甘肃省张掖市2026届高三下学期第三次诊断质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省张掖市2026届高三下学期第三次诊断质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据：，则样本数据的分位数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，样本共有个数据，则，而第个数据为，第个数据为，则分位数为.2.已知集合，则（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】对于集合A：，所以x≠0xx+1≥0，解得或，所以或，对于集合B：可得，所以，所以或.3.若复数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】．4.命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题，时，不等式为恒成立，满足题意，时，则，解得，综上，的范围是.5.某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距nmile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4nmile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（）A.6nmile B.7nmileC.nmile D.nmile【答案】D【解析】在中，，由正弦定理得nmile，在中，，由余弦定理得，所以nmile.6.已知，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，而，所以在上的投影向量为.7.已知是双曲线的左、右顶点，点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，点到坐标原点的距离为，直线交双曲线的右支于点，直线与的斜率互为相反数，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】设，联立，得，，即，则，直线，所以，联立直线和直线的方程，解得，，即，代入双曲线方程，得，所以双曲线的离心率为.8.如图，在三棱锥中，为的中点，平面，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，，且2，所以是等腰直角三角形.因为为的中点，根据等腰三角形性质，.在中，，所以.因为平面，平面，所以.以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.所以，，，，.设，在中，，.所以，故.所以，设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为).，设直线与平面所成的角为.所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点，若，，则（）A.B.C.的离心率D.当的长轴长为时，的短轴长为【答案】ABD【解析】对于A选项，设，则，，，，所以，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，因为，故，由余弦定理可得，代入A中的数据并整理可得，即，因为，解得，故该椭圆的离心率为，C错；对于D选项，当的长轴长为时，则，则，故该椭圆的短轴长为，D对.10.已知函数（其中）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）A.B.是奇函数C.若在区间上的值域为，则D.若在上有且仅有3个零点，则【答案】BCD【解析】对于A选项，，因为函数的图象关于直线对称，所以，解得，又，故只有当时，满足要求，故，A错误；对于B选项，由选项A知，，故，由于，故为奇函数，B正确；对于C选项，，因为，，所以，，由于在区间上的值域为，故，解得，C正确；对于D选项，，因为，，所以，因为在上有且仅有3个零点，所以，解得，D正确.11.已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.函数在上单调递增C.若，则不等式的解集为或D.为奇函数【答案】AD【解析】对于A，令，则，所以，A正确；对于B，对任意，设，则，因为当时，，所以，,即，因此在上单调递减，B不正确；对于C，，由可得，由B选项可得，解得，又，所以，故解集为，C不正确；对于D，令，由可得定义域为；又，所以为奇函数，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为__________．【答案】【解析】因为的展开式通项为，其中含项的系数为，含项的系数为，所以的展开式中的系数为.13.已知是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，．若，则__________．【答案】【解析】由已知可得圆心，半径，因为，是圆的切线，，为切点，根据切线性质得：，，即，所以点，在以线段为直径的圆上，即是圆和以为直径的圆的公共弦，根据两圆公共弦的性质可得：且平分，又，所以，所以，在中，，，设与交点为，在中，，，所以.14.小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________．【答案】【解析】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件，参加乙款游戏闯关成功为事件，则，所以，又，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列是各项为正的等比数列，满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列的前项和为，若存在使得对任意的都成立，求正整数的最小值．解：（1）设等比数列的公比为，由可得.又因为数列各项均为正，所以.由解得，则，因为，所以.故数列的通项公式为.（2）因，则,即数列为递增数列，故的最小值为.若存在使得对任意都成立，则需满足，即，则，即，解得，即.因为为正整数，所以的最小值为5.16.电视剧《生命树》开播以来，收视率急剧上升，成为当下的热播剧，并引发了人们对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注．某大学在电视剧《生命树》开播后，想了解学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关，随机抽取了300名该校学生进行调查，调查结果如以下22列联表：关注不关注合计男生15050200女生5050100合计200100300（1）根据小概率值的独立性检验，分析学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注是否有关；（2）从参与调查的300名学生中抽取2名，求其中至少有1名是女生的条件下，这2名学生都关注藏羚羊及西藏生态环境保护的概率．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）因为，所以学生性别与学生对藏羚羊及西藏生态环境保护的关注有关.（2）设事件A为“这2名学生都关注藏羚羊及西藏生态环境保护”，事件B为“抽取的2名学生中至少有1名是女生，则，.17.已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，点到焦点的距离与到点的距离之和的最小值为3．（1）求抛物线的方程；（2）若过点的两条直线分别与抛物线交于点与，且=，求证：直线的斜率之和为0．（1）解：抛物线的准线方程为，焦点坐标为，因为点到焦点的距离与到点的距离之和最小值为3，所以，解得，故方程为.（2）证明：设过的直线斜率为，则直线方程为，联立抛物线方程可得，设直线与抛物线的交点为，则.，，所以；设直线的斜率为，的斜率为，则，，因为，所以，即，因为是两条不同的直线，所以，即，直线的斜率之和为0.18.如图，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面圆周上的点，是上的一点，且是等边三角形．（1）若平面，求的长；（2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）设与相交于点，连接，圆锥的底面圆圆心为，因为平面，平面平面，平面，所以，故，是边长为2的等边三角形，故，，又是等边三角形，为的外接圆圆心，则由正弦定理得，故，故，所以；（2）过点作⊥，交圆于点，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，则，其中平面的一个法向量为，故与平面所成角大小为，则，解得或（舍去），所以，，又，设平面的一个法向量为，则，解得，令得，故，设平面与平面夹角大小为，则.19.已知函数，．（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，函数，且存在，使得，求证：．（1）解：由条件可知，在上恒成立，则在上恒成立，则，，因为时，，当且仅当等号成立，所以，所以；（2）证明：时，，恒成立，所以在单调递减，且，时，，当时，，由，得，，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，，所以，若存在，使