蔡中兵《材料力学》3扭转

材料力学第三章扭转蔡中兵|Torsion—理论分析·强度计算·刚度校核·工程应用Contents本章内容框架材料力学·扭转章节完整知识脉络01扭转概述与基本概念02外力偶矩与扭矩分析03圆轴扭转应力分析04圆轴扭转变形与刚度05非圆截面与薄壁杆件扭转06工程应用与综合例题CHAPTER01扭转概述与基本概念从生活实例到力学模型，建立扭转变形的直觉认知MECHANICSOFMATERIALS扭转变形的定义与特征扭转变形是指杆件在垂直于轴线方向的力偶作用下，各横截面绕轴线产生相对转动的变形形式。作为材料力学四大基本变形之一，扭转分析是传动轴、搅拌轴等旋转构件设计的理论基础。扳手拧紧螺栓——扭转变形的典型工程场景01受力特征：作用在杆件上的外力为力偶矩，其作用面垂直于杆件轴线方向，使杆件产生绕轴线的转动趋势02变形特征：各横截面绕轴线发生相对转动，截面间距不变，纵向线变为螺旋线，相对转角称为扭转角φ03典型实例：扳手拧紧螺栓、拧干衣物、汽车方向盘转向轴、电机传动轴等均为扭转变形的工程实例04工程简化：纯扭转较少见，当杆件以扭转为主且其他变形可忽略时，可按纯扭转进行强度和刚度计算StrengthofMaterials材料力学基本变形分析框架材料力学对四大基本变形采用统一的"外力→内力→应力→强度"与"应变→变形→位移→刚度"双线分析框架。强度分析路径外力（力偶矩Me）→内力（扭矩T）→应力（切应力τ）→强度条件校核，三步走完成强度设计。该路径从载荷输入到安全判定形成完整闭环。τmax≤[τ]刚度分析路径应变（切应变γ）→与应力联系（τ=Gγ）→变形（扭转角φ）→刚度校核，确保变形在允许范围内。刚度不足会导致机构失稳或功能失效。θmax≤[θ]与轴向拉压对比拉压：集中力→轴力→正应力；扭转：力偶矩→扭矩→切应力。分析框架完全一致，仅物理量不同。掌握一种变形即可迁移理解其他变形。统一框架·可迁移能量方法补充强度和刚度分析之后，还需计算应变能（变形能），为后续能量法和超静定问题提供基础。能量法是求解复杂结构的强有力工具。应变能U·能量法基础StrengthofMaterials圆轴扭转的基本假设——平面假设平面假设是圆轴扭转理论的基石：假设扭转后横截面仍保持为平面，形状大小不变，半径仍为直线，各截面仅绕轴线相对转动。01假设内容圆轴扭转后各横截面仍保持为平面，截面形状和大小不变，半径仍保持为直线，各截面间仅相对转动一微小角度γ。这一假设简化了变形几何分析，是推导扭转切应力公式的基础。02间距不变相邻截面轴向距离不变，纵向纤维无伸长或缩短，横截面上不存在正应力σ，仅有切应力τ作用。由此可直接建立切应力与扭转角之间的线性关系。03适用范围仅对圆截面（实心和空心圆轴）严格成立，对矩形、工字形等非圆截面不成立——扭转时将发生翘曲。非圆截面需采用圣维南扭转理论或薄膜比拟法求解。04弹性力学验证弹性力学精确解证明，等直圆轴受纯扭矩作用时，平面假设的应力和变形结果与精确解完全一致。该假设在工程精度范围内具有充分的理论可靠性。CHAPTER02外力偶矩与扭矩分析从功率转速到力偶矩，从截面法到扭矩图的完整分析链TORQUEANALYSIS外力偶矩的计算方法工程中传动轴的外力偶矩通常由电机功率和转速间接求得，核心公式为Me=9549P/n（kW·r/min制）。掌握该公式的推导过程和单位换算是进行扭矩分析的第一步。基本公式推导由P=Me·ω，角速度ω=2πn/60代入整理，当P以kW计、n以r/min计时，系数化简为9549。P=Me·ω标准公式P为传递功率（kW），n为转速（r/min），这是工程设计中最常用的外力偶矩计算公式。Me=9549P/n马力制换算当功率P以公制马力PS给出时，1PS=0.7355kW，需注意区分功率单位。Me=7024P/n转向判断主动轮外力偶矩与转动方向相同；从动轮外力偶矩与转动方向相反。主动·从动INTERNALFORCES扭矩的计算与扭矩图绘制用截面法求扭矩是扭转内力分析的核心方法：假想截开→取脱离体→列力矩平衡方程。扭矩正负号按右手螺旋法则判定，扭矩图直观展示沿轴长度方向扭矩的变化规律，是后续应力和变形计算的基础。Step·截面法截面法三步骤假想截开目标截面，取任一段为脱离体，列力矩平衡方程ΣMx=0解出扭矩T。这是求解扭转内力的基本方法，适用于等直圆轴的任意截面分析。ΣMx=0Rule·正负号右手螺旋法则右手四指表示扭矩转向，大拇指与截面外法线一致时为正，反之为负。统一符号规定保证扭矩计算结果的一致性，便于绘制扭矩图和进行强度校核。T>0⇄外法线Method·绘制扭矩图绘制方法轴线方向为横坐标x，扭矩值为纵坐标，集中力偶处分段绘制，突变值等于力偶矩。扭矩图为后续计算最大切应力和相对扭转角提供关键数据。T=f(x)Tip·快捷快速绘制技巧从左端开始，顺时针外力偶矩使扭矩增加，逆时针则减小；各段扭矩为左侧力偶矩代数和。掌握此规律可快速判断扭矩图走向，提高解题效率。↻增·↺减Example·TorqueDiagram扭矩图绘制实例——多轮传动轴通过具体算例演示外力偶矩计算→截面法求扭矩→绘制扭矩图的完整流程。关键在于正确判断各轮上外力偶矩的方向（输入与输出相反），并在集中力偶作用点处注意扭矩的突变。PROBLEM问题条件传动轴n=200r/min，A轮输入PA=50kW，B轮输出PB=30kW，C轮输出PC=20kW，排列B-A-C，求各段扭矩并绘制扭矩图。B→A→CCALCULATE外力偶矩计算MA=9549×50/200=2387N·m（输入）MB=9549×30/200=1432N·m（输出）MC=9549×20/200=955N·m（输出）M=9549·P/nSECTION截面法求扭矩AB段取左段ΣMx=0，T₁=MB=1432N·m；AC段取右段ΣMx=0，T₂=MC=955N·m。T₁=1432·T₂=955VERIFY平衡验证与扭矩图MA=2387=MB+MC=1432+955，满足平衡。A轮处扭矩突变2387N·m。Tmax=1432N·mCHAPTER03圆轴扭转应力分析从变形几何到物理方程再到静力平衡，完整推导切应力公式DEFORMATION·GEOMETRY切应力公式推导（一）——变形几何关系基于平面假设，切应变γρ=ρ·dφ/dx，沿半径线性分布，是推导切应力公式的几何基础。01微段取法在圆轴上取长度为dx的微段，左截面固定，右截面相对左截面转动微小角度dφ，分析微段表面和内部的变形02表面切应变圆轴表面处（ρ=R），纵向线偏转角度γmax=R·dφ/dx，原来的矩形微元变为平行四边形，此即表面最大切应变γmax03内部切应变距圆心ρ处的切应变γρ=ρ·(dφ/dx)，同一截面上切应变沿半径方向线性分布，圆心处γ=0，边缘处γ最大γρ∝ρ04单位扭转角令θ=dφ/dx表示单位长度上的扭转角（扭转角变化率），对于同一截面θ为常数，则γρ=ρθ，几何关系建立完毕θ=dφ/dx切应力公式推导（二）——物理与静力学关系通过剪切胡克定律将切应变转化为切应力（物理关系），再利用截面力矩平衡条件引入极惯性矩Ip（静力学关系），最终得出圆轴扭转切应力公式τ=Tρ/Ip，最大切应力τmax=T/Wp。01物理关系在弹性范围内应用剪切胡克定律τ=Gγ，代入几何关系得τρ=G·ρ·(dφ/dx)，切应力沿半径线性分布且方向垂直于半径。τρ=G·ρ·(dφ/dx)02静力学关系截面上切应力对圆心的合力矩等于扭矩T，即T=G(dφ/dx)·Ip，其中Ip=∫ρ²dA为极惯性矩。Ip=∫Aρ²dA03单位扭转角由静力学关系解出dφ/dx=T/(GIp)，代入物理关系得最终公式τρ=Tρ/Ip，切应力与扭矩成正比，与极惯性矩成反比。τρ=Tρ/Ip04最大切应力当ρ=R（截面边缘）时τ取最大值，τmax=T/Wp，其中Wp=Ip/R称为抗扭截面系数，是衡量截面抗扭能力的几何量。τmax=T/WpTORSIONANALYSIS极惯性矩Ip与抗扭截面系数Wp极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp是圆轴扭转分析中两个核心几何参数。空心截面通过将材料布置在远离圆心的位置，以更少的材料获得更大的Ip和Wp，体现了截面形状优化的工程思想。实心圆轴极惯性矩Ip=πd⁴/32≈0.1d⁴其中d为圆轴直径，Ip仅与截面几何尺寸有关，反映截面对扭转的抵抗能力抗扭截面系数Wp=πd³/16≈0.2d³最大切应力τmax=T/Wp，Wp越大则τmax越小α=0空心圆轴α=d/D极惯性矩Ip=πD⁴(1−α⁴)/32D为外径、d为内径、α=d/D为内外径比，α=0时退化为实心圆轴抗扭截面系数Wp=πD³(1−α⁴)/16当α=0.8时Wp约为同外径实心轴的59%，但重量仅为其约36%α=0.8→59%Wp·36%WeightStrengthofMaterials圆轴扭转强度条件及应用圆轴扭转强度条件τmax=Tmax/Wp≤[τ]是传动轴设计的核心依据，可应用于强度校核、截面设计和许用载荷确定三类工程问题。许用切应力[τ]与材料拉伸许用应力[σ]之间存在经验关系。强度条件τmax=|T|max/Wp≤[τ]，其中|T|max为全轴绝对值最大的扭矩，Wp为对应截面的抗扭截面系数，[τ]为材料许用切应力。该条件是判断圆轴是否满足强度要求的基本准则。τmax≤[τ]许用切应力取值塑性材料（如低碳钢）[τ]=(0.5~0.6)[σ]；脆性材料（如铸铁）[τ]=(0.8~1.0)[σ]，其中[σ]为拉伸许用应力。不同材料需采用不同的换算系数。0.5~1.0[σ]三类工程应用①强度校核——验算τmax≤[τ]；②截面设计——由Wp≥Tmax/[τ]确定轴径d；③许用载荷——由Tmax≤Wp[τ]确定最大传递功率。三种应用覆盖了轴类零件设计的完整流程。校核·设计·载荷阶梯轴设计要点对于直径变化的阶梯轴，需逐段计算τmax=T/Wp。危险截面不一定在最大扭矩处，也可能出现在截面尺寸较小的位置。设计时需综合比较各段的应力水平。逐段校核EngineeringMechanics空心轴与实心轴的对比分析空心轴通过将材料布置在远离圆心的位置，以更少的材料获得更大的抗扭截面系数Wp，材料利用效率远高于实心轴。但壁厚不能过薄，需考虑制造工艺、稳定性和局部屈曲等约束。汽车传动系统中的空心传动轴实物材料效率对比：实心轴圆心附近切应力很小（τ∝ρ），材料未充分利用；空心轴去除低应力区材料，在相同重量下Wp可提高30%~80%定量算例：D=120mm、d=80mm的空心轴vsd=100mm的实心轴，空心轴Wp大约大32%而截面积反小20%，强度重量比显著优于实心轴极限分析：当α=d/D→1时（极薄壁），Wp∝(1-α⁴)急剧下降，且薄壁管易发生局部屈曲失稳，因此α一般取0.5~0.8，兼顾性能与工艺工程应用：汽车传动轴、飞机发动机轴、大型船舶推进轴等广泛采用空心轴设计，既减轻重量又保证强度，同时便于内部走线或通冷却液CHAPTER04圆轴扭转变形与刚度扭转角计算、刚度条件建立与轴的合理设计MechanicsofMaterials圆轴扭转角的计算等直圆轴在均匀扭矩作用下的扭转角公式为φ=TL/(GIp)，其中GIp为抗扭刚度。对于多段阶梯轴或扭矩变化的情况，需分段计算后叠加。基本公式：φ=TL/(GIp)，T为截面扭矩（N·m），L为轴段长度（m），G为剪切弹性模量（Pa），Ip为极惯性矩（m⁴），φ单位为弧度rad抗扭刚度GIp：GIp越大，相同扭矩下扭转角越小，反映轴抵抗扭转变形的能力，类似于拉压中的EA（抗拉刚度）分段叠加法：当轴各段T、Ip或G不同时，φ=Σ(TiLi)/(GiIpi)，需先画扭矩图确定各段T值，再逐段计算后求代数和相对扭转角：两截面A和B之间的相对扭转角φAB等于A到B之间各段扭转角的代数和，与积分路径方向无关MECHANICSOFMATERIALS圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件以单位长度扭转角为控制指标：θmax=Tmax/(GIp)×180/π≤[θ]。不同精度要求的传动轴许用扭转角差异显著，精密机床主轴[θ]仅为一般传动轴的1/3~1/5。刚度条件表达式θmax=(Tmax/GIp)×(180/π)≤[θ]（°/m），将弧度转换为角度，[θ]为许用单位长度扭转角θ≤[θ]许用扭转角取值精密传动轴[θ]=0.15~0.30°/m；一般传动轴[θ]=0.5~1.0°/m；精度要求不高的轴[θ]=1.0~2.5°/m0.15~2.5°/m由刚度条件设计轴径Ip≥Tmax×180/(G[θ]π)，对实心圆轴Ip=πd⁴/32，解出d≥(32Tmax×180/(π²G[θ]))1/4d∝T1/4强度与刚度的权衡强度要求Wp≥T/[τ]（∝d³），刚度要求Ip≥T·180/(G[θ]π)（∝d⁴），大直径轴往往由刚度条件控制设计d⁴vsd³Example·ShaftDesign综合设计例题——传动轴轴径确定传动轴设计需同时满足强度和刚度两个条件，取两者要求中的较大直径。本例表明：对于中低速传动轴，刚度条件往往成为控制因素，因为d⁴对Ip的影响比d³对Wp的影响更敏感。STEP01已知条件P=20kW，n=100r/min，[τ]=40MPa，G=80GPa，[θ]=0.5°/m，实心圆轴，求轴径d实心圆轴STEP02外力偶矩与扭矩Me=9549×P/n=9549×20/100=1910N·m，轴上扭矩T=1910N·m（全轴等截面等扭矩）1910N·mSTEP03强度条件设计Wp≥T/[τ]=47750mm³，由Wp=πd³/16解得d≥62.5mm≥62.5mmSTEP04刚度条件设计Ip≥T×180/(G[θ]π)≈273697mm⁴，由Ip=πd⁴/32解得d≥65.4mm；综合取d=66mmd=66mmCHAPTER05非圆截面与薄壁杆件扭转突破圆截面限制，理解翘曲现象与薄膜比拟方法材料力学·扭转理论非圆截面扭转——翘曲现象与分类非圆截面杆扭转时横截面发生翘曲（不再保持平面），平面假设失效。自由扭转时仅有切应力，约束扭转时附加正应力——对薄壁开口截面（如工字钢），约束扭转正应力可能成为控制因素。01翘曲现象—非圆截面杆扭转时横截面不再保持平面，截面上各点沿轴向产生不等量位移，截面变成空间曲面——这是平面假设失效的直接证据翘曲02自由扭转（圣维南扭转）—等直杆两端仅受扭矩且翘曲不受约束，各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩，截面上仅有切应力τ而无正应力σ仅τ03约束扭转—杆端翘曲受到约束或扭矩沿杆长变化时，相邻截面翘曲程度不同，纵向纤维产生伸缩，截面上同时存在切应力τ和正应力στ+σ04工程影响—实体截面（如矩形实心杆）约束扭转正应力较小可忽略；薄壁开口截面（如工字钢、槽钢）约束扭转正应力很大，设计中不可忽略薄壁TORSIONTHEORY矩形截面杆的自由扭转矩形截面杆自由扭转的最大切应力发生在长边中点（而非角点），扭转角和切应力公式中引入了与长宽比h/b相关的修正系数α、β。狭长矩形截面(h/b→∞)可近似按薄壁处理。01最大切应力位置：发生在矩形截面长边的中点处（而非直觉上的角点），角点处切应力为零——这是非圆截面扭转的重要特征02切应力公式：τmax=T/(αhb²)，h为长边、b为短边，α为与h/b相关的系数；h/b=1时α=0.208，h/b=2时α=0.246，h/b→∞时α→1/303扭转角公式：φ=TL/(Gβhb³)，β为与h/b相关的系数；h/b=1时β=0.141，h/b=2时β=0.229，h/b→∞时β→1/304狭长矩形近似：当h/b>10时可视为狭长矩形，τmax≈3T/(hb²)，φ≈3TL/(Ghb³)，切应力沿短边方向近似线性分布矩形截面扭转系数表h/bαβγ1.0（正方形）0.2080.1411.0001.50.2310.1960.8582.00.2460.2290.7963.00.2670.2630.7535.00.2910.2910.70910.00.3120.3120.675∞（狭长矩形）1/31/3—随着h/b增大，α和β均趋向1/3，矩形截面逐渐退化为狭长矩形STRUCTURALMECHANICS薄膜比拟法——普朗特的经典类比薄膜比拟法利用均匀薄膜在压力下的垂度与扭转应力函数的数学相似性，将抽象的扭转问题转化为直观的薄膜形态分析。01基本原理张在与杆件横截面同形边界上的均匀薄膜在均压下的垂度z(x,y)，与扭转应力函数φ(x,y)满足相同的偏微分方程。PRANDTL02对应关系薄膜在某点沿某方向的斜率等于截面该处垂直方向的切应力分量；最大切应力发生在薄膜斜率最大处。τ∝slope03定性分析矩形长边中点薄膜最陡故τmax在此；角点平坦故τ=0；圆形截面薄膜为旋转抛物面，τ正比于ρ。RECT·CIRC04体积与扭矩薄膜鼓起体积的2倍等于截面扭矩T，可通过肥皂膜实验实际测量扭转切应力。T=2VStructuralMechanics·Torsion闭口薄壁杆件的自由扭转闭口薄壁杆件扭转时剪切流q=τt在全截面为常数（Bredt公式），切应力τ=T/(2A₀t)与壁厚成反比。闭口截面的抗扭能力可达同尺寸开口截面的数十倍，工程中应优先采用闭口截面承受扭矩。01剪切流常数由切应力互等定理，闭口薄壁截面上τt=q=常数（Bredt第一公式），壁厚较薄处切应力较大，壁厚较厚处切应力较小τt=const02切应力公式τ=T/(2A₀t)（Bredt第二公式），A₀为壁厚中心线所围面积，t为计算点处的壁厚，最大切应力发生在壁厚最小处τ=T/(2A₀t)03扭转角公式φ=TL/(4GA₀²)∮(ds/t)，对等壁厚闭口管简化为φ=TLs/(4GA₀²t)，s为壁厚中心线周长φ=TL/(4GA₀²)04闭口vs开口对比同一薄壁圆管，闭口Wp≈2πR²t，开口Wp≈2πRt²/3，两者之比约3R/t；当R/t=20时闭口抗扭能力是开口的60倍60×抗扭能力TORSIONANALYSIS开口薄壁杆件的扭转开口薄壁截面可分解为若干狭长矩形组合来计算扭转，各矩形部分按刚度比例分担扭矩。开口截面的抗扭能力远低于同尺寸闭口截面，工程中承受扭矩的构件应优先选择闭口截面形式。计算方法将开口薄壁截面分解为n个狭长矩形，各矩形扭转角相同（变形协调）。总扭矩T=ΣTᵢ，第i个矩形Tᵢ=G·βᵢ·hᵢ·bᵢ³·φ/LT=ΣTᵢ最大切应力τmax=T·tmax/(Σ(βᵢ·hᵢ·bᵢ³)/3)，发生在壁厚最大的矩形部分长边中点处，其中tmax为最大壁厚τmax扭转角φ=TL/(G·Σ(βᵢ·hᵢ·bᵢ³)/3)，等效抗扭刚度GIₚ=G·Σ(βᵢ·hᵢ·bᵢ³)/3，各矩形贡献与hᵢ·bᵢ³成正比GIp等效刚度开口vs闭口薄壁圆管（R/t=20）闭口与开口的Wp之比约为60倍，扭转角之比约为1:60——一条缝的有无导致抗扭能力天壤之别60倍差距STRAINENERGY圆轴扭转应变能圆轴扭转时外力做功以弹性应变能形式储存，等直圆轴应变能U=T²L/(2GIp)。应变能概念是能量法和超静定问题分析的基础，应变能密度u=τ²/(2G)反映了材料内部的能量分布。应变能公式U=T²L/(2GIp)=Tφ/2，等直圆轴在均匀扭矩下的弹性应变能，与拉压中U=F²L/(2EA)形式对应U=Tφ/2应变能密度u=τ²/(2G)=τγ/2，单位体积内储存的弹性能，截面上各点u不同（因τ随ρ变化），U=∫Vu·dVu=τγ/2分段叠加多段轴的总应变能U=ΣTi²Li/(2GiIpi)，U始终为正值（∝T²），各段应变能之和即为全轴应变能Σ叠加应用方向应变能是后续能量法（虚功原理、卡氏定理）求解超静定扭转问题和冲击扭转问题的核心物理量能量法Chapter06工程应用与综合例题从理论到实践，通过工程案例和典型题目融会贯通EngineeringApplications扭转的工程应用场景扭转理论广泛应用于传动轴、搅拌轴、弹簧、螺旋机构等工程构件的设计。不同应用场景对强度和刚度的侧重不同，精密传动侧重刚度控制，重载传动侧重强度校核。传动轴设计01汽车变速箱传动轴、电机驱动轴、船舶推进轴等，核心功能是传递扭矩和功率，需同时满足强度与刚度要求02高速传动轴还需考虑临界转速问题，避免轴的工作转速接近扭转振动的固有频率引发共振汽车变速箱传动轴实物化工搅拌设备搅拌轴搅拌与螺旋机构01化工搅拌设备的搅拌轴受叶片阻力形成阻力偶矩，需按扭转强度和刚度设计轴径和选材02螺旋弹簧受轴向力时弹簧丝截面主要承受扭矩，弹簧设计本质上是扭转问题的工程应用材料力学·强度分析综合例题——阶梯轴强度校核阶梯轴的强度校核需逐段进行：先画扭矩图确定各段扭矩值，再分别计算各段最大切应力并与许用值比较。危险截面可能在扭矩最大的截面，也可能在直径最小的截面，需全面排查。已知条件AB段d₁=60mmBC段d₂=40mmB截面Me=1.5kN·mA端固定、C端自由[τ]=60MPa扭矩分析截面法求得T₁=1.5kN·mBC段T₂=0扭矩图在B截面处突变，突变量等于MeT₁=1.5kN·m强度校核Wp₁=π×60³/16≈4