甘肃省武威市天祝藏族自治县九师联盟2026届高三下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省武威市天祝藏族自治县九师联盟2026届高三下学期4月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，所以，又，所以.3.某科研团队构建了超导量子计算原型机，为了评估其稳定性，团队记录了6次关键性能测试的保真度数据：0.9992，0.9988，0.9990，0.9987，0.9994，0.9990，则这组数据的75%分位数为（）A.0.9988 B.0.9991 C.0.9992 D.0.9994【答案】C【解析】把这组数据从小到大排列为：0.9987，0.9988，0.9990，0.9990，0.9992，0.9994，又，所以这组数据的75%分位数为重新排列后的第5个数0.9992.4.某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（）A.1152 B.1386 C.1560 D.1842【答案】A【解析】由，得，两边取自然对数得，所以.5.已知双曲线：的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知的一条渐近线的斜率为，所以，所以的离心率.6.已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（）A.18 B.9 C.6 D.3【答案】B【解析】由题意得，分别为的最小值（最大值）与最大值（最小值），当在上恰好有3个零点时，的最小正周期最大，最小，此时，，.7.已知函数，则（）A. B.C.， D.【答案】B【解析】由，得，令得，所以，即，所以求导得，显然，所以在上单调递增，即，故A错误；由为奇函数，且，所以，故B正确；由，可得，显然对，不恒成立，故C错误，再由，，显然，故D错误.8.如图，已知在正四棱台中，，，为的中点，，分别为直线，上的点，若，，三点共线，则线段的长为（）A.12 B.9 C. D.8【答案】D【解析】法1：取的中点，连接，，，延长与的延长线交于点，连接并延长交直线于，得，，，所以，因为平面平面，且平面平面，平面平面，所以，又，所以，所以，所以，在中，由余弦定理，得，所以.法2：连接，，，，记，，连接，得，，，得，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，，则，，，，，则，，，，设，，所以，.因为，，三点共线，所以，所以存在，使得，即，解得，所以，，所以，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（）A. B.的方程为C.原点到直线的距离为 D.【答案】AC【解析】将的坐标代入的方程，得，，所以的方程为，，：，由抛物线的定义，得，故A正确，BD错误；直线的方程为，故原点到直线的距离为，故C正确.10.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别为棱，的中点，为侧面（含边界）上一动点（点除外），，则下列结论正确的是（）A.若，则平面B.平面平面C.三棱锥的外接球的表面积为D.若直线与所成的角为，则点的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对选项A，连接交于点，连接，则，由题意知，所以，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；因为平面，平面，所以，因为，分别为正方形的边和的中点，易证，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；分别取，的中点，，过，分别作平面和平面的垂线，两垂线交于点，则为三棱锥外接球的球心，连接，易求，，所以OC=12+52故其表面积为，故C错误；由题意知为直线与所成的角，所以，连接，则，则，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在侧面内的部分，所以其长度为，故D正确.11.用表示不超过的最大整数，则（）A.B.是的充分不必要条件C.函数的值域为D.方程的解集为【答案】BCD【解析】对于A，当时，，A错误；对于B，若，设，则，，所以，所以，充分性成立；若，取，，则，，，必要性不成立，B正确；对于C，由题意知是定义域为的偶函数，由偶函数的性质得的值域与在上的值域一致，，设，则，且，在上单调递增，当时，，则，所以，，故，所以的值域为，C正确；对于D，由，得，即，所以，因为及为整数，所以为整数，所以的可能取值为，0，，，，1，经检验，原方程的解集为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中，若点，，共线，则________.【答案】0【解析】因为点，，共线，所以，共线，又，，所以，所以.13.已知，则的展开式中，的系数为________.（用数字作答）【答案】80【解析】由，得，所以的展开式的通项为：，令，得，，所以的系数为80.14.已知数列满足，，记的前项和为，则________.【答案】1520【解析】由，得，所以，所以的值均为1，又，所以，所以，当为偶数时，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，且，，成等差数列，求的值.解：（1）法1：由及正弦定理，得，所以，又，所以，所以.因为，所以.法2：由及余弦定理，得，整理，得，所以，因为，所以.（2）由及余弦定理，得，所以，即，因为，，成等差数列，所以，所以，.16.如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为平面，平面，所以，因为侧面是菱形，，所以是等边三角形，又点为的中点，所以，又因为，平面，，所以平面.（2）解：取的中点，连接，则，因为平面，平面，所以，所以，由（1）知，平面，平面，所以，所以，，两两垂直，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则，即令，解得，，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数的图象在处的切线过点.（1）求；（2）若，，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，所以，又，且曲线在处的切线过点，所以，解得.（2）由（1）知，令，则，设，则，因为，所以，故在上单调递增，所以，若，则，，所以在上单调递减，所以，满足题意.若，则，，所以存在，使得，又在上单调递增，所以当时，，此时，所以在上单调递增，所以当时，，不满足题意.若，则，，则当时，，此时，所以在上单调递增，所以当时，，不满足题意.若，则，又，所以存在，使得，所以当时，，此时，所以当时，，不满足题意.综上所述，实数的取值范围是.18.某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为；使用第二代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立.（1）求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率；（2）若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行3次基因编辑，若3次中成功2次，则停止实验（如第1，2次成功，则第3次不再基因编辑）；否则再使用第二代技术进行2次编辑，随后停止实验，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望；（3）在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术.已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元.若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次?解：（1）使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率为.（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以分布列为0123.（3）若第一代技术使用2次，记编辑成功的次数为，则的分布列为012净收益的期望值为（元）；若第一代技术使用1次，记编辑成功的次数为，则的分布列为012净收益的期望值为（元），若第一代技术使用0次，记编辑成功的次数为，则的分布列为012净收益的期望值为（元），因为，所以从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用2次.19.已知椭圆：仅经过点，，，，，中的两个.（1）求的方程；（2）若直线与交于点，，点为点关于轴的对称点，证明：直线过定点；（3）若直线与交于点，，线段的中点为，为原点，当的面积最大时，是否存在两定点，，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.（1）解：因为点，关于原点对称，点，关于轴对称，所以，，三点要么都在上，要么都不在上，又仅经过其中的两个点，所以，，都不在上，因为，，若经