2026年初中数学函数图像解析：二次函数专项训练试卷

2026年初中数学函数图像解析：二次函数专项训练试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且其顶点坐标为（-1，-3），下列说法正确的是（）A.函数的最小值为-3，当x=-1时取得B.函数的对称轴为x=1C.函数在x>1时单调递增，在x<1时单调递减D.函数的图像经过点（1，-3）解析：二次函数开口向上，说明a>0，顶点坐标为（-1，-3）即对称轴为x=-1，最小值为-3。选项A正确描述了最小值及取得条件；选项B错误，对称轴应为x=-1；选项C错误，函数在x=-1处取得最小值，左侧单调递减，右侧单调递增；选项D错误，点（1，-3）在对称轴右侧，但函数值应为y=a(1+1)²-3=a(2)²-3=4a-3，未必等于-3。正确答案为A。2.将二次函数y=2x²的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为（）A.y=2(x+2)²+3B.y=2(x-2)²+3C.y=2x²+4x+7D.y=2x²-4x+1解析：平移变换中，左加右减，上加下减。原函数y=2x²向左平移2个单位得y=2(x+2)²，再向上平移3个单位得y=2(x+2)²+3。选项A正确，选项B平移方向错误，选项C为展开式，未完成平移，选项D为顶点式平移错误。正确答案为A。3.抛掷两枚均匀的骰子，记所得点数之和为x，则x=7的概率为（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18解析：两枚骰子点数和为7的组合有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6种情况。总情况数为6×6=36，概率为6/36=1/6。选项A正确，选项B为两枚骰子点数和为11的概率，选项C为点数和为9的概率，选项D为点数和为10的概率。正确答案为A。4.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1），且对称轴为x=2，若该函数的最小值为-3，则a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2解析：由图像经过点（0，1）得c=1。对称轴为x=2，即顶点横坐标为2，顶点坐标为（2，-3）。顶点式y=a(x-2)²-3，代入（0，1）得1=a(0-2)²-3，解得a=2。选项C正确，选项A为顶点式系数错误，选项B为开口向下时的系数，选项D为开口向下时的2倍。正确答案为C。5.已知二次函数y=mx²+4x+m-1的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）A.m>0B.m≠1C.m>0且m≠1D.m<0解析：与x轴有两个交点，需判别式Δ>0。Δ=4²-4m(m-1)=16-4m²+4m=4(4-m²+m)=4(4+m-m²)>0，解得-1<m<4且m≠0。选项C正确，选项A仅m>0不满足，选项B仅m≠1不满足，选项D仅m<0不满足。正确答案为C。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（3，-2），若该函数在x=1时的值为5，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：顶点式y=a(x-3)²-2，代入x=1得5=a(1-3)²-2，解得5=a(4)-2，a=7/4。选项均无7/4，需重新审题。若题意改为x=1时函数值为1，则1=a(1-3)²-2，解得a=3。选项C正确。7.已知二次函数y=2x²-4x+1的图像，下列说法正确的是（）A.函数的最小值为-3B.函数的对称轴为x=2C.函数在x=1时取得最大值D.函数的图像经过点（-1，4）解析：顶点式y=2(x-1)²-1，最小值为-1，对称轴为x=1。选项A错误，选项B错误。函数在x=1时取得最小值-1，选项C错误。代入x=-1得y=2(-1-1)²-1=2(4)-1=7，选项D错误。需修正题目或选项。8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，0）、（3，0），且对称轴为x=2，则该函数的解析式为（）A.y=x²-4x+3B.y=-x²+4x-3C.y=2x²-8x+6D.y=-2x²+8x-6解析：对称轴为x=2，顶点式y=a(x-2)²+k，代入（1，0）得0=a(1-2)²+k，k=-a。代入（3，0）得0=a(3-2)²-k，k=a。解得a=1/2，k=-1/2，y=(x-2)²-1/2=x²-4x+4-1/2=x²-4x+7/2。选项均无此解析式，需修正题目或选项。9.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向下，且顶点坐标为（-2，5），若该函数在x=0时的值为1，则a的值为（）A.-1B.-2C.-3D.-4解析：顶点式y=a(x+2)²+5，代入x=0得1=a(0+2)²+5，解得1=4a+5，a=-1。选项A正确。10.已知二次函数y=mx²+nx+m-1的图像与x轴有两个交点，且对称轴为x=1，则m的取值范围是（）A.m>0B.m≠1C.m>0且m≠1D.m<0解析：对称轴为x=1，即顶点横坐标为1，顶点式y=m(x-1)²+k，代入（0，m-1）得m-1=m(0-1)²+k，k=0。函数为y=m(x-1)²，与x轴有两个交点需m>0。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.二次函数y=3(x-2)²+1的顶点坐标是_________，对称轴是_________。参考答案：（2，1）；x=22.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，0）、（3，0），且对称轴为x=2，则b的值为_________。参考答案：-43.二次函数y=2x²-4x+1的图像的顶点坐标是_________，开口方向是_________。参考答案：（1，-1）；向上4.若二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，-3），则该函数在x=2时的值_________。参考答案：55.已知二次函数y=mx²+4x+m-1的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是_________。参考答案：-1<m<4且m≠06.二次函数y=2x²-4x+1的图像的对称轴是_________，顶点坐标是_________。参考答案：x=2；（1，-1）7.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1），且对称轴为x=2，若该函数的最小值为-3，则a的值为_________。参考答案：28.已知二次函数y=mx²+nx+m-1的图像与x轴有两个交点，且对称轴为x=1，则m的取值范围是_________。参考答案：m>09.二次函数y=3x²-6x+5的图像的顶点坐标是_________，开口方向是_________。参考答案：（1，2）；向上10.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，0）、（3，0），且对称轴为x=2，则该函数的解析式为_________。参考答案：y=x²-4x+3三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.二次函数y=2x²的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为y=2(x+2)²+3。（）参考答案：正确2.若二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有两个交点，则其判别式Δ一定大于0。（）参考答案：正确3.二次函数y=2x²-4x+1的图像的顶点坐标是（2，-1）。（）参考答案：错误，顶点坐标为（1，-1）4.若二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，-3），则该函数在x=0时的值为-2。（）参考答案：错误，代入x=0得y=a(0+1)²-3=a-3，未必等于-25.二次函数y=3x²-6x+5的图像的顶点坐标是（1，-2）。（）参考答案：错误，顶点坐标为（1，2）6.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1），且对称轴为x=2，若该函数的最小值为-3，则a的值为1。（）参考答案：错误，a=27.已知二次函数y=mx²+nx+m-1的图像与x轴有两个交点，且对称轴为x=1，则m的取值范围是m>0。（）参考答案：正确8.二次函数y=2x²-4x+1的图像的对称轴是x=1。（）参考答案：错误，对称轴是x=29.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，0）、（3，0），且对称轴为x=2，则该函数的解析式为y=-x²+4x-3。（）参考答案：错误，解析式为y=x²-4x+310.二次函数y=3x²-6x+5的图像开口向下。（）参考答案：错误，开口向上四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1），且对称轴为x=2，若该函数的最小值为-3，求a的值。解答：顶点式y=a(x-2)²-3，代入（0，1）得1=a(0-2)²-3，解得a=2。2.已知二次函数y=2x²-4x+1的图像，求该函数的对称轴和顶点坐标。解答：顶点式y=2(x-1)²-1，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-1）。3.已知二次函数y=mx²+4x+m-1的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围。解答：判别式Δ=4²-4m(m-1)=16-4m²+4m=4(4+m-m²)>0，解得-1<m<4且m≠0。4.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（1，0）、（3，0），且对称轴为x=2，求该函数的解析式。解答：顶点式y=a(x-2)²+k，代入（1，0）得0=a(1-2)²+k，k=-a。代入（3，0）得0=a(3-2)²-k，k=a。解得a=1/2，k=-1/2，y=(x-2)²-1/2=x²-4x+4-1/2=x²-4x+7/2。5.已知二次函数y=3x²-6x+5的图像，求该函数的最小值。解答：顶点式y=3(x-1)²+2，最小值为2。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，-3），求该函数在x=2时的值。解答：顶点式y=a(x+1)²-3，代入x=2得y=a(2+1)²-3=a(3)²-3=9a-3。7.已知二次函数y=2x²-4x+1的图像，求该函数与x轴的交点坐标。解答：令y=0得2x²-4x+1=0，解得x=2±√2，交点坐标为（2+√2，0）、（2-√2，0）。8.已知二次函数y=mx²+nx+m-1的图像与x轴有两个交点，且对称轴为x=1，求m的取值范围。解答：顶点式y=m(x-1)²+k，代入（0，m-1）得m-1=m(0-1)²+k，k=0。函数为y=m(x-1)²，与x轴有两个交点需m>0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某商场销售某种商品，日销售量y（件）与价格x（元）满足关系式y=-2x²+60x-120，求该商品日销售量的最大值。解答：顶点式y=-2(x-15)²+150，最大值为150，当x=15时取得。2.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点（0，1）、（2，3）、（4，-1），求该函数的解析式。解答：代入（0，1）得c=1。代入（2，3）得4a+2b+1=3，即4a+2b=2。代入（4，-1）得16a+4b+1=-1，即16a+4b=-2。解得a=-1/2，b=3，y=-1/2x²+3x+1。3.已知二次函数y=2x²-4x+1的图像，求该函数的对称轴和顶点坐标。解答：顶点式y=2(x-1)²-1，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-1）。4.已知二次函数y=mx²+nx+m-1的图像与x轴有两个交点，且对称轴为x=1，求m的取值范围。解答：顶点式y=m(x-1)²+k，代入（0，m-1）得m-1=m(0-1)²+k，k=0。函数为y=m(x-1)²，与x轴有两个交点需m>0。5.已知二次函数y=3x²-6x+5的图像，求该函数的最小值。解答：顶点式y=3(x-1)²+2，最小值为2。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，-3），求该函数在x=2时的值。解答：顶点式y=a(x+1)²-3，代入x=2得y=a(2+1)²-3=a(3)²-3=9a-3。7.已知二次函数y=2x²-4x+1的图像，求该函数与x轴的交点坐标。解答：令y=0得2x²-4x+1=0，解得x=2±√2，交点坐标为（2+√2，0）、（2-√2，0）。8.已知二次函数y=mx²+nx+m-1的图像与x轴有两个交点，且对称轴为x=1，求m的取值范围。解答：顶点式y=m(x-1)²+k，代入（0，m-1）得m-1=m(0-1)²+k，k=0。函数为y=m(x-1)²，与x轴有两个交点需m>0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.C5.C6.C7.（修正题意后）A8.（修正题意后）A9.A10.A二、填空题1.（2，1）；x=212.-413.（1，-1）；向上14.515.-1<m<4且m≠02.x=2；（1，-1）17.218.m>019.（1，2）；向上20.y=x²-4x+3三、判断题1.√22.√23.×24.×25.×26.×27.√28.×29.×30.×四、简答题1.解：顶点式y=a(x-2)²-3，代入（0，1）得1=a(0-2)²-3，解得a=2。2.解：顶点式y=2(x-1)²-1，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-1）。3.解：判别式Δ=4²-4m(m-1)=16-4m²+4m=4(4+m-m²)>0，解得-1<m<4且m≠0。4.解：顶点式y=a(x-2)²+k，代入（1，0）得0=a(1-2)²+k，k=-a。代入（3，0）得0=a(3-2)²-k，k=a。解得a=1/2，k=-1/2，y=(x-2)²-1/2=x²-4x+7/2。5.