河南省南阳市宛城区等2地2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

河南省南阳市宛城区等2地2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合,则(

)A. B. C. D.2．函数的图象与直线的公共点有(

)A.0个 B.1个 C.0或1个 D.无数个3．向量,,则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．若直线与直线垂直,则(

)A.或0 B. C.或2 D.5．已知角的终边在直线上,则的值是(

)A. B. C. D.6．在直角梯形中,已知,,,点F是边靠近B点的三等分点,点E是边上一个动点.则的取值范围是(

)A. B. C. D.7．设m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题：①若,,则②若,,则③若,,则④若,,则其中正确命题的序号是(

)A.①② B.②③ C.③④ D.①④8．若满足,的有两个,则边长的取值范围为A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．如图所示,下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态,图(2)形成“右拖尾”形态,图(3)形成“左拖尾”形态,根据所给图象作出以下判断,正确的是(

)A.图(1)的平均数中位数众数B.图(2)的众数平均数中位数C.图(2)的众数中位数平均数D.图(3)的中位数平均数众数10．小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是(

)A.小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96B.小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5C.小荣这两个月的30次训练成绩的方差为2.5D.小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.511．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到函数的图象,则(

)A.的图象的对称轴方程为B.的图象的对称中心坐标为C.的单调递增区间为D.的单调递减区间为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．一个圆锥的侧面展开图是半径为2,圆心角为的扇形,则该圆锥的表面积为_______________.13．已知函数,则______________.14．已知都是锐角,且,,,则________________________________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有.(1)求的值；(2)求证：在R上为增函数；16．（15分）已知a是正实数,函数,如果函数在区间上有零点,求a的取值范围.17．（15分）如图所示,四棱锥的底面为直角梯形,,,,,底面,E为的中点.(1)求证：平面平面(2)求直线与平面所成的角的正弦值.18．（17分）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若,其中,求的值.19．（17分）已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面.(1)求证：平面；(2)若，平面与平面的交线为l，求直线l与直线所成角的余弦值；(3)若E为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求.参考答案1．答案：D解析：因为,所以,故选：D.2．答案：C解析：当在函数的定义域内时,函数的图象与直线有一个公共点；当不在定义域内时,函数的图象与直线没有公共点.故选：C.3．答案：A解析：先讨论充分性,当时,,,此时,,,充分性成立；再讨论必要性,当时,,即,,解得或,必要性不成立.综上,“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．答案：B解析：因为直线与直线垂直,所以,解得：,故选：B.5．答案：C解析：因为角的终边在直线上,所以,所以.故选：C.6．答案：D解析：如图,以点A为原点,分别以,所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系,依题意,有,,,,设,则,且,,,因,当时,,当时,,故.故选：D.7．答案：B解析：对于①,且成立,m,n可能平行,异面或者相交,①错误；对于②,由且,得,又,则,②正确；对于③,由,得存在过直线n与平面相交的平面,令交线为l,则,而,于是,,③正确；对于④,若,,可能平行,也可能相交,④错误.故选：B.8．答案：D解析：因为,所以,,,因此,,,故选：D.9．答案：AC解析：图(1)的分布直方图是对称的,平均数中位数众数,A正确；图(2)众数最小,右拖尾平均数大于中位数,B错误,C正确；图(3)左拖尾众数最大,平均数小于中位数,D错误.故选：AC.10．答案：AD解析：由题意可得小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为，则他这两个月的30次训练成绩的方差为.故选：AD11．答案：AC解析：的图象上所有点向左平移个单位长度,得到,再向上平移4个单位长度后得到,A.令,解得,函数的对称轴是,故A正确；B.令,解得：,所以函数的对称中心,故B不正确；C.令,解得：,所以函数的单调递增区间是,故C正确；D.令,解得：,所以函数单调递减区间是,,故D不正确.故选：AC.12．答案：解析：设圆锥的底面半径为r,由题意可得：,解得,所以圆锥的表面积为.故答案为：.13．答案：解析：因为,所以,故答案为：.14．答案：解析：因为,,所以,因为,所以,因为,所以,因为,所以,所以,所以,故答案为：.15．答案：(1)(2)证明见解析解析：（1）由，故此令，则，则.（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，则，所以，由得，所以，故，即，故此函数为R上增函数.16．答案：解析：①函数在区间上只有一个零点,此时或解得或（舍）②函数在区间上有两个零点,此时解得或（舍）综上所述,如果函数在区间上有零点,那么实数a的取值范围为.17．答案：(1)证明祥见解析(2).解析：试题(1)以点C为坐标原点,以直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,.,,,,,,,又,平面,平面,平面,平面,平面平面(2),,设是平面的一个法向量,则,,令,则,,即,,,,.直线与平面所成角的正弦值为.18．答案：(1)单调递增区间为(2).解析：(1)因为所以.令,得函数的单调递增区间为.(2)若,则,因为,所以,所以..19．答案：(1)证明见解析(2)(3)或解析：（1）在四棱锥中，连接，，由平面，平面，得，由正方形，得，而，平面，所以平面.（2）由正方形，得，而平面，平面，则平面，又平面，平面平面，因此.直线l与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角.由平面，平面，得，而，，平面，则平面.又平面，因此，，则，