矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判定

一•填空题

1.如图，矩形ABCD中，NABC的平分线交AD边于点E,点F是CD的中点，连接EF.若AB=8,

且EF平分NBED,则AD的长为.

题1题3题4

2.若矩形的一条对角线及一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是.

3.如图，在矩形ABCD中,AB二口，E是BC的中点,AEJ_BD于点F,则CF的长是.

4.如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM,过点D作DE_LAM,垂足为E.若

DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为

5.如图，在矩形ABCD中，ZABC的平分线交AD于点E,连接CE.若BC=7,AE=4则

CE=

题5题6题7

6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC.BD相交于点。，点E、F分别是AO、AD的中点，若

AB=6cm,BC=8cm,则EF=cm.

7.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH,还要添加条件，才能保证

四边形EFGH是矩形.

8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,且A0=CO,B0=DO,要使四边形ABCD

9.已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件

为

10.木匠做一个矩形木框，长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框

（填“合格”或“不合格”）

11.如图，在四边形ABCD中，已知AB〃DC.AB=DC,在不添加任何辅助线的情况下，请补

充一个条件，使四边形AECD成为矩形，这个条件是

12.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E,使DE二AD,连接EB,EC,DB请你添加一

个条件，使四边形DBCE是矩形.

解答题

13.如图，在oABCD中，NBAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE.Z

F=45°.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若AB=14,DE=8,求sinNAEB的值.

14.如图，AD是等腰4ABC底边BC上的高.点。是AC中点，延长DO到E,使0E=0D,连接

AE,CE.

(1)求证：四边形ADCE的是矩形；

(2)若AB=17,BC=16,求四边形ADCE的面积.

15.如图，四边形ABCD中，AB〃DC.NB=90°,F为DC上一点，且FC=AB,E为AD上一点，

EC交AF于点G.

(1)求证：四边形ABCF是矩形；

(2)若EA=EG,求证：ED=EC.

16.如图，在。ABCD中，AE_LBC于点E点，延长BC至F点使CF=BE.连接AF,DE,DF.

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.

17.平行四边形ABCD中，过点D作DEJ_AB于点E,点F在CD上，CF二AE,连接BF,AF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若AF平分NBAD,且AE=3,DE=4,求矩形BFDE的面积.

矩形的性质和判定解析

一.填空题（共12小题）

1.如图，矩形ABCD中，NABC的平分线交AD边于点E,点F是CD的中点，连接EF.若AB=8,

且EF平分NBED,则AD的长为12.

【分析】根据两直线平行，内错角相等求出NAEB二NEBG再求出NABE=NEBC,根据等角对

等边可得AE=AB,然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解.

【解答】解：•.•矩形ABCD中，

.-.AD/7BC,

AZAEB=ZEBC,

VZABC的平分线交AD边于点E,

/.ZABE=ZEBC.

ZABE=ZAEB.

/.AB=AE=8,

同理得出ED=DF=0DC=4,

「.AD=AE+ED=8+4=12,

故答案为：12.

2.若矩形的一条对角线及一边的夹角是的°,则两条对角线相交所成的锐角是80。.

【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即

可.

【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对

等角，所以另一底角为4。°,

两条对角线相交所成的钝角为：180°-40°X2=100°

故它们所成锐角为.180°-100°=80°.

3.如图，在矩形ABCD中AB二口，上是BC的中点，Al:_LBD于点匕则CI■的长是口

【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到NABE=NBAD=90°,根据余角的性质得到NBAE二N

ADB,根据相似三角形的性质得到BE=1,求得BC=2,根据勾股定理得到AE二匚二口，

BD二口二口，根据三角形的面积公式得到BF二口二口，过F作FG_LBC于G.根据相似三角形的

性质得到CG二口，根据勾段定理即可得到结论.

【解答】解：:四边形AECD是矩形，

ZABE=ZBAD=90°,

VAE±BD,

/.ZAFB=90°,

ZBAF+ZABD=ZABD+ZADB=90°,

ZBAE=ZADB,

/.△ABE^AADB,

.ADAB

••瓦而

•••E是BC的中点,

.-.AD=2BE,

.-.2BE2=AB2=2,

」.BE，

二.BC=2,

.•.AE=n=n,BD=n=n,

.-.BF=n=n,

过F作FG_LBC于G,

.,.FG/7CD,

.".△BFG^ABDC,

.,.FG=n,BG=口，

•,.CG二口，

.•.cF=n=n.

故答案为：口.

4.如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM,过点D作DE_LAM,垂足为E.若

DERC=d,AE=2EM,则BM的长为口.

【分析】由AAS证明△ABMgZiDEA,得出AM=AD,证出BC=AD=3EM,连接DM,由HL证明Rt

△DEM^RtADCM,得出E2CM,因此BC=3CM,设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,在RtzXABM

中.由勾股定理得出方程.解方程即可.

【解答】解：.••四边形AECD是矩形，

.,.AB=DC=1,ZB=ZC=90°,AD/7BC,AD=BC,

AZAMB=ZDAE,

「DE二DC,

.,.AB=DE,

VDEXAM.

/.ZDEA=ZDEM=90°,

在AABM和ADEA中，口，

.,.△ABM^ADEA(AAS),

「.AM二AD,

,/AE=2EM.

/.BC=AD=3EM,

连接DM,如图所示：

在RtaDEM和RtZ\DCM中,口，

/.RtADEM^RtADCM(HL),

「.EM二CM,

.■.BC=3CM,

设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x.

在Rt^ABM中，由勾股定理得：12+(2x)2=(3x)2,

解得：x二口，

「.BM=>5^；

5

故答案为：口.

5.如图，在矩形ABCD中，NABC的平分线交AD于点E,连接CE.若BC二7,AE=4,则CE二

5.

【分析】首先证明AB二AERD二4,在RtZkCED中，根据CE二口计算即可.

【解答】解：.・•四边形AECD是矩形，

/.AD/7BC,AB=CD,BC=AD=7,ND=90°,

ZAEB=ZEBC,

*/ZABE=ZEBC,

.,.AB=AE=CD=4,

在RtZkEDC中，CE=D=n=5.

故答案为5

6.如图，在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点。，点E、F分别是AO、AD的中点，若

AB=6cm,BC=8cm,则EF=2.5cm.

【分析】根据勾股定理求出AC,根据矩形性质得出NABC=9(T,BD=AC,B0=0D,求出BD.0D,

根据三角形中位线求出即可.

【解答】解：..•四边形AECD是矩形，

/.ZABC=90°,BD=AC,BO=OD,

'."AB=6cm,BC=8cm,

.••由勾股定理得：BD=AC=O=10(cm),

.■.D0=5cm,

•・•点、E、F分别是AO、AD的中点，

/.EF=nOD=2.5cm.

故答案为：2.5.

7.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH,还要添加AC±BD条件，才能

保证四边形EFGH是矩形.

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG〃BD,EH#AC,根据平行线的性质NEHG二

N1,Z1=Z2,根据矩形的四个角都是直角，NEFG=90°,所以/2=90°,因此AC_LBD.

【解答】解：TG、H、E分别是BC.CD.AD的中点，

/.HG/7BD.EH/7AC,

/.ZEHG=Z1,Z1=Z2,

/.Z2=ZEHG,

•••四边形EFGH是矩形，

/.ZEHG=90°,

AZ2=90°,

.-.AC±BD.

故还要添加AC_LBD,才能保证四边形EFGH是矩形.

8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC.BD相交于点0.且A0=CO,B0=DO,要使四边形ABCD

为矩形，则需添加的条件为NDAB=90°（填一个即可）.

【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添

加条件NDAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.

【解答】解：可以添加条件NDAB二90°,

'.,AO=CO,B0=DO,

四边形ABCD是平行四边形，

ZDAB=90<>,

二.四边形ABCD是矩形，

故答案为：ZDAB=90°.

9.已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为

NBAD=90°

【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可.

【解答】解：:四边形AECD是平行四边形，NBAD=90°.

二.四边形ABCD是矩形，

故答案为：NBAD=90°（答案不唯一）.

10.木匠做一个矩形木框.长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框合

格（填“合格”或“不合格”）

【分析】只要算出桌面的长及宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对

角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直

角的四边形是矩形，可得比桌面合格.

【解答】解：解：•「802+602=10000=1002,

即:AD2+DC2=AC2,

ZD=90°,

同理：ZB=ZBCD=90°.

二四边形ABCD是矩形，

故答案为合格.

11.如图，在四边形ABCD中，已知AB〃DC,AB二DC,在不添加任何辅助线的情况下，请补

充一个条件，使四边形AECD成为矩形，这个条件是NA=90°.

AD

BC

【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题.

【解答】解：TAB"DC,AB=DC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

.•.当NA=90°时，四边形ABCD是平行四边形.

故答案为NA=90°.（填NB=90°或NC=90°或ND=90°也可以）

12.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一

个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形.

【解答】解：添加EB二DC.埋由如下:

•••四边形ABCD是平行四边形，

.,.AD//BC,且AD=BC,

/.DE/7BC,

y.*DE=AD,

.,.DE=BC,

•••四边形DBCE为平行四边形.

又TEB=DC,

二四边形DBCE是矩形.

故答案是：EB=DC.

二.解答题（共6小题）

13.如图,在。ABCD中，NBAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE,Z

F=45°.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AB=14,DE=8,求sinNAEB的值.

【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知NDAB是直角；

（2）如图，过点B作BH_LAE于点H.构建直角△BEH.通过解该直角三角形可以求得sin

NAEB的值.在RtZkBCE中,由勾股定理得口.在RtZkAHB中，BH=AB«sin45°=7{J.所以

通过解RtZ\BHE得到：sinNAEB二□.

【解答】（1）证明：二•四边形ABCD是平行四边形，

.,.AD//BC.

/.ZDAF=ZF.

•「NF=45°,

.•・NDAE=45°.

TAF是NBAD的平分线.

/.ZEAB=ZDAE=45°.

/.ZDAB=90°.

又四边形ABCD是平行四边形，

二.四边形ABCD是矩形.

（2）解：如凰过点B作于点H.

•••四边形ABCD是矩形，

「.AB=CD,AD=BC,ZDCB=ZD=90°.

TAB=14,DE=8,

,*.CE=6.

在Rt^ADE中，ZDAE=459,

/.ZDEA=ZDAE=45°.

/.AD=DE=8.

.'.BC=8.

在RtZ\BCE中，由勾股定理得口.

在RtZXAHB中，NHAB=45‘，

sin450=7Q.

•・•在Rtz^BHE中.ZBHE=90°.

「.sinNAEB二二I.

14.如图，AD是等腰4ABC底边BC上的高•点0是AC中点，延长DO到E,使OE=OD,连接

AE.CE.

（1）求证：四边形ADCE的是矩形；

（2）若AB=17,BC=16,求四边形ADCE的面积.

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出N

ADC=90°,根据矩形的判定得出即可；

（2）求出DC,根据勾股定理求出AD,根据矩形的面积公式求出即可.

【解答】（D证明・•・•点。是AC中点，

.,.AO=OC,

,/OE=OD,

二.四边形ADCE是平行四边形，

VAD是等腰4ABC底边BC上的高，

NADC=90°,

二.四边形ADCE是矩形；

(2)解：AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16,AB=17,

」.BD二CD二8,AB二AC二17,/ADC=90°,

由勾股定理得：AD=n=n=i5,

四边形ADCE的面积是ADXDC=15X8=120.

15.如图，四边形ABCD中，AB/7DC,NB=90°,F为DC上一点，且FC=AB,E为AD上一点,

EC交AF于点G.

(1)求证：四边形ABCF是矩形；

(2)若EA=EG,求证:ED=EC.

【分析】(1)由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由NB=900可证得结论；

(2)利用等腰三角形的性质可求得NEAG二NEGA二NFGC.再利用直角三角形的性质可求得N

D=ZECD.可证得ED=EC.

【解答】证明：

(1)VAB/7CD,且FC=AE,

二•四边形ABCF为平行四边形，

VZB=90°,

二.四边形ABCF是矩形；

(2)•/EA=EG,

/.ZEAG=ZEGA=ZFGC,

二•四边形ABCF为矩形，

/.ZAFC=ZAFD=90°,

ZD+ZDAF=ZFGC+ZECD=90°,

ZD=ZECD,

.-.ED=EC.

16.如图，在口ABCD中，AE_LBC于点E点，延长BC至F点使CF=BE.连接AF.DE,DF.

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.

【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明NAEF=90°即可.

（2）证明aABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长.

【解答】（1）证明：・・・CF=BE,

「.CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

二在。ABCD中，AD〃BC且AD=BC,

「・AD〃EF且AD=EF.

四边形AEFD是平行四边形.

•••AE±BC,

/.ZAEF=90°.

..•四边形AEFD是矩形；

（2）解：•••四边形AEFD是矩形，DE=8,

.*.AF=DE=8.

,/AB=6,BF=1O,

.'.AB2+AF2=62+82=100=BF2.

/.ZBAF=90°.

•••AE±BFt

「.△ABF的面积二（Z]AB-AF=DBF-