矩形的性质和判定同步练习及答案1

矩形的性质和判定

一.填空题

L如图，矩形ABCD中，NABC的平分线交AD边于点E,点F是

CD的中点，连接EF.若AB=8,且EF平分NBED,则AD的长

为.

题1题3题4

2.若矩形的一条对角线及一边的夹角是40°,则两条对角线相

交所成的锐角是

3.如图，在矩形ABCD中，AB二,E是BC的中点，AEJLBD于点

F,贝IJCF的长是

4.如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM,过点D

作DE±AM,垂足为E.若DE=DOI,AE=2EM,则BM的长

为.

5.如图，在矩形ABCD中，NABC的平分线交AD于点E,连接

CE.若BC=7,AE=4,则CE二

题5题6题7

6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC.BD相交于点0,点E、F

分别是AO、AD的中点，若AB=6cm,BC=8cm,则EF=cm.

7.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形

EFGII,还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形.

8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点

(),且A0=CO,BODO,要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条

件为(填一个即可).

题8题11题12

9.已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形,

则可以添加一个条件为.

10.木匠做一个矩形木框，长为80cm,宽为60cm,对角线的长

为100cm,则这个木框(填“合格”或“不合格”)

11.如图，在四边形ABCD中，已知AB〃DC,AB=DC,在不添加

任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩

形，这个条件是

12.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E,使DE二AD,连

接EB,EC,DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩

形.

二.解答题

13.如图，在口ABCD中，NBAD的平分线交CD于点E,交BC的

延长线于点F,连接BE,ZF=45°.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若AB=14,DE=8,求sinNAEB的值.

14.如图，AD是等腰AABC底边BC上的高.点。是AC中点，延

长D0到E,使0E=0D,连接AE,CE.

(1)求证：四边形ADCE的是矩形；

(2)若AB=17,BC=16,求四边形ADCE的面积.

15.如图，四边形ABCD中，AB〃DC,NB=90°,F为DC上一点，

且FC=AB,E为AD上一点，EC交AF于点G.

(1)求证：四边形ABCF是矩形；

(2)若EA二EG,求证:ED-EC.

16.如图，在口ABCD中，AELBC于点E点，延长BC至F点使CF=BE,

连接AF,DE,DF.

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.

17.平行四边形ABCD中，过点D作DE_LAB于点E,点F在CD

上，CF=AE,连接BF,AF.

(D求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若AF平分/BAD,且AE=3,DE=4,求矩形BFDE的面积.

【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形

为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40。，

两条对角线相交所成的钝角为：180°-40°X2=100°

故它们所成锐角为：180。-100°=80°.

故答案为80.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=,E是BC的中点，AELBD于点

F,则CF的长是

【分析】根据四边形ABCD是矩形,得到NABE=NBAD=90°,根

据余角的性质得到NBAE二NADB,根据相似三角形的性质得到

BE=1,求得BC=2,根据勾股定理得到AE=二，BD二=，根

据三角形的面积公式得到BF==,过F作FGLBC于G,根据

相似三角形的性质得到CG二,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：：四边形ABCD是矩形,

AZABE=ZBAD=90°,

VAE1BD,

AZAFB=90°,

AZBAF+ZABD=ZABD+ZADB=90°,

・•・ZBAE=ZADB,

AAABE^AADB,

YE是BC的中点，

AAD=2BE,

A2BE2=AB2=2,

，BE=1,

・・・BC=2,

/.AE==,BD==,

ABF==,

过F作FGLBC于G,

・・・FG〃CD,

.,.△BFG^ABDC,

・・・FG二，BG二，

.・.CG=,

・•・CF==.

故答案为：.

4.如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM,过点D

作DE,AM,垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为

*

【分析】由AAS证明△ABMgZXDEA,得出AM=AD,证出BOAD=3EM,

连接DM,由HL证明RtADEM^RtADCM,得出EM二CM,因此

BO3CM,设EMXM二x,则BM=2x,AM=BC=3x,在RtAABM中，由

勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形,

AAB=DC=1,NB=NC=90°,AD/7BC,AD=BC,

・•・ZAMB=ZDAE,

VDE=DC,

・・・AB=DE,

VDE1AM,

AZDEA=ZDEM=90°,

在aABM和ADEA中，,

AAABM^ADEA(AAS),

AAM=AD,

VAE=2EM,

JBC=AD=3EM,

连接DM,如图所示：

在RgDEM和RtZ\DCM中，,

ARtADEM^RtADCM(HL),

・・・EM=CM,

JBC=3CM,

设EM二CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,

在RtZ\ABM中，由勾股定理得：12+(2x)2=(3x)2,

解得：x=,

・・.BM二运

5

故答案为：.

5.如图，在矩形ABCD中，ZABC的平分线交AD于点E,连接

CE.若BC=7,AE=4,则CE=5.

【分析】首先证明AB二AE=CD=4,在RtACED中，根据CE二计算

即可.

【解答】解：・・•西边形ABCD是矩形，

・・・AD〃BC,AB=CD,BC=AD=7,ZD=90°,

・・・ZAEB=ZEBC,

丁ZABE=ZEBC,

・・・AB=AE=CD=4,

在RtZiEDC中，CE===5.

故答案为5

6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC.BD相交于点0,点E、F

分别是AO、AD的中点，若AB=6cm,BC=8cm,则EF=2.5cm.

【分析】根据勾股定理求出AC,根据矩形性质得出NABC=90。，

BD二AC,B0=0D,求出BD.0D,根据三角形中位线求出即可.

【解答】解：,・•四边形ABCD是矩形，

AZABC=90°,BD=AC,BO=OD,

VAB=6cm,BC=8cm,

•二由勾股定理得:BD=AC==10(cm),

D0=5cm,

。点E、F分别是AO、AD的中点,

/.EF=0D=2.5cm,

故答案为：2.5.

7.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH,还要

添加AC1BD条件，才能保证四边形EFGH是矩形.

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG〃BD,EH#AC,

根据平行线的性质NEHG二Nl,Z1=Z2,根据矩形的四个角都

是直角，NEFG=90°,所以N2=90°,因此ACJ_BD.

【解答】解：・・・G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，

・・・HG〃BD,EH#AC,

・・・NEHG=Nl,Z1=Z2,

AZ2=ZEHG,

・・•四边形EFGH是矩形，

AZEHG=90°,

AZ2=90°,

AAC1BD.

故还要添加ACJ_BD,才能保证四边形EFGH是矩形.

8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC.BD相交于点0,且

A0=C0,B0=D0,要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为

ZDAB=90°（填一个即可）.

【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边

形ABCD是平行四边形，添加条件NDAB=90°可根据有一个角是

直角的平行四边形是矩形进行判定.

【解答】解：可以添加条件NDAB=90。,

VA0=C0,B0=DO,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

VZDAB=90°,

・・・四边形ABCD是矩形，

故答案为：ZDAB=90°.

9.已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，

则可以添加一个条件为NBAD=90。.

【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是

直角填空即可.

【解答】解：:四边形ABCD是平行四边形，ZBAD=90°,

・・・四边形ABCD是矩形，

故答案为：NBAD二90。（答案不唯一）.

10.木匠做一个矩形木框，长为80cm,宽为60cm,对角线的长

为100cm,则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）

【分析】只要算出桌面的长及宽的平方和是否等于对角线的平方,

如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到

每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是

矩形，可得此桌面合格.

【解答】解:解：•・・802+602=10000=1002,

即:AD2+DC2=AC2,

AZD=90°,

同理：NB二NBCD=90°,

・・・四边形ABCD是矩形，

故答案为合格.

11.如图，在四边形ABCD中，已知AB〃DC,AB=DC,在不添加

任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩

形，这个条件是ZA=90°.

【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决

问题.

【解答】解：VAB/7DC,AB=DC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

・••当NA二90。时，四边形ABCD是平行四边形.

故答案为NA=90°,（填NB=90°或/C=90°或ND=90°也可

以）

12.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E,使DE二AD,连

接EB,EC,DB请你添加一个条件EB=DC,使四边形DBCE是

矩形.

【解答】解：添加EB二DC.理由如下：

・・•四边形ABCD是平行四边形，

；・AD〃BC,且AD二BC,

，DE〃BC,

又*.•DE=AD,

・・・DE=BC,

・・・四边形DBCE为平行四边形.

又<EB=DC,

・・・四边形DBCE是矩形.

故答案是：EB=DC.

二.解答题（共6小题）

13.如图，在口ABCD中，NBAD的平分线交CD于点E,交BC的

延长线于点F,连接BE,NF=45°.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若AB=14,DE=8,求sinNAEB的值.

【分析】(1)欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知NDAB是直

角；

(2)如图，过点B作BHJ_AE于点H.构建直角通过解

该直角三角形可以求得sinNAEB的值.在RtZXBCE中，由勾股

定理得.在RtZ\AHB中，BH=AB・sin45。=7.所以通过解Rt

△BHE得到：sin/AEB二.

【解答】(1)证明：・・•四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC.

AZDAr=ZF.

VZF=45°,

AZDAEM50.

・・・AF是NBAD的平分线，

AZEAB=ZDAE=45°.

AZDAB=90°.

又.••四边形ABCD是平行四边形，

・・・四边形ABCD是矩形.

(2)解:如图,过点B作BH_LAE于点B

・・•四边形ABCD是矩形，

，AB二CD,AD=BC,NDCB=ND=90°.

TAB=14,DE=8,

ACE=6.

在Rt^ADE中，ZDAE=45°,

・・・NDEA二NDAE=45°.

AAD=DE=8.

ABC=8.

在RtZXBCE中，由勾股定理得.

在RtZiAHB中，ZHAB=45°,

ABH=AB*sin45°=7.

♦・•在RtZ\BHE中，ZBHE=90°,

.•.sinNAEB二.

14.如图，AD是等腰AABC底边BC上的高.点。是AC中点，延

长D0到E,使0E=0D,连接AE,CE.

(1)求证：四边形ADCE的是矩形；

(2)若AB=17,BC=16,求四边形ADCE的面积.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四

边形，根据垂直推出NADC=90°,根据矩形的判定得出即可：

(2)求出DC,根据勾股定理求出AD,根据矩形的面积公式求出

即可.

【解答】(1)证明：・・•点0是AC中点，

AA0=0C,

VOE=OD,

・・・四边形ADCE是平行四边形，

VAD是等腰AABC底边BC上的高，

AZADC=90°,

・•・四边形ADCE是矩形；

(2)解：TAD是等腰4ABC底边BC上的高,BC=16,AB=17,

ABD=CD=8,AB=AC=17,ZADC=90°,

由勾股定理得：AD=二=15,

，四边形ADCE的面积是AD义DC=15X8=120.

15.如图，四边形ABCD中，AB〃DC,NB=90°,F为DC上一点,

且FC=AB,E为AD上一点，EC交AF于点G.

(1)求证：四边形ABCF是矩形；

(2)若EA=EG,求证：ED=EC.

【分析】(1)由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由

ZB=90°可证得结论；

(2)利用等腰三角形的性质可求得NEAG二NEGA二NFGC,再利用

直角三角形的性质可求得ND=NECD,可证得ED二EC.

【解答】证明：

(1)VAB/7CD,且FC=AB,

・・・四边形ABCF为平行四边形，

VZB=90°,

・・・四边形ABCF是矩形；

(2)•?EA=EG,

AZEAG=ZEGA=ZFGC,

・・•四边形ABCF为矩形，

AZAFC=ZAFD=90°,

AZD+ZDAF=ZFGC+ZECD=90°,

AZD=ZECD,

AED=EC.

16.如图，在口ABCD中，AE_LBC于点E点，延长BC至F点使CF=BE,

连接AF,DE,DF.

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.

【分析】(1)先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明N

AEF=90°即可.

(2)证明AABF是直角三角形，由三隹形的面积即可得出AE的

长.

【解答】(1)证明：・「CF二BE,

・•・CF+EOBE+EC.

gpEF=BC.

♦・・在。ABCD中，AD〃BC且AD=BC,

・・・AD〃EF且AD=EF.

・・・四边形AEFD是平行四边形.

VAE1BC,

AZAEF=90°.

・・・四边形AEFD是矩形；

(2)解：・・•四边形AEFD是矩形，DE=8,

AAF=DE=8.

VAB=6,BF=10,

•••AB2+AF2=62+82=100=BF2.

AZBAF=90°.

VAE1BF,

.・・AABF的面积=AB・AF=BF*AE.

AE