甘肃渭源县第一中学2025-2026学年下学期期中考试数学试卷高二（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃渭源县第一中学2025-2026学年下学期期中考试试卷高二考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D2.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A3.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A4.在直角三角形中，若，，，则为（）A.3 B.6 C.－3 D.－6【答案】B5.已知甲，乙，丙，丁4人随机站成一排，则甲，乙两人站在丙的同侧的概率为（）A. B. C. D.【答案】D6.把函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变.得到函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】C7.已知等差数列的公差，前项和为.若，且，则（）A. B. C. D.【答案】A8.已知函数若关于z的不等式在上有解，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C二、多选题（每题6分，共18分）9.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在上单调递增B.若，且，则函数的最小正周期为C.若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3D.若在上恰有4个零点，则的取值范围为【答案】AD10.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（）A.B.主持人打开3号箱的概率C.若，且甲更改选择，则他获奖的概率为D.若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大【答案】BC11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为B.当离心率为时，的最大值为3C.存在点，使得D.当离心率不小于时，的最小值为【答案】ABD三、填空题（每题5分，共15分）12.在的展开式中，的系数为___________．【答案】13.某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答）【答案】3614.已知函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为__________．【答案】四、解答题（共77分）15.已知数列的前n项和为，，.（1）求的通项公式及；（2）求数列的前n项和.【答案】解：（1）因为，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以，.（2）由（1）知，公差，故数列是递增数列.令，解得.所以当时，；当时，；当时，.当时，，当时，，因为，所以.综上所述，数列的前n项和为：（）.16.为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于的认同差异，某公司随机对400名用户（男女用户各占一半）进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户数量占女性用户总数的，认为“最佳舒适温度”不低于的男性用户数量占总用户数的.性别最佳舒适温度合计男女合计400（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于是否与性别有关；（2）从样本中的认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率.附：，.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】解：（1）依题意可知，女性用户共有200人，认为“最佳舒适温度”不低于的女性用户有人，男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于的人数为.列联表如下：性别最佳舒适温度合计男100100200女15050200合计250150400零假设为：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别无关.根据表中的数据，计算得到，因为，所以根据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于与性别有关.（2）由（1）得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于的用户中男性有100人，女性有50人，故抽取2人至少有1名女性的概率为.17.如图，在几何体中，平面平面，四边形是矩形，是等腰三角形，，，，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】解：（1）证明：因为四边形是矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，平面，所以，，因为是等腰三角形，所以，又，所以，所以，因为，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，直线两两垂直，以A为原点，分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则取，得，，所以设平面的一个法向量，则取，得，，所以，所以．所以平面与平面夹角的余弦值为．18.在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的两条直线与椭圆分别交于点和，线段和的中点分别为．（i）若轴上存在点，使得，求实数的取值范围；（ii）设直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．【答案】解：（1）已知椭圆（）的短轴长为2，故，解得，离心率，则，整理得，椭圆．（2）（i）椭圆右焦点，设过的直线，，联立椭圆方程，得，设，中点，由韦达定理得，，，，在的垂直平分线上，设垂直平分线的斜率为，则，解得，故垂直平分线的方程为，令，得，代入得，则，当时，；当时，，，.（ii）已知直线的斜率分别为，且由（i）可知，的中点，的中点，由则，，，，直线的方程为，整理得，令，解得，此时，与无关，直线与无关，故直线过定点．19.设函数.（1）若有极值点、无零点，求的取值范围；（2）若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围；（3）设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且．【答案】解：（1）因为，则，当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意；当时，由可得，由可得，此时函数在上单调递减，在上单调递增，则函数有极小值点，故的极小值为，因为函数无零点，所以，即，即，解得，综上，的取值范围为．（2）由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，可知存在、使得．当，则，不符合题意．当时，在上单调递增．所以在内的值域为