甘肃兰州市某校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃兰州市某校2025-2026学年高二下学期期中试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B2.下列求导运算正确的是（）A.(a为常数) B.C. D.【答案】B3.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为（）A.30 B.20 C.10 D.6【答案】D4.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中为时钍234的含量.已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（）A.12 B. C.24 D.【答案】C5.设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】A6.已知函数的导函数的图像如图所示，则（）A.有极小值，但无极大值 B.既有极小值，也有极大值C.有极大值，但无极小值 D.既无极小值，也无极大值【答案】A7.某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（）A.120种 B.360种 C.240种 D.720种【答案】C8.已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（）A. B.2 C.1 D.【答案】A二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）9.下列关于空间向量的命题中，正确的为（）A.长度相等､方向相同的两个向量是相等向量B.平行且模相等的两个向量是相等向量C.只有零向量的模等于零D.若，则是钝角【答案】AC10.在展开式中（）A.展开式中不存在含的项 B.展开式所有项系数和为243C.展开式中含项的系数为30 D.展开式共21项【答案】BCD11.已知函数有两个零点，，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.有极小值点，且【答案】ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在二项式的展开式中，的系数为___________．【答案】13.某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有___________．【答案】7214.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．【答案】18四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱的中点．（1）求的值；（2）证明：C，E，F，G四点共面．【答案】解：（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以平面，又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系，∵，∴，，，，∴，，∴.（2）证明：由（1）得：，因为，，因为不共线，所以令，即，解得，∴.故C，E，F，G四点共面.16.有件次品，件正品混放在一起这件产品均不相同，现对这件产品一一进行检测将其区分，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．（1）若恰在第次检测时，找到第一件次品，且第次检测时，才找到最后一件次品，则有多少种不同的抽法（2）一共抽取了次，检测结束，则有多少种不同的抽法（3）若至多检测次就能找到所有次品，则有多少种不同的抽法【答案】解：（1）第次和第次为次品，第次测试为正品种.（2）一共抽取次结束，则前次有次为次品剩下次为正品，第5次检测时，恰好满足找到全部2件次品或全部4件正品的条件，因此前4次检测中有1件次品和3件正品，第5次检测的是剩下的2件产品（1次品，1正品）之一，故不同的抽法有C21（3）第次测出次品结束：；前次有次测出次品第次测出次品结束：；前次有次测出次品第次测出次品结束：.共有种.17.已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若2是的极小值点，求及函数的极值．【答案】解：（1）当时，，则，又，则，即曲线在处的切线斜率，故在处的切线方程为.（2）法一：，令，得或.因为是函数的极小值点，所以必有，则，当或时，，当时，.所以函数在和上单调递增，在上单调递减.则时取极小值，即，此时，则的极大值为，极小值为．法二：，2是的极小值点，则，得或6，若时，，．则当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.此时2是的极大值点，不符合题意，舍去．若时，，，则当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.故2是的极小值点，符合题意，此时极小值为，极大值为．综上所述，，且的极小值为，极大值为．18.设函数.（1）时，求函数的最大值.（2）讨论的单调性.（3）当时，证明：.【答案】解：（1）函数的定义域为，当时，，.当时，单调递增，当时，单调递减，.（2）定义域为，，若，则在单调递增，若则时，单调递增，时，单调递减，综上所述：时，在单调递增.时，在单调递增，在单调递减.（3）由（2）知，时，，等价于，即.设，，当时，单调递增.当时，单调递减，，∴当时，，从而时，，即19.已知，其中．（1）求证：当时，；（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；（3）证明：，其中．【答案】解：（1），令，则，而且，所以，即在上单调递增，，所以，即在上单调递增，所以.（2）①时，，，所以在上单调递增，又，则此时有且仅有1个零点；②时，在上小于0，在上大于0，即在上单调递减，在上单调递增，又且，则存在唯一的，即在和上大