北师大版九年级上册满分冲刺压轴专项突破：反比例函数综合（二）

北师大版九年级上册满分冲刺压轴专项突破:

反比例函数综合（二）

1.如图，在平面直角坐标系中，函数），=K（xVO）的图象经过点（・6,1）,直线），

x

=，心+机与y轴交于点（0,-2）.

（1）求&,m的值;

（2）过第二象限的点P（〃，-2〃）作平行于x轴的直线，交直线），=/*+小于点4交

函数）,=K（XVO）的图象于点8.

x

①当〃=-1时，判断线段必与P4的数量关系，并说明理由；

②若PB22PA,结合函数的图象，直接写出〃的取值范围.

2.如图，一次函数），=心+1的图象与反比例函数y="当（x〉0）的图象交于点人（2,a）,

X

点8为X轴正半轴上一点，过8作X轴的垂线交反比例函数的图象于点C,交一次函数

的图象于点。.

（1）求〃的值及一次函数），=日+1的表达式；

（2）若8/）=1（）,求AACO的面积.

3.如图，一次函数)，=-x+l的图象与两坐标轴分别交于4,B两点,与反比例函数的图象

交于点C(-2,w).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点P在丁轴正半轴上，日与点8,C构成以BC为腰的等腰三角形，请直接写出

所有符合条件的P点坐标.

4.已知反比例函数)，=Ka为常数，kWO)的图象经过A(I,3),4(-6,〃)两点.

x

(/)求该反比例函数的解析式和〃的值；

(H)当xW-1时，求y的取值范围；

(IH)若M为直线y=x上的一个动点，当MA+MB最小时，求点M的坐标.

5.如图，菱形A8C。的两个顶点B、。在反比例函数），=上的图象上，对角线AC与8。的

x

交点恰好是坐标原点0，已知点A（1,1）,N48C=60°,

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点P是x轴上一点，若△8OP是等腰三角形，直接写出点P坐标.

6.如图，一次函数），="■少（4W0）的图象与x轴、y轴分别交于A,4两点，且与反比例

函数），=卫（w#0）的图象在第一象限相交于C点，作CELLx轴于。点.若04=2,

x

OO=1.5OA,CD=2OA.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）△OAB的面积为.

7.如图1,矩形0A8C的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点8在反比例函数），=*■（左

X

>0）的第一象限内的图象上，0A=4,。。=3,动点P在），轴的右侧，且满足S/、PCO=。

O

S如形。人8C

（I）若点P在这个反比例函数的图象匕求点P的坐标；

（2）连接尸0、PC,求尸。+PC的最小值；

（3）若点。是平面内一点，使得以从C、P、。为顶点的四边形是菱形，请你直接写

出满足条件的所有点Q的坐标.

8.如图，在平面直角坐标系xOv中，一次函数产"+〃(“工0)的图象与反比例函数尸K

x

(攵#0,x>0)的图象相交于A(1,5),B(〃i,I)两点、,与x轴，y轴分别交于点C,

D,连接。4,0B.

(1)求反比例函数y=K(kNO,x>0)和一次函数y="+Z?(a#0)的表达式；

x

(2)求△AOB的面积.

9.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=K(k为常数且ZW0)的图象交于A(・

x

1,〃)，B两点,与工轴交于点C

(I)求小A的值及点B的坐标；

(2)若点。在x轴上，且&ACP=^SNOC，直接写出点P的坐标.

乙

V

10.已知点A在X轴负半轴上，点3在），轴正半轴上，线段OB的长是方程『-2x-8=0

的解，tanZBAO=-i.

乙

（I）求点A的坐标；

（2）点E在y轴负半轴上，直线ECLAB,交线段AB于点C,交x轴于点D,S^DOE

=16.若反比例函数,，=区的图象经过点C,求2的值；

x

（3）在（2）条件下，点M是。。中点，点MP,。在直线8。或），轴上，是否存在点

P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

I.解：（I）•・•函数），=三（x<0）图象经过点（・6,1）,

x

:・k=-6X1=-6,

直线y=mx+m与y轴交于点（0,-2）,

,\m=-2；

（2）①PA=2P4理由如下：

当〃=・1时，点P坐标为（7,2）,

，点4坐标为（-2,2）,点8坐标为（-3,2）,

APA=1,PB=2,

：.PB=2PA；

②・・,点P坐标为(n,-2n),PA平行于x轴，

把y=-2〃分别代入y=—(x<0)和y=-2x-2得,

x

点B坐标为（—,-2〃），点A坐标为（〃・1,-2”），

n

：,PA=n-(n-I)=1,PB=\n--|,

n

当PB=2PA时，，则I”-3=2

n

舍去），

如图2,当色・〃=2解得川=-3,〃2=1（不合题意，舍去），

n

2.解：（1）把点A（2,。）代入反比例函数y=3~（x〉O）得，a=-^-=4,

x2

・••点A（2,4）.代入），=履+1得，4=2女+1,

解得k=

乙

2

*,•一次函数的表达式为y=_T_x+h

乙

（2）VBD=10,

・•・£＞的纵坐标为10,

把y=10代入y=3"l得，x=6,

08=6,

Q44

当x=6代入），=一得，y=—,即BC=x，

x33

426

JCD=BD-BC=10--=—,

33

AS^ACD=X（6-2）=烁.

3.解：（1）•・•点。（-2,，〃）在一次函数.y=r+1的图象上，

把C点坐标代入y=-x+1,得〃尸-（-2）+1=3,

・••点。的坐标是（-2.3）,

设反比例函数的解析式为y2二（k#0），

X

把点。的坐标（-2,3）代入y上得，3金，

x-2

解得k=-6,

・••反比例函数的解析式为y=—；

x

(2)在直线y=-x+l中，令x=0,则y=l,

:.B(0,1),

由(1)知，。(-2,3),

•*-BC=1(3-1)2+(-2)2=2流,

当BC=8P时，BP=2在

・・・O尸=2&H,

：.P(0,2e4),

当6C=PC时，点C在的垂直平分线，

：.P(5,0),

即满足条件的点夕的坐标为(0,5)或(0,2&+D.

4.解：(I)把A(1,3)代入y=与攵=1X3=3,

x

・•・反比例函数解析式为y=9：

x

把B(-6,〃)代入-6〃=3,解得〃=-&

x2

(II)V/:=3>0,

・•・图象在一、三象限，在每个象限内1y随x的增大而减小，

把x=-1代入)，=色■得y=-3,

X

・••当xW-l时，y的取值范围是-3WyV0；

(III)作A点关于直线y=x的对称点为A',则"(3,1),连接4'B,交直线y=

x于点M,此时，MA+MB=MA'+MB=A'B,

・•・*6是M4+M6的最小值，

设直线A'B的解析式为y=mx+b,

3m+b=1in=^-

则《1，解得6

-6m+b=­z-b4

乙

・•・直线48的解析式为

5.解：（1）如图，•・•四边形A8CQ是菱形,

:・BA=BC,AC1BD,

过点A作AEA.X轴于E,

,：A(I,1),

：.OE=AE=\,

：.OA=^2,NAOE=45°,

•・・AC_LBO,

・・・NAOB=90°,

：.ZBOF=45°,

过点8作8F_Lx轴于人

:・NOFB=90°,

；・N()BF=45°=/BOF,

：,BF=OF,

，(用=加0产=加8尸，

VZ/\«C=60°,

•••△ABC是等边三角形，

*：BD是菱形48CQ的对角线,

/.Z.ABO=—Z/\BC=30°,

2

：,OF=BF=的，

・••点B的坐标为（-双，心,

•・•点8在反比例函数），=区的图象上，

X

二福=与，

解得,k=-3,

・••反比例函数的解析式为），=--；

x

（2）•・•菱形A8CO的对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点0,

：.OB=OD,即：点8与点。关干原点对称.

•・•点4的坐标为（-、门，的），

:.点D的坐标为（/，-«）,

设P（w,0）,

:.BR=（机+近）2+工DP2=（/?/-“）2+3,83=24,

尸是等腰三角形，

・•・①当BP=DP时，:.BP?=力02,

:.2+3=（in-2+3,

*.m=0（舍）

②当BP=BD时，ABP2=BD2,

:.（〃?+近）2+3=24，

，〃?=-V3±V21*

・••F（-近+扬,0）或（■加・V21*。），

③当8。=。。时，B0=DP2,

:.（W-42+3=24，

:.〃1=如土近［，

:・P（小扬，0）或（虫-扬，0）,

即：满足条件的点P的坐标为（-V34-V21,。）或（-Vs-V21,°）或（

。）或（第・收，0）.

6.解：（1）VOA=2,00=1.5OA,CD=2OA.

••・。。=3,C=4,

:,C（3,4）,

•・•点C反比例函数y=T（〃?工0）的图象上,

.*.m=3X4=12,

・•・反比例函数为y=」2；

x

（2）・・・COJ_x轴于。点.

:.CD"OB,

.还__un0B_2

**CD-AD1'『而‘

5

:.丛OAB的面积为2X-1-=

55

故答案为单.

5

7.解：（1）•・•四边形0A8C是矩形，。4=4,。。=3,

••点3的坐标为（4,3）,

••点B在反比例函数y=K（A¥0）的第一象限内的图象上

x

••仁⑵

・.・），-_---1-2，

x

设点P的横坐标为〃？（〃?>0）,

.=3

**SAPCO-S矩形OABC-

O

12

\—*OC^n=—OMOC,

28

*./〃=3,

当点，P在这个反比例函数图象上时，则尸点的纵坐标为丁=券=4,

・••点P的坐标为(3,4)；

由(1)知，点P的横坐标为3,

:,点P在直线/上

作点。关于直线/的对称点。'，则。0'=6,

连接C0'交直线/于点P,此时PO+PC的值最小，

则PO+PC的最小值=20'+PC=O'C=^32+62=3>/5-

(3)分两种情况：

①如图2中，当四边形C8QP是菱形时，易知BC=CP=PQ=BQ=4,P](3,3-0)，

P2(3,3+市),

,Qi(7,3-忏，Q2(7,3+忏；

②如图3中，当四边形C8PQ是菱形时，内(3,3・穴)，尸4(3,3+4)，

；•。3(-1,3-V15)，。4(-1,3+-\/15).

综上所述，点Q的坐标为。(7,3-W)，。2(7,3+夜)，。3(-1，3-万)，

(-1,3+^/~15)・

8.解：(1)将点A(1,5)代入尸上(2。，x>0)得：5=号

x1

解得k=5,

5

故反比例函数的表达式为：y=-，

x

5

将点B(m,I)代入y=一得：，〃=5,

x

故点4(5,1),

a+b=5

将点A(1,5),3(5,1)代入丁=6+。得＜

5a+b=l

解得《a=-l

b=6

故一次函数表达式为：y=-.r+6：

(2)由一次函数y=-x+6可知，D(0,6),

则△408的面积=480。的面积-△AO。的面积=/x6X5-yX6X1=12.

乙乙

9.解：(I)把点A(-1,a)代入y=x+4,得a=3,

・"(-I,3)

把A(-1,3)代入反比例函数)，=乂

x

:・k=-3；

・••反比例函数的表达式为)，=--

x

'y=x+4

联立两个函数的表达式得|3

y=Y

解得卜二1或卜二3

Iy=3Iy=l

・••点B的坐标为8(-3,1)；

(2)当»=/+4=0时,得人=-4

・••点C(-4,0)

设点。的坐标为(乂0)

3

S^ACP=-S^BOC^

乙

1qi

A—X3X|x+4|=-X—X4X1

222

解得制=-6,X2=-2

；・点P(-6,0)或(・2,0).

10.解:(1)•・•线段08的长是方程-8=0的解,

・・.OB=4,

在RtAAOB中，tanNBAO=—=—,

OA2

・・.OA=8,

•••A(-8,0).

(2)VEC1AB,

ZACD=NAOB=ND()E=90°,

•