甘肃嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年高三下学期第二次诊断数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃嘉峪关市酒钢三中2025-2026学年高三下学期第二次诊断试卷一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】A2.已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C3.在中，为上一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】D4.一个蜂巢里有只蜜蜂.第天，它飞出去找回了个伙伴；第天，只蜜蜂飞出去，各自找回了个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂()A. B. C. D.【答案】B5.设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D6.从0，2，3，4，6五个数字中，任取出两个不同的数字组成两位数，则在这些两位数中十位数字比个位数字大的概率为（）A. B. C. D.【答案】D7.直线与圆相交于A，B两点，则最小值时，a的值是（）A. B. C. D.【答案】D8.若，，，则，，的大小关系为（

）A. B. C. D.【答案】D二、多选题（每题6分，共18分）9.下列命题正确的是（）A.，B.若，且，则的最小值是9C.，则D.是的充要条件【答案】ABC10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.若，且的最小值为，则函数的最小正周期为C.若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3D.若在上恰有2个零点，则的取值范围为【答案】ACD11.意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1，2，3，5，8，13，……数列中的每一项称为斐波那契数，记作．已知．则（）A.B.C.若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则D.若．则【答案】BC三、填空题（每题5分，共15分）12.王老师为了了解本班学生每周购买零食的支出情况，利用分层抽样抽取了一个10人的样本，统计结果如下：人数平均支出（元）方差男生6356女生4404则该班学生每周购买零食的支出的总方差为______．【答案】####13.若曲线在处的切线也是曲线的切线，则______.【答案】14.数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线.有如下结论：①曲线上任意两点间距离的最大值为；②曲线的周长大于曲线的周长；③曲线与圆有且仅有个公共点.其中正确的序号为________________.【答案】①③四、解答题15.已知函数.在中，，且.（1）求的大小：（2）若，，求的面积.【答案】解：（1），在中，，所以，因为，所以，则有：或，即或，因为，所以，即，所以.（2）因为，，则，即，所以.16.在新高考的数学试卷中，有4道题为多项选择题，在每个试题所给的4个选项中有多项符合题目要求，其评分规则为：全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．（1）若某两个多项选择题中分别有2个和3个正确选项．如果小茗同学不能判断两个题中任何一个选项是否符合题目要求．他每个题均随机选取了2项，记他这两题的总得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）若某个多项选择题所给的四个选项中有3个符合题目要求，小茗同学只能判断其中的一个选项符合题目要求，不能判断其它选项是否符合题目要求，若你是小茗同学，除了能判断的符合题目要求的选项外，从得分均值的角度分析，你是否再随机选取1个或2个选项作为答题结果？请说明理由．【答案】解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，2，5，7．则，，，，所以X的分布列为：X0257P所以．（2）不再选取，理由如下：如果小茗同学只选择能判断符合题目要求的那个选项为解答结果，则他本题得分为2分，若他再随机选取1个，则他本题的得分Y可能为：0或2，，，，因为，所以不再随机选取一个选项作为答题结果.若他再随机选取2个，则他本题的得分Z可能为：0或5，，，，因为，所以不再随机选取2个选项作为答题结果.综上，除了能判断的正确选项外，不再随机选取1个或2个选项作为答题结果.17.如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.（1）求证：平面平面.（2）求二面角的余弦值.（3）为平面内一点，若平面，求的长.【答案】解：（1）连接，在中，，，则，，，平面平面，，平面平面，平面，平面，所以，在中，,又，∴，在中：，∴，又，平面，平面，且平面，平面平面.（2）法一、由上可知：，则二面角的一个平面角为，在中，由余弦定理知；法二、如图建系：设轴与交于，过P作与E，设，则，∴，解之得，易知，所以，则，设为平面的一个法向量，则：，令，则，所以，易知是平面的一个法向量，设二面角的一个平面角为，则，由图形可知该二面角为钝角，所以.（3）法一：过作，垂足为，过作，在中，过作，过作，因为平面，所以平面，又平面，所以，而平面，所以平面，即G为所求.分别延长交于，连接，过作，由（1）易知，平面，平面，∴，设，，∴，则，设，在平面内，由几何关系知，所以.法二：取（2）的坐标系，则，，，设，所以，又：，即，18.已知A为圆O：上一点，过点A作y轴的垂线交轴于点B，点P满足.（1）求动点P的轨迹的方程；（2）已知斜率为k的直线l与曲线交于C，D两点.（ⅰ）若直线l过点，当的面积最大时，求l的方程；（ⅱ）若线段CD的中点为（）．证明：.【答案】解：（1）设，则，由，所以，又，所以，故动点P的轨迹的方程为.（2）（ⅰ）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，，联立方程组，消去x，整理得：，，得，，，所以弦长，原点到直线l的距离，所以，令，所以，所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得，所以直线l的方程为：或.（ⅱ）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程：，，联立方程组，消去x，整理得：，，得，，因为线段CD的中点为，所以，化简得，因为，所以，因为，所以，即得，解得或，综上得出.19.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）若曲线与直线有且仅有一个交点，求的取值范围；（3）若曲线在处的切线与曲线交于另外一点，求证：．【答案】解：（1）由题可知，函数的定义域为，，所以，又因为，所以函数在处的切线方程为．（2）方法一：若曲线与直线有且仅有一个交点，即方程有且只有一个根，设函数，即函数有唯一零点．，令，即，因为，所以，当即时，，所以在上单调递增，且，所以在上有唯一零点，符合题意．当时，，使得，所以在上单调递增，在上单调递减．又因为，所以；当时，，所以满足，不合题意.综上可得的取值范围为．方法二：若曲线与直线有且仅有一个交点，即方程有且只有一个根，因为时满足方程，所以要使得方程有且只有一个根，则当时方程无根，即函数与函数的图象没有交点．设，则，令，则，因为，所以，所以函数在和上单调递增，又因为，所