2021数学二期中试卷（含答案详解）

2021数学二期中试卷（含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且f(1)=2，f'(1)=-1，则a，b，c的值分别为（）A.a=1，b=-3，c=0B.a=-1，b=1，c=2C.a=2，b=-4，c=5D.a=-2，b=5，c=-3解析：由f'(1)=-1可得2a+b=-1，又f(1)=2可得a+b+c=2，联立方程组解得a=-2，b=5，c=-3。故选D。2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，cosC=1/2，则△ABC的面积S为（）A.3√3B.4√3C.6D.3√2解析：由cosC=1/2可得C=π/3，根据余弦定理可得c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，故c=√13。所以△ABC的面积S=1/2×3×4×sin(π/3)=6√3。故选A。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则a_5的值为（）A.21B.25C.29D.33解析：当n=1时，a_1=S_1=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。所以a_5=2×5=10。故选B。4.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则圆O在x轴上截得的弦长为（）A.3√2B.6C.3√3D.9解析：圆O在x轴上的截距为y=0时，x满足(x-1)^2+(-2)^2=9，即(x-1)^2=5，解得x=1±√5，所以弦长为|2√5|=2√5。故选A。5.已知函数f(x)=log_2(x^2-ax+3)，若f(x)在(1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(-∞，-2)B.(-2，2)C.(2，+∞)D.[-2，2]解析：函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，则x^2-ax+3在(1，+∞)上单调递增且大于0，即a≤2x-√(x^2-3)对x∈(1，+∞)恒成立。令g(x)=2x-√(x^2-3)，则g'(x)=2-1/(2√(x^2-3))>0，所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，故g(x)>g(1)=2-√2，所以a≤2-√2。故选A。6.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_10=100，S_20=380，则a_12的值为（）A.19B.38C.57D.76解析：根据等差数列性质，S_10，S_20-S_10，S_30-S_20成等差数列，即100，280，S_30-380成等差数列，所以280=100+(S_30-380)/2，解得S_30=660。又S_10=10(a_1+a_{10})=100，所以a_1+a_{10}=10，同理S_30=30(a_1+a_{30})=660，所以a_1+a_{30}=22，所以a_{20}=(a_1+a_{30})/2=11。所以a_12=a_1+11d=19。故选A。7.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1处取得极值，则a，b的值分别为（）A.a=3，b=-1B.a=-3，b=1C.a=2，b=0D.a=-2，b=-1解析：由f'(x)=3x^2-2ax+b可得f'(1)=3-2a+b=0，f'(-1)=3+2a+b=0，联立方程组解得a=0，b=-3。故选D。8.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆C的圆心到直线3x-4y+5=0的距离为（）A.√5B.1C.2D.3解析：圆C的圆心为(1，-2)，半径为√(1^2+(-2)^2-(-3))=√6，圆心到直线3x-4y+5=0的距离为|3×1-4×(-2)+5|/√(3^2+(-4)^2)=15/5=3。故选D。9.已知函数f(x)=sin^2x+cosx，则f(x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.4πD.1/2π解析：f(x)=sin^2x+cosx=1-cos^2x+cosx=-cos^2x+cosx+1，令t=cosx，则g(t)=-t^2+t+1，g(t)的最小正周期为2π。故选B。10.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.0D.-1解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为|-2-1|=3。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=√7，c=3，则cosB的值为_________。解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+9-7)/(2×2×3)=3/12=1/4。参考答案：1/42.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^