西榆林•九年级校考阶段练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,

在不许将球倒出来数的情况下，为了估计向球数，则刚向其中放入了4个黑球，搅匀后从中

随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，若摸球100次，其中20

次摸到黑球，则盒中大约有白球（）

A.12个B.16个C.20个D.24个

【答案】B

【分析】可根据"黑球数量+黑白球总数:黑球所占比例〃来列等量关系式，其中“黑白球总数=

黑球个数+白球个数〃，"黑球所占比例=随机摸到的黑球次数+总共摸球的次数

【详解】设盒子里有白球X个，

4__20_

X+4-100

解得：X=16.

经检验得x=16是方程的解.

答：盒中大约有白球16个.

故选；B.

【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出

的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.

【变式6-1］（2022春・浙江宁波・九年级校联考期中）育种小组对某品种小麦发芽情况进行

测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：

抽查小

1005001000200030004000

麦粒数

发芽粒

9548696819402907a

数

则Q的值最有可能是（）

A.3680B.3720C.3880D.3960

【答案】A

【分析】分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在0.97

左右，从而得出答案.

【详解】解：95+100=0.95,

486+500=0.972,

9684-1000=0.968,

19404-2000=0.97,

29074-3000=0,969,

由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在0.97左右，即用频率估计概率，我们

可估计小麦发芽的概率为0.97,

所以，3=4000X0.97=3880,

所以，a最有可能为3880,

【点睛】本题考查了统计与概率，解题的关键是用频率估计概率以及对频率计算公式的理解.

【变式6-2］（2022秋•江苏连云港•八年级统考期中）“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂

生产的头盔质量进行抽杏，抽查结果如表:

抽查的头盔数〃10020030050080010003000

合格的头盔数加951942894797699602880

合格头盔的频率巴

n0.9500.9450.9620.9580.9610.9600960

如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为.（精确到

0.01）

【答案】0.96

【分析】运用频率估计概率即可.

【详解】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数应1000时，合格头盔的频率巴稳定在0.960

n

附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率.

故答案为：0.96

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关

键.

【变式6-3］（2022春•全国•九年级专题练习）有两个正方体的积木，如图所示：

下面是淘气掷200次积木的情况统计表:

灰色的面朝上白色的面朝上

32次168次

根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是一号积木，请简j要说明你的判断理由

【答案】②淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率.

【分析】计算出①号枳木、②号枳木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出淘气掷200

次积木的实验频率，进行判断即可.

【详解】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的

可能性都是;50%,

②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是："

O

16.7%,是白色的可能性矩«83.3%,

6

由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为盖=16%,白色的

频率为舞=84%，

故他选择的是②号积木，

理由：淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率.

【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，解题的关键是正确理解实验频率与概率的关系.

【题型7频率估计概率的综合运用】

【例7】（2022秋•江苏扬州•八年级校考阶段练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不

同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个

球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数n1002003005008001000

摸到黑球的次数m