甘肃省2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.向量，则向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为向量，所以向量.2.椭圆的离心率为，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】椭圆方程，焦点在轴上，令.其中，，离心率，则.代入得，，.解得，又，故.3.集合（为虚数单位），则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】因为，；因此集合，根据交集定义可得

.4.数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（）A.0 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】解：由题可得，解得或（舍去），，解得，，．5.函数的最小值为（）A.-1 B. C.-3 D.-5【答案】B【解析】，其中，所以的最小值为.6.凸显地方特色､挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”等组成的“不土特产”类毛绒产品：还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为（）A.14 B.20 C.24 D.120【答案】A【解析】总产品数：类，每类款，共款.从款中选款的总方法数：.不选“绿马”类（仅从另两类款中选款）的方法数：.至少选个“绿马”类的方法数：.7.正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】如图，将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线，由于异面直线间公垂线段最短，当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长，由图可知正方体的棱长为，则线段长度的最小值为.8.函数，若，则的最小值为（）A. B.2 C.4 D.16【答案】C【解析】，又在单调递增，，，即.，当且仅当时，等号成立.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则（）A.B.数列是公比为2的等比数列C.D.【答案】ACD【解析】设等比数列的首项为，公比为，因为，所以，化简可得，解得或（舍去）因为，所以，即，所以.对于A，，故A正确；对于B，因为，所以数列是公比为4的等比数列，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确.10.函数，且，则以下结论正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数在区间上为增函数C.当时，D.函数为奇函数【答案】CD【解析】选项，若函数的最小正周期为，则由周期函数定义成立，而，化简得，所以错误.选项，当时，，若在区间上为增函数，则由增函数的定义，任取时，都有成立.取，满足，此时，，而，所以函数值随的增大而减小，因此错误.选项，当时，，所以，由分组求和可得，因此，选项正确.选项，因为，函数为奇函数，所以化简可得，因此函数为奇函数，选项正确.11.正方形的顶点坐标分别为，曲线分别与交于点，则以下结论正确的是（）A.B.坐标原点到曲线上任意一点距离的最小值为2C.曲线与直线有两个交点D.曲线上存在点，使【答案】AB【解析】由题意可知曲线的图象由双曲线（为其焦点）在第二象限及轴负半轴上的点，圆在第三象限内的点，双曲线为其焦点）在第四象限及轴负半轴上的点共同构成，其图象分布在双曲线的渐近线的左下区域，如图所示:对于A，由题意，为双曲线左支（为其焦点）上一点，由双曲线的定义可知，而，因此，如图所示，曲线关于对称，由对称性可得，所以，故A正确；对于B，设曲线在第二象限上任意一点，根据双曲线方程及范围，，曲线在第三象限上任意一点及和到原点的距离为2，根据对称性，曲线在第四象限上任意一点到原点的距离也都大于2，故B正确；对于C，如图所示，直线与平行，且在其右上区域，所以曲线与直线没有交点，故C错误；对于D，要满足，点必须在以为直径的圆上，如图所示，此圆除原点外，其余点均在直线的右上方区域，与曲线无交点，故D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________.【答案】【解析】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为，设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件，由题意可知，则，解得.13.函数是定义在上的偶函数，其导函数为，对于，都有，若，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】因为对于，都有，所以在上单调递增，是定义在上的偶函数，且.由，可得，则有，即或，或.故实数的取值范围为.14.圆锥的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点和底面圆周上任意两点作圆锥的截面，当底面圆心到截面的距离为时，重心的轨迹所围成图形的面积是__________.【答案】【解析】如图，设为中点，连接，作平面，连接，又平面，则，又，所以，所以，又，所以，所以，所以垂足必在上，由题意可知，则，，由于为等腰三角形，所以重心在底边的中线靠近点的三等分点处，，作，垂足为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.中，角的对边分别为，.（1）求；（2）若，为中点，，求.解：（1）因为，所以，即，由正弦定理可得：，所以，由于，故.（2）因为为中点，所以，则，所以，即，解得或（舍），由余弦定理知，，所以，所以，则，所以，所以.16.2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量（单位：千件）与月检测成本（单位：万元），得到如下数据：234563.24.25.15.86.7（1）求关于的回归直线方程，并估计月产量达1万件时的月检测成本；（2）该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为，若是关于的函数，求证：函数的图象关于点对称.参考公式：.（1）解：由条件可知：，列出下表0120.10.81.73.60.800.83.441014将以上数据代入公式，可得，所以，当时，（万元），故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元.（2）证明：设表示3件产品中不合格产品的件数，则，故，，，又∵函数的定义域为函数的图象关于点对称.17.如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）若共面，求平面和平面所成角的余弦值.（1）证明：如图，连接，是矩形，是的中点，是的中点，平面，平面，，因为是的中点，，平面，平面，平面.（2）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则由已知，，，，连接，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，又平面，平面，且，∴平面平面，共面，平面平面，平面平面，，同理，所以四边形为平行四边形，，且为中点，可得，则，设平面的一个法向量为，则，取，则平面的一个法向量为，取平面的一个法向量为，，所以平面和平面所成角的余弦值为.18.已知抛物线过点.（1）求抛物线的方程；（2）过作抛物线的切线，连接，作的平行线交于两点，交于点，若，判断是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.解：（1）由于过点，则，所以抛物线的方程为.（2）由得，所以过的切线的方程为，即，设，可知，,则，，在切线上，，在直线上，，又，，由得，由可得：同理，所以是定值.19.已知，其中，是自然对数的底.（1）当时，求函数的最小值；（2）若函数在定义域内为增函数，求的取值集合；（3）求证：（i）对于；（ii）对于，都有.（1）解：当时，，则，当时，，则为减函数；当时，，则为增函数，所以当时，有极小值，也是最小值，因此，.（2）解：可知，令，则，当时，，则