陕西省西安市多校联考2027届高三上学期8月测试数学试卷（含解析）

陕西西安市多校2026-2027学年高三上学期8月测试数学试卷一、单选题1．设集合，则（

）A． B． C． D．2．椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．若曲线（）关于原点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．若是周期为的函数，且当时，，则（

）A． B．C． D．5．若一组样本数据的中位数为，则这组样本数据的极差的取值范围是（

）A． B． C． D．6．若复数，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，则（

）A． B． C． D．57．若向量与的夹角为，，为随机变量，且，设，则的数学期望为（

）A． B． C． D．8．已知点在正方形的外部，平面，，，则当取得最大值时，正方形的边长为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知抛物线，的焦点分别为，，则（

）A． B．与有两个交点C．的准线方程为 D．点到的准线的距离为410．在三棱台中，底面，，，，且，与底面所成的角分别为，，则（）A． B．C．三棱台的体积为 D．以为球心，为半径的球与棱无公共点11．若函数的图象在点处的切线斜率为，则（

）A． B．的零点之和为10C． D．是大于1800的偶数三、填空题12．若，则__________，__________．13．《虞美人·春花秋月何时了》是“千古词帝”李煜的代表作，此词在后世收获极高评价，其内容如下：春花秋月何时了？往事知多少．小楼昨夜又东风，故国不堪回首月明中．雕栏玉砌应犹在，只是朱颜改．问君能有几多愁？恰似一江春水向东流．此词共有8行，若从这8行中任意选取3行，则至少有1行出现“春”字或“月”字的概率为__________．14．直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________四、解答题15．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若恒成立，求的最大值．16．如图，在三棱锥中，，，，，．(1)证明：平面平面．(2)证明：直线，，两两垂直．(3)若，，求平面与平面所成角的正弦值．17．已知数列满足，且．(1)证明为等比数列，并求的通项公式；(2)设集合且，记中元素的个数为，求数列的前项和．18．已知甲选择参加A，B工厂面试的概率分别为，，乙选择参加A，B工厂面试的概率分别为，．设甲选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，乙选择参加A工厂面试与选择参加B工厂面试相互独立，且甲的选择与乙的选择互不影响．(1)求甲和乙都选择参加A工厂面试的概率；(2)设甲、乙两人中至少参加A，B工厂中的一个工厂面试的人数为，求的分布列；(3)已知，甲和乙通过A工厂面试的概率分别为，，甲和乙通过B工厂面试的概率分别为，，且两人面试通过与否相互独立，在甲选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，甲通过面试的概率为，在乙选择参加面试的工厂只有A或B其中1个的前提下，乙通过面试的概率为，若，求的取值范围．19．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为．(1)求的方程．(2)设点，，过点的直线与交于，两点，点，均在轴上，且与，均不重合，，直线，，，的斜率之积为．（i）证明：直线与的斜率之和为定值．（ii）求与的面积之和的最小值．1．D【详解】因为，所以.2．A【详解】由题意椭圆的标准方程为，所以，，所以，则.3．D【详解】由题意可得，解得，又因为，所以的最小值为.4．A【详解】因为是周期为的函数，且当时，，所以.5．C【详解】由题意知，数据，共有7个数据组成，根据数据中位数的定义，可得数据的中位数为第4个数据，将数据除去，剩余的数据排序为，要使得7个数据的中位数为，即为第4个数据，若，则排序后第4位为，这与中位数为矛盾，舍去；若，则排序后数据为，此时满足数据的中位数为，符合题意；当时，排序后的第4位为，这与中位数为矛盾，舍去，综上可得，实数满足，所以数列的极差为.6．B【详解】由题意得复数，在复平面内对应的点分别为，，由于，，在复平面内对应的三个点构成一个正三角形，如图所示，复数在复平面内对应的点为或，显然两种情况对应的值相等，不妨只考虑对应点的情况，过点作轴于点，由于，则，，故点的坐标为，因此．7．C【详解】，因为与的夹角为，，所以，，所以，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，​当时，，，，所以.8．B【详解】将按点顺时针旋转成，连接，可知为等腰直角三角形，，，因为，根据三角形边长间的关系可知，，可知当三点一线时最大.因为，所以，解得.9．ABD【详解】由抛物线，可得，所以，所以的焦点坐标为，准线方程为，所以C错误；又由抛物线，可得，所以，所以的焦点坐标为，准线方程为，可得，所以A正确；联立方程组，解得或，所以抛物线和有两个公共点，交点坐标分别为，所以B正确；由且抛物线准线方程为，可得点到的准线的距离为，所以D正确.10．AC【详解】在三棱台中，因为底面，且上、下底面平行，所以也是三棱台的高，因为，且，所以，即也是直角三角形.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.已知，，且相似比为，所以下底面的边是上底面对应边的2倍，点的坐标为，点的坐标为，其中，侧棱在底面上的投影为到在底面投影的距离，即投影长度为，已知与底面所成的角为，可得：，所以，选项A正确；设点的坐标为，则点的坐标为，侧棱在底面上的投影长度为，已知与底面所成的角为，根据正切关系：即的坐标为，，所以，而不是，选项B错误；三棱台下底面积，三棱台上底面积，由三棱台的体积公式得：，选项C正确；已知点，点，所以，设点为线段上的一点，有，其中，即，解得：，故，其中，球心到点的距离平方为：，当时，距离平方取得最小值，即最小距离，因为最小距离等于球的半径，所以球与棱恰好相切，即存在唯一的公共点（切点），选项D错误.11．BCD【详解】已知，则，所以，所以，A错误；，，所以，C正确；函数的零点有，所以零点之和为10，B正确；当时，，则，则，，由，解得，所以，D正确.12．7【详解】，.13．【详解】8行诗中有5行诗中没有“春”、“月”，所以至少有1行出现“春”字或“月”字的概率为.14．【详解】点到直线的距离为：，直线：绕着点旋转一周所不能经过的点，等价于到该点的距离小于点到直线的距离，即不能经过的点构成的平面区域是一个以点为圆心，以为半径的圆的内部，则不能经过的点构成的平面区域的面积为：.15．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为(2)2【详解】（1）易得的定义域为，，当时，，单调递减；当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）知，，因为恒成立，所以，解得.故的最大值为2.16．(1)证明：因为，，所以，则，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；(2)证明：因为，，平面，所以平面，又平面，所以，由（1）知．又，所以直线，，两两垂直；(3)【详解】（1）略（2）略（3）以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，易知平面的一个法向量为，由，得平面与平面所成角的正弦值为.17．(1)因为，所以，又，所以所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，则；(2).【详解】（1）略（2）由（1）知，若，则，又，所以，则为偶数，从而为奇数，由，得，则，从而，所以.18．(1)(2)的分布列为012(3)【详解】（1）设事件“甲选择参加A工厂面试”，“甲选择参加B工厂面试”，则，，设事件“乙选择参加A工厂面试”，“乙选择参加B工厂面试”，则，．故甲和乙都选择参加A工厂面试的概率.（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，则，，.故的分布列为012（3）设事件“甲只选择参加A或B其中1个工厂面试”，“乙只选择参加A或B其中1个工厂面试”，则，.设事件“面试通过”，则，，则，，若，则，解得.又，，所以的取值范围是.19．(1)（）(2)（i）设（，），则，即，则，同理可得，因为，所以，所以．又，所以，则，故直线与的斜率之和为定值.（ii