高中数学必修一（北师大版）《2.3 映射：从对应到函数的桥梁》教学设计

高中数学必修一（北师大版）《2.3映射：从对应到函数的桥梁》教学设计一、课程教材分析【基础】【重要】本节内容“映射”位于北京师范大学出版社高中数学必修第一册第二章“函数”的第三节。从教材的编排体系来看，它是在学生学习了集合的基本概念以及函数的定义、表示法之后安排的。函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，而映射则是函数概念的推广和抽象化，它将两个非空数集之间的特殊对应关系，拓展到了两个非空集合之间的一般对应关系。因此，本节课在整个教材中起着承上启下的关键作用：既是对函数概念的深化和拓展，帮助学生从更高的观点理解函数的本质，又是后续学习线性变换、向量空间、群论等高等数学知识的基础，是连接初等数学与高等数学的重要纽带。【基础】从知识内容上看，映射的概念涉及三个核心要素：原像集合A（非空）、像集合B（非空）以及对应法则f。其核心特征在于“对于集合A中的任何一个元素，按照对应法则f，在集合B中都有唯一的元素与之对应”。这里的关键词是“任何一个”和“唯一”，这构成了判断一个对应关系是否为映射的准则。学生需要理解，映射允许“多对一”和“一对一”，但绝不允许“一对多”。同时，需要明确像与原像的概念，理解A中元素的像是B中唯一确定的元素，但B中的元素不一定有原像，若有原像，也可能不唯一。【热点】【难点】映射概念的高度抽象性是本节课教学的难点。学生虽然已经学习了函数，但函数毕竟建立在具体的“数集”之上，有具体的解析式或图象支撑，相对直观。而映射则将这种对应关系推广到了任意集合（如点集、图形、人、物等），这使得学生必须摆脱具体数学运算的束缚，用更加纯粹的逻辑思维去理解“对应”的本质。如何帮助学生跨越从“数集”到“任意集合”、从“具体运算”到“抽象对应”的认知鸿沟，是本节课教学设计需要着重思考和突破的关键点。此外，映射与函数的区别与联系，特别是理解“函数是一种特殊的映射”，也是学生容易混淆的地方。二、学情分析与教学定位【基础】教学对象为高中一年级学生。从知识储备上看，学生已经掌握了集合的相关概念（如元素、集合的表示、集合间关系），并学习了函数的定义及其三要素，会用集合与对应的语言刻画函数。这为学习映射提供了必要的知识基础。从认知发展水平上看，高一学生的抽象逻辑思维正在迅速发展，但往往仍需要具体形象的素材作为支撑。他们对概念的掌握，尤其是像映射这样高度抽象的概念，通常要经历从感性具体到理性抽象，再到具体应用的过程。【重要】学生在学习过程中可能遇到的主要障碍有：一是思维定势的负迁移，容易将函数中“数集”的运算习惯带入映射，难以理解非数集元素间的对应；二是对“唯一性”的理解不够透彻，尤其是在判断某些用语言描述的对应关系时，容易忽略“对于A中每一个元素”这一前提条件；三是对于映射方向性的理解不够，容易混淆从A到B的映射与从B到A的映射。【非常重要】基于以上分析，本节课的教学定位应为：以函数概念为生长点，以丰富的实例为载体，通过引导学生观察、比较、归纳、抽象，自主建构映射的概念。教学中应遵循“从特殊到一般，再从一般到特殊”的认知规律，充分利用图表、图示等直观手段，帮助学生建立清晰的表象，进而理解映射的本质特征。教学过程要突出学生的主体地位，通过问题链驱动学生思维，在师生互动、生生互动中突破难点，达成教学目标。三、教学目标设计依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中对“函数概念与性质”主题的要求，结合学情分析，制定如下教学目标：（一）知识与技能1.【基础】理解映射的概念，明确构成映射的三个要素：非空集合A、B及对应法则f。2.【重要】能准确判定一个从集合A到集合B的对应关系是否为映射，并能用映射的观点解释一些简单的对应实例。3.理解像与原像的概念，能在给定映射下，求一个元素的像；对于简单的映射，能根据像求原像。4.【难点】【热点】理解函数与映射的关系，明确函数是一种特殊的映射（当A、B为非空数集时），能用映射的观点加深对函数概念的理解。（二）过程与方法1.通过对生活中及数学中丰富实例的观察、分析、比较，经历从具体实例中抽象概括出映射定义的过程，体会数学概念形成的一般方法，培养抽象概括能力。2.在运用映射概念判断对应关系的过程中，学习运用数学语言进行判断和说理，培养逻辑推理能力和批判性思维。3.通过函数与映射的比较学习，体会特殊与一般的关系，初步掌握类比学习的思维方法。（三）情感、态度与价值观1.在探究映射概念的过程中，感受数学概念的严谨性与抽象美，激发学习数学的兴趣和探索精神。2.体会数学概念来源于生活又高于生活，感受数学内部逻辑体系的和谐与统一，树立普遍联系的辩证唯物主义观点。3.通过小组讨论与交流，培养合作学习的意识和勇于表达自己观点的习惯。四、教学重难点【重要】教学重点：映射概念的形成与理解，特别是对“每一个元素都有唯一确定的象”这一本质特征的把握。【难点】教学难点：如何从具体的对应实例中抽象出映射的本质特征；如何准确判断一个对应是否为映射，特别是对“一对多”和“多对一”情况的辨析；理解映射与函数的关系。五、教学实施过程（一）创设情境，温故知新——引出“对应”（导入环节，约5分钟）教师首先通过多媒体展示几组生活中的对应实例，引导学生观察和思考。实例1：乘坐高铁。每位乘客手中有且仅有一张车票，车票上印有唯一的座位号。当乘客上车后，他/她需要根据车票找到自己对应的座位。这里，我们可以把“乘客”看作一个集合A，“座位”看作另一个集合B。实例2：新生报到。开学时，每位新生都会领取一个唯一的学号。集合A是“全体新生”，集合B是“学号”，通过“分配学号”这个对应法则，每位同学都对应一个属于自己的学号。实例3：图书馆藏书。每本在馆的图书都有一个唯一的索书号，通过索书号可以找到它在书架上的一个确切位置。集合A是“图书”，集合B是“书架上的位置”。教师提问：“请同学们观察这些例子，它们有什么共同的特征？”（学生可能会回答：“都有一个对应关系”、“一个对应一个”等）教师引导：“大家说得很好，这些例子都描述了一种‘对应’关系。在初中和上一节课，我们学习了一种非常重要的数学模型——函数，它描述的也是一种对应。函数是建立在数集之间的一种特殊对应，比如y=2x，对于每一个x值，都有唯一确定的y值与之对应。那么，在现实世界中，除了数集之间，其他集合之间是否也存在这样有规律的对应关系呢？今天，我们就将函数的概念进行推广，学习一个更具普遍性的数学概念——映射。”（板书课题：2.3映射）设计意图：从学生熟悉的生活实例入手，既能迅速拉近数学与生活的距离，激发学生的学习兴趣，又能自然地引出“对应”这一核心主题。通过与已学函数概念的链接，为新知识（映射）找到生长点，帮助学生建立新旧知识的联系，为后续的抽象概括做好铺垫。（二）实例探析，抽象概括——建构“映射”概念（新授核心环节，约15分钟）教师由生活实例转向数学实例，利用多媒体或板书呈现四组具体的对应关系，要求学生以四人小组为单位进行观察、讨论，找出每组对应的特点，并尝试用自己的语言进行分类和描述。对应1：（一对一）集合A={高一(1)班的全体同学}，集合B={高一(1)班同学的学号}。对应法则f：每个同学都有自己唯一的学号。对应2：（一对一）集合A={中国，美国，英国，日本}，集合B={北京，华盛顿，伦敦，东京}。对应法则g：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有其唯一的一个首都与之对应。对应3：（多对一）集合A={全班30位同学}，集合B={男，女}。对应法则h：集合A中的每一个同学，按照性别，对应到集合B中的“男”或“女”。对应4：（一对多？）集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。对应法则k：集合A中的每一个数，在集合B中都有其平方数与之对应。（注意引导学生思考，如果对应法则改为“求平方根”，情况会怎样？）在展示实例时，教师需要特别强调实例4的变式：变式41：A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，f:x→y=x²。这是一个“一对一”的对应。变式42：A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，f:x→y是x的平方根。那么对于A中的元素“4”，在B中就会有“2”和“2”两个元素与之对应，这就出现了一个元素对应多个元素的情况。学生分组讨论，教师巡视，参与部分小组的讨论，引导他们从“原像集合中的每一个元素”和“像集合中对应元素的个数”这两个角度去观察。小组代表发言，交流各组讨论的结果。教师将学生的观点进行梳理，并板书在黑板上。学生通常会得出以下分类：（1）和（2）是一种类型：A中一个元素对应B中一个元素。（3）也是一种类型：A中多个元素可以对应B中同一个元素。对于变式42，学生会发现它不同于前三种：A中一个元素对应了B中多个元素。教师在此基础上进行引导和归纳：“同学们观察得非常仔细。我们把这些对应关系放在一起比较。请大家重点关注两个问题：第一，对于集合A中的每一个元素，在集合B中是不是都有元素与之对应？第二，如果有对应，这个对应的元素是唯一的吗？”教师根据学生的回答，将四组对应的特点汇总成表（此表在PPT上动态生成，教师口述要点，不在黑板上画表格）：（1）每一个A中的元素，在B中都有唯一的元素与之对应（一对一）。（2）每一个A中的元素，在B中都有唯一的元素与之对应（一对一）。（3）每一个A中的元素，在B中都有唯一的元素与之对应（多对一）。（42）虽然A中元素在B中都有对应，但并非唯一（一对多）。教师指出：“在数学中，我们把像（1）（2）（3）这样，满足‘对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应’的特殊对应，赋予它一个名称，叫做‘映射’。”然后，教师严格板书映射的定义：【非常重要】映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作：f：A→B。其中，与A中元素x对应的B中元素y称为x的像，记作y=f(x)，x称为y的原像。为了加深学生对定义中关键字词的理解，教师需要引导学生对定义进行剖析：1.“非空集合”：强调了A和B都必须有元素，这是映射存在的前提。2.“任意一个”：体现了映射对原像集合A的“全覆盖”要求，即A中不能有“剩余”的元素。3.“唯一确定的”：这是映射的核心，它规定了对应关系必须是“单值”的，不允许“一对多”。这是判断一个对应是不是映射的关键标准。4.“从集合A到集合B的映射”：强调了映射的方向性。f：A→B和f：B→A通常是不同的映射。设计意图：本环节遵循“从具体到抽象”的原则，让学生经历概念建构的全过程。通过小组合作、对比分析，学生能更深刻地理解映射的本质特征，而不是被动地接受定义。教师恰到好处的追问和引导，则帮助学生从感性认识上升到理性认识，精准把握概念的内涵和外延，有效突破教学难点。（三）概念辨析，深化理解——巩固与运用（深化理解环节，约12分钟）为了检验和巩固学生对映射概念的理解，教师设计一组有梯度的辨析题，引导学生运用定义进行判断和说理。【基础练习1】判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射？（1）A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，f:x→y=x+2。（2）A={x|x是三角形}，B={x|x是圆}，f:每个三角形对应它的外接圆。（3）A=R，B={y|y≥0}，f:x→y=x²。（4）A=R，B=R，f:x→y=1/x。（5）A={x|x≥0}，B=R，f:x→y=±√x。学生独立思考后回答，并说明理由。对于（4），学生需要意识到当x=0时，1/x无意义，即A中元素0在B中没有元素与之对应，不满足“任意一个”，因此不是映射。对于（5），一个x对应两个y，不满足“唯一”，因此也不是映射。通过这些练习，强化学生对定义中两个核心条件的把握。【难点突破练习2】（用图示法）教师用投影展示几个用箭头表示的对应关系图（具体图示此处用语言描述）：图1：A={a,b,c}，B={d,e}，a→d，b→d，c→d。（是多对一，是映射）图2：A={a,b,c}，B={d,e}，a→d，b→d，c没有对应元素。（不是映射，因为A中c没有像）图3：A={a,b}，B={d,e,f}，a→d和e两个箭头。（不是映射，因为一对多）图4：A={a,b,c}，B={d,e,f}，a→d，b→e，c→f。（是一对一，是映射）教师引导学生总结：判断一个对应是否为映射，只要抓住两条。第一，看A中元素是否“人人有事做”（每一个元素都有像）；第二，看A中元素做事是否“一心一意”（每一个元素的像是唯一的）。至于B中的元素，可以有剩余（无人找），也可以被多人找。【热点链接——函数与映射的关系】教师提问：“现在我们学习了映射，再回过头来看看我们熟悉的函数。同学们能不能用今天学习的映射的观点，重新审视一下函数的定义？”引导学生回顾函数的定义：设A、B是非空的数集，对于A中的任意一个数x，按照确定的法则f，在B中都有唯一确定的数y与之对应。然后，教师再引导学生对照映射的定义，学生能够很快发现，函数就是当A和B都是非空数集时的特殊映射。教师总结：【非常重要】函数是映射，但映射不一定是函数。函数是一种特殊的映射，其特殊性在于集合A和B必须是非空的数集。我们可以用维恩图来表示这种关系：映射是更大的圈，函数是其中的一个子圈。设计意图：通过多角度、多形式的练习，特别是反例的运用，帮助学生从正反两个方面更全面地理解映射概念的本质。将函数与映射进行对比，不仅深化了对函数概念的理解，也让学生清晰地把握了两个概念之间的逻辑关系，构建了系统的知识结构。（四）合作探究，知识应用——求像与原像（应用提升环节，约8分钟）在理解了概念的基础上，教师引导学生学习如何在一个给定的映射下，求一个元素的像或原像。教师出示例题：【例1】已知映射f：A→B，A=R，B=R，对应法则f：x→y=x²2x。（1）求A中元素1，0，2的像。（2）判断B中元素1，3是否有原像？若有，请求出来。学生独立完成，两名学生板演。第（1）问是直接代入计算，学生容易掌握。第（2）问需要解方程。对于求1的原像，即解x²2x=1，解得x=1，所以1的原像是1。对于求3的原像，即解x²2x=3，解得x=3或x=1，所以3的原像是3和1。教师针对（2）的结果进行追问：“从这两个结果，我们可以看出映射中的像与原像有什么关系？”引导学生总结：在映射中，像的原像可以不存在（如果方程无解），也可以有多个（如本例中3有两个原像）。这进一步印证了映射允许多对一，但不允许一对多。【例2】（小组合作）设A={(x,y)|x∈R,y∈R}是平面直角坐标系内的点集，映射f：A→A，对应法则为：f：(x,y)→(x+y,xy)。求点(1,2)的像，并求点(4,2)的原像。小组讨论后，请小组代表发言。通过本题，让学生感受映射不仅限于数集，还可以是点集，并且求原像的过程本质上就是解方程组，巩固了新旧知识的联系。设计意图：通过求像与原像的练习，使学生学会运用映射概念解决问题。特别是例1中，原像的“不存在”和“不唯一”两种情况，让学生对映射“多对一”的特性有了更具体的认识。例2则将映射与平面直角坐标系结合，拓宽了学生的视野，也为后续学习坐标变换等内容埋下伏笔。（五）课堂小结，反思提升——构建知识网络（小结环节，约3分钟）教师引导学生从知识、方法和思想三个层面进行课堂小结。1.【知识层面】我们今天学习了什么叫做映射？它的三个关键要素是什么？（非空集合A、B，对应法则f）判断一个对应是否为映射的关键标准是什么？（A中每一个元素都有唯一确定的像）函数和映射是什么关系？（函数是特殊的映射，即数集到数集的映射）2.【方法层面】我们是如何得到映射这个概念的？（通过观察大量生活实例和数学实例，然后比较、分析、归纳、抽象概括出来的）这体现了什么数学研究方法？（从特殊到一般）3.【思想层面】映射的学习，让我们体会到数学概念是如何一步步抽象和发展的。从生活中的“对应”，到数学中的“函数”，再到更具普遍意义的“映射”，数学的语言在不断地精确化和一般化。这种抽象与一般化的思想，是学习数学、理解世界的重要思维方式。（六）布置作业，巩固延伸（约2分钟）1.【基础性作业】（必做）课本P38练习题A组第1、2、3题。巩固对映射概念的判断和基本运算。2.【拓展性作业】（选做）课本P39练习题B组第2题。此题涉及映射与组合计数，需要学生深入思考，培养思维的深刻性。3.【探究性作业】（思考题）请你举出3个生活中符合映射原理的例子，并说明哪个集合是原像集，哪个集合是像集，对应法则是什么。下节课我们请同学来分享。鼓励学生用数学的眼光观察世界。六、板书设计通过清晰的板书，呈现本节课的核心内容和知识结构。屏幕区（PPT展示）主板书区（黑板左侧）副板书区（黑板右侧）（动态播放实例、练习题、图示等）2.3映射一、映射的概念1.定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合B的映射。记作：f：A→B。2.关键词：非空集合、任意一个、唯一确定、方向性。3.像与原像：y是x的像，x是y的原像。学生板演区（用于课上练习的演算）二、映射的判断1.