离散型随机变量及其分布列（六大题型）

7.2离散型随机变量及其分布列

【题型归纳目录】

题型一：随机变量的概念

题型二：离散型随机变量的判断

题型三：用随机变量表示事件的结果

题型四：求离散型随机变量的分布列

题型五：分布列的性质及其应用

题型六：两点分布

【知识点梳理】

1、随机变量

随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件.

定义：一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点①，都有唯一的实数x

（公）与之对应，我们称x为随机变量.

2、离散型随机变量

可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常

用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.

3、随机变量和函数的关系

随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点外相当于函数定义中的自变量,

而样本空间Q相当于函数的定义域，不同之处在于Q不一定是数集.

4、离散型随机变量的分布列

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和

（1）离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为内，也，…，*，我们称X取每一个值

斯的概率P（X=%）=〃,”=1,2,〃为X的概率分布列，简称为分布列.

（2）可以用表格来表示X的分布列，如下表

Xx\X2♦・♦Xi•・•Xn

PPi“2•••Pi•••P〃

还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列,

3、离散型随机变吊:的分。列的性质

(1)Pi>0,z=1,2,...,/?；

(2)Pi+〃2+.••+〃”=1.

6、两点分布

对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，不表示“失败”，定义

IA发牛

X=\'一广］如果P(A)=〃，则P(X)=1-〃，那么X的分布列如表所示

0,A发生.

X01

P1-PP

我们称X服从两点分布或0—1分布.

【典型例题】

题型一：随机变量的概念

【方法技巧与总结】

解答此类题目的关键在丁分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质

上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪

一个结果发生，随机变量取哪一个值.

例1.(2023・陕西•渭南市华州区咸林中学高二期中(理))袋中有3个白球、5个黑球,

从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是().

A.至少取到I个白球B.至多取到I个白球

C.取到白球的个数D.取到球的个数

【答案】C

【解析】选项4,4是随机事件；选项。是定值2；选项C可能的取值为0,1,2,可

以用随机变量表示.

故选：C.

例2.(2023•全国•高二课时练习)将一枚质地均匀的骰子掷两次，下列选项可作为此次

试验的随机变量的是()

A.第一次出现的点数B,第二次出现的点数

C.两次出现的点数之和D.两次出现相同点的种数

【答案】C

【解析】由随机变量的定义知，将一枚质地均匀的骰子掷两次，两次出现的点数之和可

作为此次试验的随机变量.

故选：C.

题型二：离散型随机变量的判断

【方法技巧与总结】

判断离散型随机变量的方法

（1）明确随机试验的所有可能结果.

（2）将随机试验的结果数量化.

（3）确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离

散型随机变量，否则不是.

例3.（2023•北京•高二期末）下面给出的四个随机变显中是离散型随机变量的为（）

①高速公路卜某收费站在半小时内经过的车辆数X/

②一个沿直线），=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离；

X2

③某同学射击3次，命中的次数X/

④某电子元件的寿命X4；

A.①②B.®®C.①®D.②④

【答案】C

【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量;

对于②，沿直线y=2工进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，

故②不是离散型随机变量；

对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；

对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；

故选：C.

例4.（2023•黑龙江・哈尔滨三中高二期中）下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数f：

②一个沿直线），=2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置小

③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；

④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离匕

其中是离散型随机变量的为（）

A.①②B.（3）@C.①@D.②④

【答案】C

【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变晶；

对于②，沿直线），=匕进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，

②不是离散型随机变量；

对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变最；

对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举

出来，④不是离散型随机变量，

所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.

所以取球次数可以是1,2,3,…，7.

故选:B.

变式1.（2023・全国•高二课时练习）一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验,

打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（）

A.6B.5C.4D.2

【答案】B

【解析】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，

故选：B.

变式2.（2023・全国•高二课时练习）抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷

出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（）

A.0<X<5,XGNB.-5<X<0,X^Z

C.1<X<6,X£ND.-5<X<5,XGZ

【答案】。

【解析】第枚的最小值为1，笫二枚的最大值为6,差为-5

第一枚的最大值为6,第二枚的最小值为1，差为5

故X的取值范围是-5WX45,XeZ

故选：D.

题型四：求离散型随机变量的分布列

【方法技巧与总结】

求离散型随机变量分布列的步骤

（I）首先确定随机变量X的取值；

（2）求出每个取值对应的概率；

（3）列表对应，即为分布列.

例8.（2023・全国•高二课时练习）某机构对于某地区的10000户家庭的年可支配收入的

调查中，获得如下的统计数据：60%的家庭将年可支配收入用来购买银行结构性存款，20%

的家庭将年可支配收入存入银行，其余家庭将年可支配收入用于风险投资.已知银行结构性

存款获得的年收益率为5%的概率为95%,获得的年收益率为-2%的概率为5%,存入银行的

年收益率为2%,风险投资的平均年收益率为3%.把频率当作概率，假设该地区的每户家

庭的年可支配收入均为1。万元.

（1）求这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率；

（2）每户家庭获得的年收益为X万元，求X的分行列.

【解析】（1）由已知得，这些家庭将年可支配收入不存入银行的概率为l-20%=8C%.

（2）由已知得，X的可能取值为65%=0.5,l°x（—2%）=-0.2,i0x2%=0.2,

IOx3%=O.3,

P(X=().5)=60%x95%=0.57,

P(X=-0.2)=60%x5%=0.03,

P(X=0.2)=20%=0.2,

p(X=0.3)=l-60%-20%=20%=0.2,

例9.（2023•全国•高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为

（2）求的分布列.

【解析】（1）由题意，知3X+2的可能取值为2,5,8,II,14,

3X+2的分布夕1］为

3X一2211

58

14

00000

P

.2.1.1.3.3

（2）由题意，知|X-1|的可能取值为0,1,2,3,

・・・|x-i|的分布列为

T（）

1x123

P0000

.1.3.3.3

例10.（2023・全国•高二专题练习）明初出现了一大批杰出的骑兵将领，比如徐达、常

遇春、李文忠、蓝玉和朱悚.明初骑兵军团击败了不可一世的蒙古骑兵，是当时世界上最强

骑兵军团.假设在明军与元军的某次战役中，明军有8位将领，善用骑兵的将领有5人；元

军有8位将领，善用特兵的有4人.

（1）现从明军将领中随机选取4名将领，求至多有3名是善用骑兵的将领的概率；

（2）在明军和元军的将领中各随机选取2人，X为善用骑兵的将领的人数，写出X的

分布列，并求EX.

【解析】（1）设从明军将领中随机选取4名将领，则有4名是善用骑兵的将领的概率为

「名j，

以7014

故从明军将领中随机选取4名将领，至多有3名是善用骑兵的将领的概率为

八，113

P=I-----=—.

1414

（2）由题意知,X=0,1,2,3,4,

C2一9

贝”（x=0）=

C；C~~392,

C*+CCC=69

P（X=\）=

392

C；C；C：C：+C；然+C；C：159

P（X=2）

392

C；C：C：+C；C；C：二125

（）

PX=3=C/♦砺

P（X=4）=ff嗖喂,

所以X的分布列为

C123

969592515

•92：92：92:9296

,69r159,125/309

EX=lx-----+2x-----+3x-----+4x-----=—

3923923923924

变式3.（2023秋・北京・高二北京八中校考期末）学校游园活动有这样一个游戏项目:甲

箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.

每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.（每次游戏结

束后将球放回原箱）

（1）求在1次游戏中，

①摸出3个白球的概率；

②获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.

c；c\

【解析】(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i=0』,2,3),则P(A3)=——■—-

C；C；

~~5'

②设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=A2UA3,又

P(A2)=g,且A2,A3互斥，所以P(B)=P(A2)+P(A3)=3V

C5C3510

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,

f,72=2

P(X=0)=1---———，

Iioj100

所以X的分布列是

X012

92149

P

loo50loo

921497

X的数学期望E(X)=0X上—+1X3+2X±=2.

100501005

题型五：分布列的性质及其应用

【方法技巧与总结】

离散型随机变量的分布列的性质的应用

⑴通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列.

⑵求对立事件的概率或判断某概率是否成立.

例11.(2023・全国•高二课时练习)设X是一个离散随机变量，其分布列为：

X-101

P「q-q‘

2q

则实数，/的值为

【答案邛

【解析】由离散型随机变量分布列的性质，知;+1-夕+q-/=1,故4?=:,

因为4>0,解得q=率.

故答案为：变

2

例12.(2023•全国•高二专题练习)设离散型随机变量X的概率分布为P(X=%)=：,

k=l,2,3,4,5.求£(H+4X+4),D(2X-1).

【解析】E(X)=lxl+2xl+3xl+4xl+5xl=3,

55555

E(X2)=l2x-+22xl+32xl+42xi4-52xl=l1,

')55555

D(X)=(l-3)2x-!-+|2-3)2x-+(3-3)2x-4-(4-3|2x-4-(5-3)2x-=2,

55555

E(X2+4X+4)=£(X2)+4E(X)+4=11+4X3+4=27,

D(2X-l)=4D(X)=8.

例13.(2023・全国•高二专题练习)随机变量X的分布列如下表，则E(5X+4)等于

()

X024

P

A.16B.11

C.D.

【答案】A

【解析】由表格可求E（X）=0x0.3+2x0.2+4x0.5=2.4,故

E（5X+4）=5E（X）+4=5x2.4+4=16,故选A.

变式4.（2023•全国•高二专题练习）已知随机变量A和〃,其中，7=12/+7.日Ei]=34,

若4的分布列如下表，则优的值为（）

1234

1

Pmn

412

【答案】A

9

【解析】〃=124+7且切=34,则=：

4

119

即E^=lx-+2/?i+3n+4x—=

11,

412

解得吁；

故答案选A

题型六：两点分布

【方法技巧与总结】

两点分布的4个特点

(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的：

(2)两点分布中的两结果一个对应I,另一个对应0；

(3)由互斥事件的概率求法可知，已知尸(X=O)(或P(X=1)),便可求出尸(X=l)

(或P(X=0))；

(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利

用两点分布来研究它.

例14.(2023•全国•高二专题练习)已知随机变量X服从两点分布，且P(X=l)=0.4,

设J=2X—3,那么£(4)=.

【答案】一2.2

【解析】£(X)=lx0.4+0x(l-0.4)=0.4,E(J)=2E(X)-3=-2.2

故答案为：-2.2

例15.(2023・重庆市鹭山来风中学校高二阶段练习)已知6名某疾病病毒密切接触者中

有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的

即为感染者，呈阴性即为健康.

(1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；

(2)血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若

干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，

则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.

(/)采取逐一化验，求所需检验次数J的数学期望；

(")采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，依据所需化验总次数的期望，选

择合理的平均分组方案.

【解析】(I)从这6名密切接触者中随机抽取3名，共有C：种，

抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有

故抽到感染者的概率

J2

（2）（/）4的可能取值是1,2,3,4,5,且分布列如下：

（”）首先考虑（3,3）分组，所需化验次数为〃，〃的可能取值是2,3,

「（片2）=%=[p（片3）=*=；

535J

分布列如下:

93

\_2

P

33

再考虑（2,2,2）分组，所需化验次数为5,5的可能取值是2,3,

P（82）=*=g'尸何=3）=*=|

C/八JC/八J

分布列如下:

623

2

P

33

''3

所以按（2,2,2）或（3,3）分组进行化验均可.

例16.（2023・全国•高三课时练习）某保险公司针时一个拥有20000人的企业推出一款

意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险

公司把企业的所有岗位共分为A、B、。三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000、

6000.2000,由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：

工种类

ABC

别

赔付频121

7

率nFTo荷

已知A、B、。三类工才冲职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿

金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此业务的过程中固定支出每年

10万元.

(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；

(2)现有如下两个方案供企业选择：

方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供

的等额赔偿金赔偿付给出意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元：

方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%,职工个人负责30%,出险后

赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.

根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.

【解析】(1)设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、八Z,

则x、y、z的分布列为：

X2525-lOOxlO4

1

p1--

105方

Y2525-lOOxlO4

1-马2

P

105有

Z4040-50x104

1

P1--

104

：.E(X)=25x(1一看)+(25-100x1()4)x-^=15,

22

E(Y)=25x(1------)+(25-100x1()4)—=5,

1-105x105

E(Z)=40x(1--^-)+(40-50XI04)x-A-=-10,

保险公司的利润的期望值为12000x15+6000x5-2000x10-100000=90000,

・•・保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元.

(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为:

1?I

12。。。＞＜1。。＞＜1。仪万-6000＞＜侬＞＜"方+2皿5。＞＜心方+3。­6＞＜叱

方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为:

(12000x25+6000x25+2000x40)xQ.7=37.IxlO4,

46X104＞37.IxlO4,

建议企业选择方案2.

变式5.(2023・全国•高二专题练习)若随机变量X服从两点分布，且成功概率尸=0.5,

则D(X)=,E(X)=.

【答案】().250.5

【解析】。(X)=0.5X0.5=0.25,E(X)=0.5.

【同步练习】

一、单选题

1.(2023・全国•高三专题练习)某射击运动员射击一次所得环数4的分布列如下表所示.

445678910

Pa

则，值＞6)=()

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由题意0.03+0.05+0.07+0.08+0.26+4+0.23=1,解得a=0.28.

＞6)=P也=7)+P©=8)+P«=9)+P(g=1())=0.08+0.26+0.28+0.23=0.85.

故选：C

2.(2023・全国•高三专题练习)若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且

P(X=l)=p,4-5P(X=0)=p,则〃=()

A乙B—C-D—

A.3比2丁34

【答案】D

【解析】因为X的分布列服从两点分布，所以P(X=O)+P(X=1)=1,

由p(x=1)=〃,4—5P(X=0)=〃，

所以4_5[l_P(X=l)]=p,所以"二；,

故选：D

3.(2023•全国高二专题练习)若随机变量丫的分布列如下表，则当打入“为另时，实数

%的取值范围是()

3

A.x<2B.1<x<2C.\<x<2D.1<x<2

【答案】D

【解析】由题表得p(y=—2)+p(y=-i)+p(y=o)+p(y=i)=o.8,

则l<x42.

故选：D

c

4.（2023・全国•高二专题练习）设随机变量4的分布列为P（S=A）=市而，k=T、2、3,

5

其中。为常数，则)

【答案】D

【解析】由已知可得P(g=l)+P(0=2)+P(J=3)=1±+±+±[c=]c=lJ"C=：,

<1xXzxjjxq，43

因此,也《翡尸（小）+尸（”2）4岛十点4.

故选：D.

5.（2023・全国•高二专题练习）下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是（）

X-2024

P0

C.

X123

2

P_1_

-323

D.

X123

P1g1也2】g5

【答案】C

【解析】对于ABD,满足尸(X=i)20,且概率和为0,符合；

对于C,尸(X=l)v0不符合P(X=i)20,也不符合?(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,所

以C项不是随机变量的分布列.

故选：C

6.(2023秋・辽宁•高二辽河油田第二高级中学校考期末)若离散型随机变量X的分布列为

X01

P6a'-a3-7。

I?21

则常数〃的值为()A.3B.|C..或:D.I或

2

3

【答案】A

【解析】由随机变量的分布列的性质知，

\)<6a2-a<\

<0<3-7a<\

6a2-a+3-la=\

1

a=一,

3

故选：A.

7.(2023・高二课时练习)袋中装有1()个红球,5个黑球，每次随机抽取•个球，若取到黑球，则

放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X,则表示“放入袋中5回小球”的事件为()

A.X=4B.X=5

C.X=6D.X<4

【答案】C

【解析】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所有“放入袋

中5回小球”也即是前5次都是抽到黑球，第六次抽到了红球，故X=6,所以选C.

8.(2023・高二课时练习)10件产品中有3件次品，从中任取2件,可作为随机变量的是

A.取到产品的件数B.取到正品的概率

C.取到次品的件数D.取到次品的概率

【答案】C

【解析】逐一考查所给的选项：

A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，

反。中的量也是一个定值，

而C中取到次品的件数可能是012是随机变量.

本题选择C选项.

二、多选题

9.（2023・全国•高三专题练习）设离散型随机变量4的分布列如下表所示:

-10123

112

P

io51055

24

则下列各式不正确的是()A.P(e<3)=yB.

C.P(2<^<4)=|D.尸(CV0.5)=0

【答案】ABD

【解析】尸+；+]+:=1A错误；

*J1V/VU

123

P（^>l）=-+-=-,B错误；

JJ■）

2

?（2<e<4）=?（<=3）=-C正确；

J；

113

尸（。<0.5）=正+g=历，D错误.

故选：ABD.

10.（2023・全国•高三专题练习）己知8件产品中有1件次品，从中任取3件，取到次品的件

数为随机变量看，那么g的可能取值为（）

A.0B.1C.2D.8

【答案】AB

【解析】由题可知4的可能取值为0,I.

故选：AB.

11.（2023•全国•高二专题练习）下列选项中的随机变星服从两点分布的是（）.

A.抛掷一枚骰子，所得点数X

B.某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分，射手的得分X

C.从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{X=l}="取出白球"，{X=0}=

“取出红球”

D.某医生做一次手术，手术成功的次数X

【答案】CD

【解析】两点分布又叫0-1分布，试验结果只有两个，并且随机变量的取值只有0,I两个，

C,D满足题意；

抛掷一枚骰子，所得点数X可能的结果为1,2,3,4,5,6,共6个，不是两点分布，A

不满足题意；

某射手射击一次的试验结果有两个，但随机变量X的取直是0,2,B不满足题意.

故选：CD

12.（2023•全国•高二专题练习）下列变量中，是离散型随机变量的是（）.

A.某机场明年5月1FI运送乘客的数量

B.某办公室一天中接到日话的次数

C.某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数

D.一瓶净含量为500±2mL的果汁的容量

【答案】ABC

【解析】某机场明年5月I日运送乘客的数量可能为0,I,2,3,…，是随机变化的，而

且可以一一列出，足离散型随机变量，故A正确；

某办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2,3,…，是随机变化的，而且可以一一列

出，是离散型随机变量，故B正确：

某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数可能为0,1,2,3,…，是随

机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故C正确：

果汁的容量在498mL〜502mL之间波动，虽然是随机变最，但不能一一列出，不是离敦型

随机变量，故D错误.

故选:ABC.

三、填空题

7

13.（2023•云南曲靖•统考一模）已知随机变量X8（2,p）,若0（X21）=二,则〃=____.

16

【答案】7

【解析】已知X〜8（2,p）,

则P（X>1）=C；〃。一〃）+（1一〃）°=2〃一后,

717

/.2p-p2,解得，=7或〃（因为OVpVl,故舍去）.

1644

故答案为：7.

4

14.（2023•高二课时练习；离散型随机变量X的概率分布规律为P（X=&）=成刁，

A:=1,2,3,4,5,6,其中a是常数，则?（g<X<4）=

【答案】

O

【解析】因为P（x=A）=n为，

A=123,4.5,6,

aaaaaa.

所rri以u一+—+—+—+—+—=1,

2612203042

所以〃=

6

所以P（；vX<4）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）

故答案为：

O

15.（2023・高二课时练习）已知卜.列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量％；②

某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数X?；③某一天中长江的水位X3；④某次大型车

展中销售汽车的数量X-其中，所有离散型随机变量的序号为.

【答案】①②④

（解析】①②④中的随机变量可能的取值可以按照一定次序一一列出，

因此，它们都是离散型随机变量；

③中的X3可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，

故其不是离散型随机变量.

故答案为：①②④.

16.（2023・全国•高三专题练习）随机变量4的分布列如下:

-101

Pabc

其中小b,c成等差数列，则户（e=1）=,公差d的取值范围是.

【答案】I2rill

【解析】因为。力"成等差数列，所以助=a+c,

又由分布列的性质，可得a+〃+c=l,所以b=

?

所以P(团=l)=a+c=§

根据分布列的性质，wo<i-1j<24fio<1i+2j<4,解得一I：sdKI：,

333333

即公差d的取值范围是.

故答案为：I；1.

四、解答题

17.(2023•甘肃兰州・兰州五十九中校考模拟预测)为创是国家级文明城市，某城市号召出租

车司机在高考期间至少进行•次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行

“爱心送考”的次数统计如图所示.

,参加人数

100...........1-1

80

60

40

20zn

°123送考次数

(I)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；

⑵从这2。0名司机中住选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X

的分布列.

【解析】(1)由统计图，得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考

3次的有80人，

所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为母：：+80x3=.

(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件4,“这

两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件6,“这两人中一人送考1次，另一人送考3

次”为事件C”这两人送考次数相同''为事件。，

由题意知X的所有可能取值为0,I,2,则

P(X=0)=P(D)=

"=2）=m）=萼=瑞.

°200I，”

所以X的分布列为

X012

8310016

P

m199199

IX.（2023秋.湖南长沙.高二湖南师大附中校考阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛,经过以

往的比赛分析，甲乙对阵吐若甲发球，则甲得分的概率为、若乙发球，则甲得分的概率为，该

JJ

局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球.

⑴求在前4球中，甲领先的概率；

⑵12球过后，双方战平（6:6）,已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜

2分及以上）.设净胜分为X（甲，乙的得分之差），求X的分布列.

33111

【解析】（1）甲与乙的比分是4:0的概率为

JUDD/J

r八He,川而3211c332116

比分是3:1的概率为

故前4球中，甲领先的概率P=导,=共

（2）依题意，接卜.来由甲先发球.继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲11:6或11:8获胜,

即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5:0或5:2,且最后一球均为甲获胜.

记比分为5:0为事件A,则

n3_3

X-

3>5l25

记比分为5:2为事件8,即前6场比赛中，乙获胜两场，期「瓦甲发球4次，乙发球两次

32\(23I52

P(8)=C：x+C?xx+C；x|x图xC；x|*亍市故甲依

5<5<3<3<5

题意获胜的概率为右十卷=黑

X的所有可能取值为3,5

由条件概率有J（X=3）=而，尸（X=5）=而，故X的分布列为

19.(2023•辽宁沈阳•统考一模)2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔

赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负.已知本次比

赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定:①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，

同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各

自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金.已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为

黄政/孙艺羸的概率为1-〃，且每场比赛相互独立.

(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇姐合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行

且韩菲/陈宇组合描得全部奖金的概率/’(〃)；

⑵若比赛进行了5场时终止(含自然终止与意外终止)，则这5场比赛中两对组合之间的比

赛结果共有多少不同的情况？

⑶若比赛进行了5场时终止(含自然终止与意外终止)，设〃=3,若赞助商按规定颁发奖

金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列.

【解析】(1)“比赛继续进行且韩菲/陈宁组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再

连赢2场”，

故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率/(〃)=1-(1-a)?=2〃-/.

(2)设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢工场、黄政/孙艺组合赢)'场，用(乂》)表示比赛结果，

若比赛进行了5场时终止(含自然终止与意外终止)，则有:(1,4),(2,3),(3,2)(41)，

故共有C；+C；+C；+C：=28种不同的情况.

(3)若韩菲/陈宇组合赢1场、黄政/孙艺组合赢4场，贝IJ韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元；

若韩菲/陈宇组合赢2场、黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为

=故韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000x；=2£00元；

若韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合扁2场，则韩菲/陈宇组合需再扁1场，其概率为

2xl-flY=2,故韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000>4=7500元；

2{2)44

若韩菲/陈宇组合赢4场、黄政/孙艺组合赢1场，则韩聿/陈宇组合获得奖金数为10000元；

即奖金数X的可能取值有0,2500,7500.10000,则有

p(X=0)=^-=-,P(X=2500)=^=—,P(X=7500)=^=—.P(X=10000)=^-=-,

'7287v72814v72814vf287

故奖金数X的分布列为：

X02500750010(X)0

551

P

714147

20.（2023秋•河南焦作・高二温县第一高级中学校考期末）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙

袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球.

⑴求“两球颜色相同”的概率；

⑵设4表示所取白球的个数，求J的概率分布列.

【解析】（1）从甲中取出黑球的概率为《I，取出白球的概率为彳2，

从乙中取出黑球的概率为取出白球的概率为

故“两球颜色相同”的概率P=+=；.

（2）由题意可得，g所有可能取值为0、1、2,

一八、11I,X1I21Ii7211

^=0)=-x-=-,^(f=l)=-x-+-x-=-,P(^=2)=-x-=-,

32。3Z32Z323

故4的分布列如下表所示：

21.（2023秋・福建龙岩•高三校联考期末）甲、乙两支足球队将进行某赛事的决赛.其赛程规

则为：每一场比赛均须决出胜负，若在规定时间内踢成平局，则双方以踢点球的方式决出胜

负.按主、客场制先进行两场比赛，若某一队在削两场比赛中均取得胜利，则该队获得冠军；

否则，需在中立场进行第三场比赛，其