微积分2考试题及答案

微积分2考试题及答案一、选择题（8题，每题3分，共24分）

1.函数f(x)在点x0处可导是f(x)在x0处连续的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.若函数f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

A.f(ξ)是f(x)在[a,b]上的最大值

B.f(ξ)是f(x)在[a,b]上的最小值

C.f(ξ)是f(x)在(a,b)内的一点

D.f(ξ)是f(x)在[a,b]上的平均值

3.函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)存在，则当Δx→0时，下列说法正确的是

A.Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在

B.Δy是Δx的线性函数

C.Δy是关于Δx的高阶无穷小

D.Δy与Δx是等价无穷小

4.若函数f(x)在区间I上单调递增，则其反函数f-1(x)

A.在区间I上单调递增

B.在区间I上单调递减

C.可能在区间I上不单调

D.单调性不确定

5.函数f(x)在[a,b]上连续，则它在[a,b]上

A.必有最大值和最小值

B.必有最大值但没有最小值

C.必有最小值但没有最大值

D.可能既没有最大值也没有最小值

6.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则

A.f'(x0)=0

B.f'(x0)≠0

C.f(x)在x0处不可导

D.无法确定f'(x0)的值

7.函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得

A.f(ξ)=0

B.f'(ξ)=0

C.ξ是f(x)在[a,b]上的中点

D.ξ是f(x)在(a,b)内任意一点

8.若函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)>0，则f(x)

A.在区间I上单调递增

B.在区间I上单调递减

C.在区间I上常数函数

D.可能在区间I上不单调

二、（一）多项选择题（5题，每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内处处可导的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=sinx

D.f(x)=logax

2.下列说法中，正确的有

A.函数在一点可导，则在该点处必连续

B.函数在一点连续，则在该点处必可导

C.函数在一点不可导，则在该点处必不连续

D.函数在一点不连续，则在该点处必不可导

3.下列函数中，在定义域内处处取得极值的是

A.f(x)=x^3

B.f(x)=x^4

C.f(x)=x^2

D.f(x)=|x^3|

4.下列说法中，正确的有

A.函数在区间上单调递增，则其反函数在该区间上单调递增

B.函数在区间上单调递减，则其反函数在该区间上单调递减

C.函数在区间上单调递增，则其反函数在该区间上单调递减

D.函数在区间上单调递减，则其反函数在该区间上单调递增

5.下列函数中，在定义域内处处取得最大值和最小值的是

A.f(x)=x^2在[0,1]上

B.f(x)=x^3在[-1,1]上

C.f(x)=sinx在[0,2π]上

D.f(x)=logax在(0,1)上

（二）判断题（7题，每题3分，共21分）

1.函数在一点可导，则在该点处必连续。（）

2.函数在一点连续，则在该点处必可导。（）

3.函数在一点不可导，则在该点处必不连续。（）

4.函数在一点不连续，则在该点处必不可导。（）

5.函数在区间上单调递增，则其反函数在该区间上单调递增。（）

6.函数在区间上单调递减，则其反函数在该区间上单调递减。（）

7.函数在区间上单调递增，则其反函数在该区间上单调递减。（）

三、（一）填空题（5题，每空2分，共20分）

1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处取得极值，该极值是__________。

2.函数f(x)=sinx在x=π/2处取得极值，该极值是__________。

3.函数f(x)=e^x在x=0处取得极值，该极值是__________。

4.函数f(x)=lnx在x=1处取得极值，该极值是__________。

5.函数f(x)=x^2在[0,1]上的最大值是__________，最小值是__________。

（二）计算题（4题，每题10分，共40分）

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值和最小值。

2.求函数f(x)=sinx在[0,π]上的最大值和最小值。

3.求函数f(x)=e^x在[0,1]上的最大值和最小值。

4.求函数f(x)=lnx在[1,e]上的最大值和最小值。

四、综合题（2题，每题15分，共30分）

1.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)。证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

2.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

五、材料分析题（1题，20分）

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。证明：如果f'(x)>0在(a,b)内恒成立，则f(x)在[a,b]上严格单调递增。

答案部分：

一、选择题

1.A

2.D

3.A

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

二、（一）多项选择题

1.A,C

2.A,C

3.A,C,D

4.A,B

5.A,C

（二）判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

6.×

7.√

三、（一）填空题

1.-2