小学五年级数学上册《探索因数的奥秘》教学设计

小学五年级数学上册《探索因数的奥秘》教学设计

一、课程基本信息

学科：数学

学段与年级：小学五年级上册

教材版本：北师大版

课题名称：探索因数的奥秘——因数的意义与有序寻找方法

课时安排：1课时（40分钟）

授课对象：五年级学生

二、指导思想与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本指导，深刻理解核心素养导向下的课程育人理念。设计过程渗透建构主义学习理论，认为学习是学习者在原有认知基础上主动建构新知识的过程。因此，教学从学生已有经验（如乘除法运算、长方形面积计算）出发，创设真实且有挑战性的问题情境，引导学生在动手操作、合作探究、观察归纳中，自主建构“因数”及“找因数”的数学模型。

同时，借鉴“大概念教学”与“单元整体设计”思想，将本课置于“倍数与因数”整个单元乃至数的认识知识体系中进行定位。本课不仅教授“找因数”的技能，更着重引导学生理解“因数”所体现的“非零自然数之间的一种特定整除关系”，感悟因数的“成对性”和“有限性”特点，为后续学习最大公因数、约分、质数与合数等知识奠定坚实的观念与能力基础。教学过程强调思维可视化与数学语言表达，促进学生逻辑推理能力和抽象概括能力的发展，实现从“知识获取”到“素养形成”的升华。

三、教材与学情分析

（一）教材分析

在北师大版五年级上册第三单元“倍数与因数”中，“找因数”是紧接“倍数与因数的认识”之后的关键课时。教材的编排逻辑清晰：首先通过“用小正方形拼长方形”的直观几何活动，将抽象的数字关系转化为具体的图形操作，使学生借助“形”理解“数”，深刻体会因数与乘除法运算的内在联系。接着，引导学生从“拼长方形”的操作中抽象出用乘法算式或除法算式寻找一个数的全部因数的方法，并进一步通过观察、比较多个数的因数，发现因数个数、因数大小等方面的特征，为“质数与合数”概念的引出埋下伏笔。

教材的编排体现了从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，突出了数学与生活的联系以及数形结合的思想。本课的教学价值不仅在于掌握找因数的方法，更在于经历完整的数学探究过程，发展数学思维。

（二）学情分析

五年级的学生已经系统掌握了整数的乘除法运算，具备较强的计算能力和初步的几何直观（如对长方形面积与边长的理解）。在认知心理上，他们正从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，抽象逻辑思维能力开始迅速发展，乐于接受挑战，并能在教师的引导下进行有目的的探究与合作。

然而，学生在学习本课时可能存在以下困难与迷思：第一，容易将“因数”与乘法算式中的“乘数”概念混淆，忽略其“相互依存”的关系性本质。第二，在寻找一个数的全部因数时，容易发生重复或遗漏，缺乏“有序思考”的策略意识。第三，对于“1”和它本身作为任何非零自然数的因数这一普遍性，理解可能不够深刻。针对这些潜在难点，本设计将通过强化操作体验、引导方法反思、组织对比辨析等策略予以突破。

四、教学目标

基于以上分析，确立本课的教学目标如下：

1.知识与技能：

1.2.在用小正方形拼长方形的活动中，进一步理解因数的意义，体会一个数的因数与长方形长、宽的内在关联。

2.3.掌握寻找一个数的全部因数的方法，学会有序思考，并能正确、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数。

3.4.通过观察多个数的因数，初步发现一个数因数的个数特征及其他规律。

5.过程与方法：

1.6.经历“动手操作—算式抽象—方法归纳—实践应用”的完整学习过程，发展几何直观、推理能力和归纳概括能力。

2.7.在解决问题的过程中，体验有序思考的重要性，掌握“从1开始，成对寻找”或“从中间向两边找”的策略。

3.8.学会用数学语言（如：“因为…所以…”、“我发现…”）清晰地表达自己的发现和思考过程。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在探究活动中感受数学与生活的联系，体验数学学习的趣味性和挑战性。

2.11.在合作交流中养成认真倾听、勇于质疑、乐于分享的良好学习习惯。

3.12.培养严谨求实、有条理的思维品质，增强学好数学的自信心。

五、教学重难点

教学重点：

1.理解因数的意义，并能运用乘除法的关系，有序地找出一个数的全部因数。

2.掌握“成对寻找”的思维策略，体会有序思考的价值。

教学难点：

1.探索并理解“有序、不重复、不遗漏”地找出一个数所有因数的方法。

2.理解“1是所有非零自然数的因数”，以及每个数本身也是它的因数。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含互动白板功能）、学习任务单、12个完全相同的小正方形磁贴或纸片、实物投影仪。

2.学生准备：每人一套学具（内含印有12个、16个、18个小正方形的方格纸，剪刀，胶棒），常规文具。

3.环境准备：学生按4-6人异质小组就坐，便于开展合作探究。

七、教学过程

（一）创设情境，问题驱动，激活旧知（预计用时：5分钟）

师：同学们，学校手工社团准备用同样大小的正方形瓷砖来铺设展板背景墙。他们手头有12块这样的瓷砖。如果想要铺成一个长方形（要求必须用整块瓷砖，不能切割），可以怎样铺呢？不同的铺法，得到的“长方形展板”形状一样吗？

（课件出示问题情境图：12块正方形瓷砖散落，背景为长方形空白展板。）

师：这个问题，我们可以把它“数学化”。把每块瓷砖看作一个面积为1的小正方形，12块瓷砖的总面积就是12。铺成长方形，就是在思考：面积是12的长方形，它的长和宽可能是多少？（自然数）

师：回忆一下，上节课我们认识了“倍数”与“因数”。如果a×b=c（a，b，c均为非零自然数），那么a和b就是c的因数，c是a和b的倍数。今天，我们就化身“小小设计师”，通过“拼长方形”的活动，来深入“探索因数的奥秘”，学习如何系统、全面地找到一个数的所有因数。

（设计意图：从现实情境引入，赋予数学知识以生活意义，激发学生探究兴趣。将“铺瓷砖”问题转化为“用给定数量的小正方形拼长方形”的数学问题，并迅速链接到“因数”概念，实现情境问题的数学抽象，明确本课学习目标。）

（二）动手操作，直观感知，初探方法（预计用时：10分钟）

活动一：拼一拼，摆一摆——12的因数在哪里？

1.明确任务：请同学们用学具袋中印有12个小正方形的纸片（或剪下12个独立小正方形），在桌面上拼摆出不同的长方形。每拼出一种，就在学习任务单的表格中记录下这个长方形的“长”（每行摆几个）、“宽”（摆了几行）以及对应的乘法算式。

（教师巡视指导，关注学生的不同摆法，并请有代表性的小组准备上台展示。）

2.汇报交流：

1.3.请一组学生上台，用教师提供的磁贴在白板上展示他们的拼摆结果：①摆成1行，每行12个；②摆成2行，每行6个；③摆成3行，每行4个。

2.4.教师提问：“还有不同的摆法吗？”引导学生发现，摆成4行每行3个、6行每行2个、12行每行1个，形状与前面三种重复，本质相同。

3.5.根据学生的汇报，课件同步呈现表格：

长方形序号

长（每行个数）

宽（行数）

面积（总个数）

乘法算式

1

12

1

12

12×1=12

2

6

2

12

6×2=12

3

4

3

12

4×3=12

1.建立关联：

1.2.师：观察这个表格，长方形的“长”和“宽”与乘法算式中的两个“乘数”是什么关系？（长和宽就是乘数，它们的乘积是总面积12。）

2.3.师：根据因数的意义，在12×1=12这个算式中，谁是谁的因数？（12和1都是12的因数。）同理，在6×2=12中呢？（6和2都是12的因数。）在4×3=12中呢？（4和3都是12的因数。）

3.4.师（小结并板书）：看来，用12个小正方形拼长方形，所有可能的长和宽，正好就是12的全部因数！通过拼摆，我们找到了12的所有因数有：1，12，2，6，3，4。（板书：12的因数：1,2,3,4,6,12）

（设计意图：此环节是概念理解与方法初探的关键。通过动手操作，将抽象的“找因数”问题转化为直观的“拼图形”问题，实现数形结合。在操作与记录中，学生自然体会到“长×宽=面积”与“因数×因数=积”的对应关系。通过对比“不同形状”与“重复形状”，初步感知因数的“成对出现”特性，为后续有序思考奠定基础。）

（三）抽象归纳，提炼策略，掌握方法（预计用时：12分钟）

活动二：想一想，找一找——不用拼，如何找？

1.从直观到抽象：

1.2.师：如果现在不给小正方形，只给你一个数，比如16，你能找出它的所有因数吗？刚才我们通过“拼”找到了12的因数，现在能不能从“拼”的过程中，提炼出一种更一般的、用算式寻找因数的方法？

2.3.学生思考后发言。预设学生可能提出：可以想乘法算式，看看哪两个数相乘等于16；也可以想除法算式，看看16除以哪些数没有余数。

3.4.教师肯定学生的想法，并明确：找因数，本质上就是寻找所有能整除这个数的数。可以用乘法想，也可以用除法想。

5.探究有序找因数的方法（以16为例）：

1.6.师：怎么才能保证找得“全”，既不重复也不遗漏呢？我们一起来有序地找一找16的因数。

2.7.教师引导学生从“1”开始尝试，并在黑板上进行结构化板书：

想法一（乘法思路）：

1×16=16→找到1和16

2×8=16→找到2和8

3×？→3乘几都不是16，跳过。

4×4=16→找到4（两个因数相同，写一个）

5×？→不行，跳过。

6，7…还需要继续试下去吗？为什么？

（引导学生发现：因为4×4=16，再往下试，如5，得到的另一个因数会比4小，而比4小的因数我们已经在前面找出来了（1，2）。所以，当我们试到两个因数相等或非常接近时，就可以停止了。）

想法二（除法思路）：

16÷1=16→找到1和16

16÷2=8→找到2和8

16÷3=5…1→有余数，3不是因数。

16÷4=4→找到4

16÷5=3…1→停止。（因为商3已经小于除数4，继续试商只会更小，且已经在前面作为除数或商出现过了。）

3.8.师生共同总结“有序找因数”的策略口诀：

“有序找，不犯难，从1开始乘或除，成双成对记清楚，试到相近或重复，所有因数全找出。”

4.9.教师强调“成对寻找”的思想：找到一个因数，就能同时找到与之对应的另一个因数。写在因数集合里时，可以按从小到大的顺序排列：1，2，4，8，16。

10.即时巩固练习（独立完成，后交流）：

1.11.请用有序的方法，找出18和15的所有因数，写在任务单上。

2.12.学生完成后，投影展示典型作业，重点评议是否有序、是否找全、排列是否规范。

3.13.结合18的因数（1,2,3,6,9,18）和15的因数（1,3,5,15），再次巩固方法。

（设计意图：此环节是本节课的核心与升华。引导学生从具体的操作活动中跳脱出来，进行数学方法的抽象与概括。通过对比乘法思路和除法思路，让学生理解找因数的算理本质。重点突破“有序思考”的策略教学，通过教师的示范性板书和关键性提问，引导学生发现寻找的“边界”在哪里，从而真正掌握高效、全面的方法。口诀总结朗朗上口，有助于记忆和理解。）

（四）观察比较，发现规律，深化理解（预计用时：8分钟）

活动三：看一看，说一说——因数里藏着小秘密

1.观察一组数的因数（课件呈现：4，9，12，16，18，20等数的因数集合）：

1.2.师：请大家仔细观察这些数的因数，你有什么发现？在小组内说一说。

2.3.学生小组讨论，教师巡视倾听。

4.集体汇报，分享发现：

1.5.预设发现一：每个数的因数都有1。（教师：1是所有非零自然数的最小因数。）

2.6.预设发现二：每个数的因数都有它自己。（教师：一个数本身是它的最大因数。）

3.7.预设发现三：因数的个数不一样多，有的是奇数个（如1，4，9，16），有的是偶数个（如12，18，20）。

4.8.预设发现四：像4，9，16这样的数，它们的因数中，中间有一个“孤单”的（2×2=4，3×3=9，4×4=16），所以总个数是奇数。

5.9.预设发现五：一个数的因数总是成对出现的，除非它是完全平方数（如4，9，16），中间那个因数只出现一次。

10.教师总结与提升：

1.11.师：同学们的发现非常精彩！我们知道了每个数因数的个数是有限的，最小是1，最大是它本身。因数的个数和特点，还与这个数本身的特点有关。关于因数个数更深的秘密，我们将在下一节课“质数与合数”中继续探索。

（设计意图：此环节是认知的深化与拓展。引导学生从“会找”上升到“会观察、会发现”，通过对多个实例的横向比较，归纳出关于因数的普遍性结论。这些发现不是教师灌输的，而是学生自主探究得出的，印象更深，理解更透。同时，这些规律也为后续学习质数、合数、完全平方数等概念提供了丰富的感性材料和认知铺垫，体现了单元整体教学的连贯性。）

（五）分层应用，巩固拓展，灵活运用（预计用时：4分钟）

1.基础应用（全员完成）：

1.2.完成学习任务单上的基础练习题：找出24和30的所有因数。

2.3.判断：①8的因数有1，2，4，8。（）

②15的因数有3和5。（）

③1是17的因数。（）

4.综合应用（学有余力者完成）：

1.5.一个长方形花坛的面积是28平方米，而且长和宽的长度都是整米数。这个花坛的长和宽可能是多少米？一共有几种不同的设计方案？（将28的所有因数成对作为长和宽。）

2.6.我是“因数小侦探”：一个数既是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？（此题综合因数与倍数的知识，引导学生找出40的因数：1,2,4,5,8,10,20,40，再从其中筛选出5的倍数：5,10,20,40。）

（设计意图：设计层次分明、形式多样的练习。基础题确保全体学生掌握核心技能。综合应用题将数学问题回归生活情境，并尝试进行简单的知识融合（因数与倍数），满足学有余力学生的需求，发展其综合运用知识解决问题的能力。）

（六）回顾反思，总结升华，布置作业（预计用时：1分钟）

1.回顾总结：

1.2.师：通过今天的学习，你有哪些收获？在“找因数”的过程中，最关键的是什么？（有序思考）

2.3.学生自由发言，分享学习心得。

3.4.教师用思维导图的形式，简要回顾本课知识脉络：从生活问题出发，通过动手操作（形）理解因数的意义，再抽象出有序找因数的方法（数），最后观察发现因数的规律。贯穿始终的是“有序思考”和“数形结合”的思想。

5.布置作业：

1.6.必做题：数学书对应练习题。

2.7.选做题（实践探究）：

a.回家考考爸爸妈妈：请他们随口说一个不太大的数（如36以内），你快速说出它的所有因数，并告诉他们你是怎么做到又对又快的。

b.探究“完美数”：一个数如果恰好等于它除了本身以外的所有因数之和，这个数就叫“完美数”。例如6的因数有1，2，3，6，除去本身6，1+2+3=6。你能找到下一个这样的“完美数”吗？（提示：在30以内寻找）通过查阅资料，了解“完美数”的奇妙世界。

（设计意图：引导学生从知识、方法、思想等多维度进行课堂小结，构建完整的认知结构。作业设计体现基础性、实践性和拓展性，选做题引入数学文化（完美数），激发学生的好奇心和课外探究欲望，让学习从课内延伸到课外。）

八、板书设计

探索因数的奥秘

——找因数

拼长方形→找因数（数形结合）

12的因数：1，2，3，4，6，12

有序找因数的方法：

想乘法：1×16=16

2×8=16

4×4=16（停止）

想除法：16÷1=16

16÷2=8

16÷3=5…1（否）

16÷4=4（停止）

策略口诀：有序找，不犯难，从1开始乘或除，

成双成对记清楚，试到相近或重复，所有因数全找出。

我的发现：

1.最小因数是1，最大因数是它本身。

2.因数个数是有限的。

3.因数是成对出现的。

九、教学反思与评价设计

（一）教学反思预析

本设计力求体现学生主体、教师主导的理念，通过“问题情境—操作探究—抽象建模—应用拓展”的主线展开教学。预期的亮点在于：1.情境创设真实有效，贯穿始终；2.操作活动设计巧妙，为抽象概念提供了强有力的直观支撑；3.方法提炼过程细致，注重思维策略的显性化教学（如有序思考的步骤与边界）；4.注重知识间的联系与生长，为后续学习搭好阶梯。

需要在实际教学中关注的是：1.小组合作的有效性，确保每位学生都能参与操作与思考；2.对“有序思考”策略的理解深