小学六年级数学构建模型方程赋能-稍复杂的“已知一个数的百分之几是多少求这个数”实际问题

小学六年级数学《构建模型方程赋能——稍复杂的“已知一个数的百分之几是多少求这个数”实际问题（1）》精品教学设计一、教材与学情分析【基础】【核心概念】本课是苏教版小学数学六年级上册第六单元《百分数》中的第10课时，内容属于“数与代数”领域。在此之前，学生已经学习了百分数的意义和读写、百分数与小数分数的互化，以及基本的“求一个数是另一个数的百分之几”和“求一个数的百分之几是多少”的实际问题。同时，学生在中年级已经掌握了简单实际问题的方程解法（如求一倍量）和分数乘除法实际问题的数量关系分析。本课正是在这些知识基础上，将实际问题复杂化，引入“比一个数多（少）百分之几”的条件，要求解决“单位‘1’未知”的问题。这不仅是百分数应用的一次重要提升，更是从算术思维向代数思维过渡的关键节点，是培养学生模型意识和应用意识的重要载体。【难点】【学生认知】六年级学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，但对于百分数这种抽象概念的理解仍需具体情境支撑。本课的难点主要在于：一是对“比原计划多（少）20%”这类关键句的理解，能够准确地找到单位“1”并厘清数量之间的相等关系；二是克服算术思维的定势，主动接受并掌握用方程解决问题的方法，体会其顺向思维的便捷性。学生往往习惯于看到“多百分之几”就用乘法加，看到“少百分之几”就用乘法减，当单位“1”未知时，这种算术解法容易出错且难以理解。因此，本课的核心任务是引导学生从“算术思维”转向“代数思维”，通过建构等量关系模型来解决问题。二、教学目标设计基于课程改革理念和对学科核心素养的落实，本课教学目标设定如下：1.【基础】知识与技能：学生能够理解并掌握“已知一个数比另一个数多（少）百分之几，求另一个数”的实际问题的结构和数量关系。能借助线段图分析题意，正确找出等量关系，并熟练地列方程解答此类问题。2.【重要】过程与方法：通过自主探索、合作交流，经历分析数量关系、设未知数、列方程、解方程和检验的全过程。在对比、辨析中，感受方程模型思想在解决实际问题中的优越性，提升数学建模能力和迁移类推能力。3.【非常重要】情感态度与价值观：使学生在解决与生活紧密相关的百分数问题中（如绿化造林、粮食增产等），感受数学的应用价值，增强环保意识和热爱家乡的情感。同时，通过克服学习困难，获得成功体验，增强学好数学的自信心和克服困难的意志品质。三、教学重难点1.【重要】教学重点：掌握列方程解决稍复杂的“已知一个数的百分之几是多少求这个数”的实际问题的方法，能正确分析数量关系并列出方程。2.【难点】教学难点：准确理解“比一个数多（少）百分之几”的含义，理清单位“1”、对应分率和具体数量之间的内在联系，建立正确的等量关系模型。四、教学准备多媒体课件（包含例题、线段图动画、分层练习题）、学习任务单、学生可能需要的彩笔（用于画线段图）。五、教学过程实施（一）唤醒经验，迁移铺垫（5分钟）1.复习旧知，激活思维【基础】教师首先出示一道复习题：“马山粮库要往外地调运一批粮食，已经运走了60%，恰好运走了72吨。这批粮食一共有多少吨？”学生独立完成，并请学生汇报。（预设）学生回答：这道题是已知一个数的百分之几是多少，求这个数。可以用方程解，设这批粮食一共有x吨，方程是60%x=72，解得x=120。也可以用除法直接计算：72÷60%=120（吨）。【重要】教师引导学生回顾：无论是用方程还是除法，关键都是要找到“运走的吨数=总吨数×60%”这个等量关系。这里，总吨数是单位“1”，是未知的。2.变式引入，制造冲突【热点】教师将复习题进行改编，出示本课新例题（去掉具体数量，增加百分数条件）：“马山粮库要往外地调运一批粮食，已经运走了60%，还剩48吨。这批粮食一共有多少吨？”【难点】引导学生对比：这道题和刚才的有什么不同？（刚才告诉了运走的72吨，现在告诉了剩下的48吨）这样一变，还能直接列出60%x=48吗？为什么？（不能，因为48吨不是运走的，而是剩下的，它对应的百分数不是60%）这就引出了我们今天要探究的“稍复杂的百分数实际问题”。（板书课题）（二）探究建模，算法建构（20分钟）1.阅读与理解——抓住关键句学生默读题目，找出已知条件和问题。教师提问：“已经运走了60%”这句话是什么意思？是把谁看作单位“1”？（预设）学生回答：是把“这批粮食的总吨数”看作单位“1”。已经运走的占总吨数的60%，那么剩下的就占总吨数的（160%）。2.画图与分析——几何直观辅助【非常重要】教师示范并指导学生画线段图。第一步：先画一条线段表示单位“1”，也就是“这批粮食的总吨数”，并标上“？吨”。第二步：提问：运走的占60%，我们应该在线段图上如何表示？（把单位“1”平均分成100份，取其中的60份）教师在线段上标出运走的部分，并注明“运走60%”。第三步：剩下的部分在哪里？有多长？学生指出来，并标上“还剩48吨”。（完整的线段图如下：）“1”┝━━━━┽━━━━┽━━━━┽━━━━┽━━━━┥<运走60%><还剩？吨，实际48吨>││└─────────────────────────────┘？吨（总吨数）3.分析与解答——寻找等量关系【核心环节】教师引导学生观察线段图，小组讨论：你能从图中找到怎样的等量关系？学生汇报，教师板书可能的等量关系式：（1）总吨数运走的吨数=剩下的吨数（2）总吨数×（160%）=剩下的吨数（3）运走的吨数+剩下的吨数=总吨数教师引导：在这些关系式中，哪个量是我们要求的？（总吨数）它是已知的还是未知的？（未知）哪个量是已知的？（剩下的48吨）【重要】既然单位“1”是未知的，通常我们用什么策略来解决？（列方程）为什么列方程比较方便？（因为可以根据等量关系，顺着题意把未知数当作已知数参与列式。）学生尝试根据自己找到的等量关系列方程解答。任务单呈现：解：设这批粮食一共有x吨。方法一：根据“总吨数运走的吨数=剩下的吨数”x60%x=4840%x=48x=48÷0.4x=120方法二：根据“总吨数×（160%）=剩下的吨数”（160%）x=4840%x=48x=1204.检验与反思——完善认知【高频考点】引导学生进行检验。提问：x=120是原方程的解吗？它符合题意吗？学生尝试用自己的方法检验。（预设）检验1：×60%=12072=48，符合。检验2：120×（160%）=120×40%=48，符合。检验3：看运走的72吨是不是占总吨数的60%？72÷120=0.6=60%，符合。回顾与反思：教师引导学生回顾整个解题过程，并思考几个关键问题：（1）为什么我们一开始不能用60%x=48？（因为48与60%不直接对应，对应的是剩下的40%。）（2）解决这类问题的关键步骤是什么？（【难点】①找准单位“1”；②根据关键句画出线段图；③找出正确的等量关系；④当单位“1”未知时，通常列方程解答。）（3）对比一下x60%x=48和（160%）x=48，你有什么发现？（它们是乘法分配律的两种不同表现形式，本质相同。）（三）分层练习，深化模型（10分钟）1.【基础】模仿练习——强化结构出示：某工厂十月份用水480吨，比原计划节约了20%。十月份原计划用水多少吨？要求：先找出单位“1”，画出线段图，再列方程解答。（重点引导学生理解“比原计划节约了20%”就是实际用水量比原计划少的占原计划的20%，等量关系为：原计划用水量节约的20%=实际用水量，或原计划用水量×（120%）=实际用水量。）2.【重要】变式练习——辨析异同出示对比题组：（1）一种国产电视机，现在的售价是2400元，比原来降价了20%。原来的售价是多少元？（2）一种国产电视机，原来的售价是3000元，比现在的售价高了20%。现在的售价是多少元？学生独立完成后，组织讨论：这两题有什么相同和不同的地方？...点：都含有“比...多（少）百分之几”的条件；不同点：第一题的单位“1”是“原来的售价”，是未知的，用方程解；第二题的单位“1”是“现在的售价”，是未知的，也用方程解。但两者的等量关系不同，一减一加，需要仔细辨析。）3.【难点】拓展练习——开放探究出示：一根绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去剩下的20%，还剩12米。这根绳子原来长多少米？（此题作为选做或课后思考题，旨在为学有余力的学生提供挑战，将连续百分数问题进行前置渗透，培养思维的深刻性。）（四）课堂总结，反思提升（3分钟）1.知识梳理：请学生用自己的话总结，今天我们学习了什么？我们是怎样解决这类“稍复杂的百分数实际问题”的？2.模型提炼：【非常重要】师生共同提炼解决问题的基本模型：“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”——解题模型：①找：找准单位“1”，设为x；②判：根据关键句判断单位“1”是已知还是未知；③画：画线段图分析数量关系；④列：根据等量关系列出方程；⑤解：解方程并检验。3.情感升华：数学来源于生活，又服务于生活。像百分数这样在生活中无处不在的知识，只要我们掌握了它的规律，就能解决很多实际问题。（五）课堂作业（2分钟）完成课本“练一练”及练习十七相关习题。六、板书设计稍复杂的百分数实际问题（1）——列方程解决问题【例题】粮库有批粮食，运走60%，还剩48吨。共？吨单位“1”：总吨数（未知）线段图：运走60%剩48吨“1”：┝━━┽━━┽━━┽━━┽━━┥?吨等量关系：1.总吨数运走的吨数=剩下的吨数2.总吨数×（160%）=剩下的吨数解：设这批粮食一共有x吨。x60%x=4840%x=48x=48÷0.4x=120答：这批粮食一共有120吨。检验：×60%=48（或120×(160%)=48）七、教学反思（预设）本课设计遵循了“问题情境——建立模型——解释应用”的基本模式。从复习题到例题的变式，有效地激发了学生的认知冲突，引导他们从顺向思维（算术法）转向方程建模（代数法）。线段图的引入，将抽象的百分数关系直观化，有效突破了理解数量关系的难点。通过对比练习和辨析，帮助学生逐步建立起解决此类问题的思维框架，即“找单位‘1’——画线段图——列等量关系——列方程解答”。整节课不仅关注了知识与技能的掌握，更关注了数学思想（模型思想、数形结合思想）的渗透和关键能力（分析能力、抽象能力）的发展，努力实现从“教知识”向“育素养”的转变。八、作业布置1.【基础】完成练习十七第4、5、6题。要求：第4题只列式不计算，第5、6题必须写出完整的解题过程（包括找单位“1”、画草图、列方程）。2.【拓展】“十一”周期间，某景区接待游客人数比平时增加了40%，共接待了8.4万人。平时该景区每天接待游客多少万人？如果周期间的门票收入是平时每天收入的125%，达到了120万元，那么平时每天的门票收入是多少万元？九、教学资源深度开发与建议1.生活素材的引入：在练习环节，可以将纯数字的题目改编为具有时代气息和地域特色的实际问题。例如