小学六年级数学奥数行程问题精讲导学案

小学六年级数学奥数行程问题精讲导学案

一、课程定位与顶层设计

（一）学科与学段

本导学案适用于小学六年级下学期数学学科奥林匹克竞赛拓展课程，基于人教版小学数学六年级下册教材，深度融合“综合与实践”领域核心素养要求，定位为跨学科视域下的高阶思维训练课。

（二）课时安排

总课时：3课时（每课时40分钟），第1课时聚焦基础模型建构与单一场景分析，第2课时侧重多情境复合问题与策略优化，第3课时为跨学科项目式探究与自主命题挑战。

（三）授课对象

具备基本分数、百分数及简易方程运算能力，已完成人教版六年级下册“比例”“鸽巢问题”等单元学习，对行程问题有初步感性认识（如速度、时间、路程关系），但尚未系统建构数学模型、未经历复杂变量分析与数形结合深度迁移的六年级学生。

二、教学内容深度解析

行程问题是研究物体运动速度、时间与路程三者关系的经典数学模型，在奥数体系中占据核心地位。本讲以人教版教材“速度×时间=路程”为原点，向追及、相遇、环形、列车过桥、流水行船、多次往返及变速运动等七大类型辐射，旨在通过“一题多变、多题归一”的方式，帮助学生完成从算术思维到代数思维、从单一模型到变式网络的跃升。内容涵盖【非常重要】【高频考点】的相遇追及综合问题，【重要】【热点】的环形与列车问题，以及【一般】但极具思维价值的流水与变速问题。

三、学情精准画像

六年级学生处于皮亚杰认知发展阶段中的“形式运算阶段”初期，具备假设演绎推理能力萌芽，但在处理多个运动对象、非匀速状态及抽象单位“1”时仍存在认知断层。日常教学中，学生往往机械套用公式（如相遇时间=路程和÷速度和），而未能真正理解“相对速度”“参照系转换”等本质概念。因此，本设计着力打破公式化记忆，通过可视化工具（动态线段图、时间轴）与“伪代码”逻辑描述，促使学生从“解题”走向“解决问题”。

四、核心素养目标

（一）数学抽象

能从现实情境中剥离出速度、时间、路程三要素，将文字表述转化为符号化线段图，【重要】建立运动模型的基本范式。

（二）逻辑推理

通过追及与相遇问题的对称性分析，【非常重要】推导相对速度公式在顺逆不同方向中的统一表达式，理解“和”与“差”的几何意义。

（三）数学建模

在环形跑道、列车过桥等变式情境中，【高频考点】将非标准路程转化为标准模型，掌握将复杂运动拆分为基本单元的策略。

（四）直观想象

利用GeoGebra动态演示或手绘线段时轴，【一般】在脑中形成运动影像，实现数形互译。

（五）跨学科融合

结合物理学科“参照物”概念与信息科技“算法流程图”思想，【热点】在流水行船问题中理解“水速影响”本质，在多次相遇中体会“迭代”与“周期”的数学美。

五、教学重难点精确定位

（一）教学重点

1.相遇与追及问题中“相对速度”的深刻理解与灵活应用。【非常重要】【高频考点】

2.借助线段图精准表示运动过程，实现文字语言、图形语言与符号语言的自由转换。【重要】

（二）教学难点

3.环形跑道中“多起点”与“异时出发”问题的等效转化。【难点】

4.列车过桥问题中“路程”等于“车长+桥长”的认知突破，以及人树、人灯等参照物的类比迁移。【难点】【热点】

5.变速运动中分段分析与整体代数的辩证运用。【难点】

六、教学环境与资源准备

1.可视化工具：每位学生配备直尺、彩色铅笔；教师端预装GeoGebra动态行程演示插件。

2.学具：可抽拉的纸质“模拟列车”模型（用于演示车头进桥到车尾离桥全过程）。

3.任务单：《行程问题思维图谱》个人建构卡、《跨学科项目：设计校园微马拉松计时方案》项目手册。

4.板书设计：主板书区预留“模型树”绘制区，副板书区供学生现场生成思维轨迹。

七、教学实施过程（核心环节，含所有要点罗列与标记）

（一）第1课时：模型溯源——从基本关系到相对速度

1.情境导入：冲突激疑（约5分钟）

呈现真实生活素材：两名学生从家出发去学校，小明每分钟走70米，小红每分钟走60米，小明家距学校700米，小红家距学校480米。提问：“他们谁先到校？”学生脱口而出“小明，因为他速度快”。教师追问：“如果两人同时从家出发相向而行，相遇点更靠近谁的家？”认知冲突产生——原来“快”不一定导致“先到”，路程长短也是关键。由此引出【非常重要】核心关系式：路程=速度×时间。板书定格，并标注【高频考点】。

2.探究活动一：相遇问题的本质（约12分钟）

（1）【重要】线段图规范训练：教师示范如何用一条直线表示两地，用箭头标注运动方向，在相应位置标记已知数。要求学生独立绘制标准相遇问题线段图，并标出相遇点。纠正常见错误：将速度直接标在线段长度上（混淆路程与速度）。

（2）【非常重要】相对速度的第一次建构：提问“为什么相遇时间=总路程÷速度和？”组织小组讨论，用“1分钟两人共走多少米”作为思维脚手架。学生在任务单上写出推导过程：设相遇时间为t分，则70t+60t=总路程，即(70+60)t=总路程，所以t=总路程÷(70+60)。教师提炼：相向运动时，彼此接近的速度是两速度之和。板书“相对速度（相向）=速度和”。

（3）变式训练：出示“同时相向，甲比乙晚出发2分钟”问题。学生尝试改编线段图，将时间轴引入。教师点拨：将晚出发转化为已走路程差，转化为标准相遇模型。【热点】此类题在近年竞赛中出现频率极高，务必掌握转化思想。

3.探究活动二：追及问题的对称美学（约13分钟）

（1）【非常重要】类比猜想：引导学生将追及问题与相遇问题进行对比。提问：“相向是‘和’，同向是‘差’吗？”学生自主推导追及时间=路程差÷速度差。

（2）【难点】参照系介入：引入物理学科“参照物”概念，将慢车视为静止，则快车以（速度差）的相对速度驶向慢车。此处理解是区分优等生与普通生的分水岭，【非常重要】需结合模拟动画演示：两车同向行驶，慢车停止，快车以较慢的速度继续前进？不，应是以慢车为参照，快车速度变慢？实际演示应明确：以慢车为参照，快车速度变为（v快-v慢），路程差即为初始距离。此处学生易混淆，必须通过“相对运动”体验活动：请两位学生上讲台同向慢走，台下学生观察并描述“A相对于B”的速度。

（3）【高频考点】三人追及问题前置：呈现“甲、乙、丙三人，甲在乙后，乙在丙后，同时同向出发，甲追上乙的时间与乙追上丙的时间已知，求速度关系”。此为复杂追及的雏形，不要求当堂全解，但引导学生发现：追及链条中，相对速度可传递。

4.巩固训练：双基通关（约8分钟）

（1）【一般】基础题：两地相距300千米，客车速度80千米/时，货车速度70千米/时，同时相向而行，几小时后相距30千米？（分相遇前与相遇后两种情况，培养分类讨论意识。）

（2）【重要】辨析题：判断对错并说明理由——“追及问题中，快车速度必须大于慢车速度，否则永远追不上”。（引出速度相等时，初始距离即永恒距离，无追及）

（3）思维留白：环形跑道上，两人从同一点出发，为什么“相向”反而成了追及？制造悬念，为第2课时铺垫。

5.课堂小结与图谱初建（约2分钟）

学生在个人任务单上绘制“行程问题关系网”，目前节点：路程=速度×时间，下属相遇（和）、追及（差）。教师巡视，发现将“和”与“差”孤立记录的学员，及时引导：它们其实是参照系选择的不同，本质统一。

（二）第2课时：变式网络——从标准模型到复杂情境

1.唤醒与联结（约3分钟）

展示上一课时留白问题：环形跑道周长400米，小明速度6米/秒，小刚速度4米/秒，从同一地点同时反向出发，多久首次相遇？同时同向出发，多久首次追上？学生通过计算发现：反向相遇时间=400÷(6+4)=40秒，同向追及时间=400÷(6-4)=200秒。教师引出核心结论：【非常重要】环形问题中，反向相遇一次共走一圈，同向追上一次多走一圈。此结论必须烂熟于心，【高频考点】几乎每年奥赛必有。

2.深度建模一：环形跑道异时与多起点（约10分钟）

（1）【难点】异时出发：甲、乙从同一地点，乙先跑5秒，甲再出发同向追及。学生陷入思维困境：初始距离是多少？引导学生回到定义：追及问题的路程差，是指追及时刻两人位置差，乙先跑5秒已领先5×4=20米，这20米就是甲要追的路程差。强化：无论出发时间是否相同，追及距离就是“要弥补的落后距离”。

（2）【重要】多起点问题：如甲乙从直径两端同时反向出发。教师不直接给出公式，而是让学生尝试将直径两端转化为“路程半圈”并画出展开图。部分学生会将圆拉直为线段，两端距离200米（半圈），则转化为直线相遇。此处理解标志着空间想象能力的质变，教师应大力表扬并推广“化曲为直”策略。

3.深度建模二：列车过桥与参照系迁移（约12分钟）

（1）【非常重要】【高频考点】车长问题突破：使用列车模型学具，一名学生手持模型车匀速通过“桥”（两摞书）。其他学生观察：车头刚到桥头开始计时，车尾离开桥尾结束，路程是多少？学生脱口而出“桥长”。教师将车停在桥上，指出：车尾还在桥外，车头已出桥——哦，实际是车头走了“桥长+车长”。立刻请学生用红色笔在任务单的线段图上标出“车头轨迹”，彻底解决“多走了车长”这一顽固误区。

（2）【热点】人树问题与车长问题同构：一个人经过一棵树，路程等于车长？不，人是质点，车是长物体。对比辨析：人经过树，路程是0？实际上，人从头到脚通过树的位置，但树是点，人的长度可忽略。引申：当物体长度不可忽略时，路程必须加上物体自身长度。反之，如“某人经过信号杆”，则视信号杆为点，路程即人长（若人长不可忽略）。此部分思维跳跃极大，【难点】需通过大量类比强化。

（3）错例急诊室：展示典型错解——“一座桥长1500米，一列火车长300米，速度30米/秒，求车头进桥到车尾离桥时间”。错解为1500÷30=50秒。学生充当“小老师”分析：漏加了车长。正确：时间=(1500+300)÷30=60秒。随后立刻变式：车尾进桥到车头离桥？整列火车在桥上？层层递进，穷尽所有可能性。【非常重要】确保学生见到“过桥”二字，第一反应就是画车图。

4.深度建模三：流水行船——绝对运动与相对运动的博弈（约8分钟）

（1）【一般】顺水逆水公式推导：学生基于生活经验，不难得出顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速。重点在于理解“船速”是静水速度，是船本身的动力。教师设问：若水速大于船速，逆水还能前进吗？引出反向倒退的极端情况，培养批判性思维。

（2）【重要】经典题型：救生圈落水问题。船从A点逆流而上，发现救生圈落水立即掉头顺流追及，已知船速水速恒定，从落水到发现相隔t时间，问追上救生圈需多久？此题为奥数经典，学生常误以为复杂。教师引导：以水为参照系，救生圈静止，船先以船速远离，再以船速靠近，所以时间相等。此处理解是【热点】“参照系变换”的巅峰应用，可大幅简化计算。此处放慢节奏，确保至少80%学生领会。

5.综合闯关：多情境复合问题（约5分钟）

呈现：【非常重要】【高频考点】相遇追及复合题——客货两车分别从甲乙两地同时相对开出，途中相遇后继续前行，货车到达甲地后立即返回，在距乙地某距离处追上客车。此题融合相遇、完全程、追及三个过程。学生分组，用三色笔分别画出三段运动轨迹，教师巡视，挑选典型图在白板上展示。不要求列式完整，但要求能说出“哪个过程用速度和，哪个过程用速度差”。

6.微项目启动：校园微马拉松计时方案设计（约2分钟）

发布跨学科任务：为学校“校园定向跑”设计一个公平的计时方案。不同年级学生速度不同，路线包含直道、环形、折返段。要求利用本课时所学，至少解决“不同时出发如何抵消时间差”或“环形路段如何确定圈数”中的一个问题。此任务为【一般】拓展，旨在学以致用。

（三）第3课时：思维跃升——变速、多次相遇与自主建模

1.进阶挑战一：分段变速问题（约10分钟）

（1）【难点】前段后段速度不同：一辆汽车从甲地到乙地，前一半路程速度为v1，后一半路程速度为v2，求平均速度。学生易错为(v1+v2)/2。教师不直接纠错，而是让学生代入具体数值计算并发现矛盾。进而推导平均速度=总路程÷总时间=2v1v2/(v1+v2)。【重要】强调平均速度不是速度的平均，调和平均在此登场。

（2）【热点】时间分段型：前一半时间速度为v1，后一半时间速度为v2。学生类比得到平均速度=(v1+v2)/2。对比两种分段，归纳：按路程分段必用调和，按时间分段必用算术平均。

（3）【非常重要】复杂变速相遇：两人从两地出发，一人先快后慢，一人匀速，何时相遇？引导学生将变速段拆分为匀速子段，化整为零。这为中学物理打基础。

2.进阶挑战二：多次相遇与周期规律（约12分钟）

（1）【非常重要】【高频考点】两端出发多次相遇：甲乙第一次相遇共走1个全程；第二次相遇，从第一次相遇到第二次相遇共走2个全程。结论：从出发到第n次相遇，两人共走(2n-1)个全程。此规律是奥数必杀技，必须通过动画演示让学生看到路径叠加。

（2）【重要】环形多次相遇：从同一点出发，第n次相遇（反向）共走n圈；第n次追及（同向）快车比慢车多走n圈。引导学生发现：这是直线多次相遇特例（环形首尾相连）。

（3）【难点】往返接应问题：甲从A到B，乙从B到A，同时出发，到达对方起点后立即返回，如此反复，求第n次相遇点位置。此问题结合比例思想，将时间转化为路程比，利用全程份数定位。学生需在任务单上画折线图，并用彩笔标记奇数次、偶数次相遇点的对称性。

3.项目式学习：校园微马拉松方案深度打磨（约10分钟）

（1）小组合作：各小组从“直道折返计圈”“环形跑道追及”“不同速度起跑延迟”中任选子课题，运用本讲所学，设计具体解决方案。教师提供数据模板：六年级速度5米/秒，四年级速度4米/秒，路线总长600米（含200米环形+400米直道）。

（2）成果片段示例：某小组提出“四年级提前出发时间=环形段周长÷速度差×（六年级速度-四年级速度）……”虽不完全准确，但已尝试迁移追及公式。教师点评，引导修正。

（3）跨学科延伸：引入体育裁判规则中“梯形起跑”原理，与环形追及公式惊人一致。学生惊叹数学之普适性。

4.自主命题与图谱完善（约6分钟）

（1）【一般】挑战：每人原创一道行程问题，要求融合至少两个本讲所学模型（如“列车过桥+环形追及”“流水行船+多次相遇”），并附解答。优秀题目入选班级《奥数思维题库》。

（2）建构终极图谱：学生在任务单上完善“行程问题模型树”。主干：路程=速度×时间。分支：相向（和）、同向（差）。次分支：直线（单次、多次）、环形（单次、多次）、带长度（列车）、带外力（流水）、变速（分段）。教师展示若干优秀图谱，强调知识结构化对【重要】解题迁移的决定性作用。

5.全课总结与元认知反思（约2分钟）

提问：“回顾三节课，你认为解决行程问题最关键的能力是什么？”学生回答：“画图”“找相对速度”“转化”。教师总结：行程问题千变万化，不变的是“运动三要素”和“参照系选择”。用数学家的眼光看运动，万物皆可比，万变不离其宗。

八、板书设计（结构化布局）

左区：公式树

——基干：s=v×t

——枝1：相向→v和→t遇=s总÷v和

——枝2：同向→v差→t追=s差÷v差

——枝3：环形→反向遇1圈，同向追1圈

——枝4：过桥→s总=桥长+车长

——枝5：流水→v顺=v船+v水，v逆=v船-v水

右区：思想花

——参照系变换（以静制动）

——化曲为直

——分段与整体

——数形结合（线段图黄金法则）

中区：留白学生生成区

——第2课时生成“环形异时展开图”

——第3课时生成“多次相遇折线图”

九、作业设计（分层弹性）

（一）基础