【《数列极限在数学中的实际应用分析案例》3700字】

数列极限在数学中的实际应用分析案例目录TOC\o"1-3"\h\u31018数列极限在数学中的实际应用分析案例 13681.1数列极限在定积分中的应用 1256941.2数列极限在柯西收敛准则中的应用 2124861.3数列极限在几何问题中的应用 4293521.3.1利用极限法求解圆的面积 4255081.3.2利用数列极限求抛物线与直线所围成的面积 5104921.4利用数列极限求方程的数值解 61.1数列极限在定积分中的应用首先我们先给出黎曼积分的定义，即：设是定义在上的一个函数，而为一个确定的数，若对任给的一个正数,总是存在某一个正数,即：，使得在上对任意的分割，在其上任意选取一个点集，即，要，就有则称函数在上（黎曼）可积，而数为函数在上的定积分，记作[3].我们在求解部分数列极限时，有时候需要用到定积分的定义去具体求解数列极限的问题，下面我们通过例题来看数列极限是如何应用到定积分上的。例6.求极限.先分析这个例题，可以看到这个例题中每一项中都有n，显然我们首先考虑到的是否能用定积分来解决这个问题，下面我们来看具体的解题过程：解：因为，又同理所以由迫敛性得由上述的例题我们已经可以清楚地看到，在求解极限问题中时定积分的思想是在极限中的一种应用，进而找到他们之间的内在联系。在我们求解一个极限问题时，我们是将数列极限的表达式的整体通过转化成积分的形态，从而充分体现了定积分在极限求解过程中应用的重要性。当我们在实际应用定积分来帮助解决极限问题时我们首先应该注意以下两个问题，其一，这个极限必须要是一个无穷项和的极限，在经过一系列的恒等变形之后都能够转化成为一个定积分的表达式；其二，在应用定积分的方法来研究解决极限的问题时，我们还需要再考虑使用其它几种求极限的计算方法和手段，如极限的迫敛性和关于重要极限的一些结论等。这样才能更好的方便我们解决问题，达到事半功倍的效果。1.2数列极限在柯西收敛准则中的应用柯西收敛准则的基本定义[1]：数列收敛的充要条件是对∀ε>0，总存在自然数，使得当都大于时,都有an−am上述定义中，我们需要注意到的一个问题是，在实数域中，该准则只是数列极限的一个充分不必要条件。在我们运用柯西收敛准则来计算极限时，我们可以不用确定这个数列的极限是否存在，从理论上就已经可以大致反映出一个数列极限的存在问题，通过对问题的分析，我们可以知道：通过对于一个收敛的数列来分析，收敛数列各项的值越到后面，各项便越是非常接近，直至达到这样一种收敛的形态，也就说是后面的任何两项之差的绝对值都能够小于给定的一个任意正数，所以，我们在选择该准则时，首先我们可以用这个准则来判断数列的收敛性，如果我们可以通过证明的方法来进行证明，那是最好不过的了，最后再考虑如何去求解这个数列的极限。在实数域中，我们经常会使用到下面六个基本定理，即确界定理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则等，我们只要知道了任意一个基本定理，就能够推出另外的五个基本定理。因此，柯西收敛准则在求取一个数列极限的方法上与单调有界定理求取数列极限有很大的相似之处，即都是要首先确定这个数列的极限是存在的，再利用相应的定理去求解它。在这里，我们还需要特别注意一点，有的数列的极限不一定会存在，即数列的极限可能不是一个具体的数值，但是，当我们在运用柯西收敛准则时，我们就能够很容易的判断出数列是否收敛或者发散，这样的话，我们就可以知道该数列存在与否。下面我们来看看在下列题型中如何应用柯西收敛准则在数列中的计算。例7.用柯西收敛准则证明数列收敛，即：.先来分析这个例题，显然我们经过其它的一些方法来尝试证明其收敛时，都无法解答，由此我们想到了用柯西收敛准则来进行证明，但在使用该准则进行证明时，柯西收敛的准则的要求是对∀ε>0，总存在自然数，使得都大于,都有an−a证明：由题意可知，对，不妨就取，则对，有，所以只需要当时，即：，恒有，由柯西收敛准则可知这个数列收敛。1.3数列极限在几何问题中的应用1.3.1利用极限法求解圆的面积在我国古代刘徽发现了在《九章算术》中“周三径一”的方法来计算圆周没有精准度，由此创立了割圆术来计算圆的面积，这个方法是刘徽利用逐步二分的方法来分割圆周，最后来求圆的面积。首先第一点就是把这个圆周平均的分成了6份，然后再通过连接各个顶点以后构成了圆内接正六边形，他又接着把这6段相等的圆弧平均的的又划分为了两份，这就便构成了圆内的一个正十二边形，照这样下去，就会被割得越来越细，正多边形和圆的周长的误差就会越来越小，直至和圆的周长重合，这就是所谓的“割圆术”的具体做法，其实这也就是运用了极限的一种思想，在具体的求解极限的过程中实际上也就是得到了这样的一组数列，即：S6为了简便地计算我们可以假设圆的半径是，在圆内接的一个正边形中它的任意一条边所对应的圆心角是，我们可以首先计算出其中一个三角形的面积（利用求三角形面积的其中一个两边夹角的公式，即:），然后就可以得到这个正六边形的面积，面积如下：.当无限的增大时，经过了无数次的切割之后，这个内接正边形的形状就会无限的接近于圆的形状，这个时候它的面积也是在无限的接近于圆的面积。也即就是用有限的去表示无限的思想，无论这个有多么的大，很明显得到的结果其实也就是一个近似值，但是随着无限增大的时候，我们就可以得到了圆面积的一个精确值，得到的正是我们想要的结果，这也是极限的思想的独特的一点。这个极限的求法需要用到函数的极限来辅助求解，当时，有即当无限减小时，的图像与直线是重合的，在这种情况下，我们可以用的值来代替,以在某些领域做近似计算，那么我们可以得到：，于是，当时，此时，即上式，则可得到圆的面积：.1.3.2利用数列极限求抛物线与直线所围成的面积在解决下述问题的前提下，首先得知道微元法，所谓的微元法也就是将要所要研究的对象不断的进行一个无限的细分，然后接着从其中抽取某一段微小的部分来着重进行讨论和研究。再通过我们对图像的分析，找出其中被研究对象整体变化规律的一种方法。很显然，这种计算方法主要体现出来的就是一种具有极限的思想，然后通过我们自己所学的一些数学知识中的思维和方法去分析和解决实际的问题，其中，我们最常用的方法也就是分割，近似求和，取极限，来求解问题，最后将问题简单化。有了这个方法，下面我们将以实例来求解这种类型的几何问题，在解决几何应用问题时，我们最好通过数形结合的办法来解决，如求与y=0和x=1围成的面积时，首先我们根据题意画出相关的图形（见图1）。图1在这个问题中将其在区间中等分成个小区间，即：0,1n，1n,2n，…,n−1n则这个小矩形的面积之和是：.我们不妨就定义这样的一个数列，可以看到对于每个，它都小于需要求得的“面积”，而且这两者之间的差别都不会大于长为1，宽为的矩形面积，也即，所以，当随着越来越大的时候，也将会无限接近于我们想要求的“面积”，因此，我们可以定义此面积为：.可以看到使用这种定义面积并求解面积的方法既朴素又很简单，是数列极限在数学解题中的一大应用.1.4利用数列极限求方程的数值解我们都知道2这个数，它是一个无理数，那么我们如何运用有理数的方法来无限地逼近2这个数，以此来帮助我们达到事先就已经确定的的精确度，这个问题是我们现在所要解决的一个难题，然而2就是二次方程的一个正根，所以这个问题我们也就可以说成是“求解方程的数值解”。想要真正彻底解决这个求方程数值解的问题，首先，我们必须得要将这个问题重新进行描述，如下：若假设任意给定的一个数，求这个数的近似值，对于一个给定的的一个近似值，即：，在以下两个为正数的和中，我们肯定其中有一个大于，而另外一个小于，当正好也就是的这时候，那么我们就可以有理由指望这两个数的算术平均值，即：当时，它的值可能更加靠近，这样我们能够得到一个期望较好的一个近似值，不妨我们先来看下列式子就比较清楚了。.可以看出：不论这个初值如何，很明显得出的第一次近似值就是过剩近似值，我们不妨就设这个初值本身就是一个过剩近似值，则有x0>x0.由这个不等式我们可以知道：第一次近似值到的距离至多是初值到的距离的一半。当我们再接着重复上述的步骤以后，便会产生一系列的数列其中：由此：.可见这个结果就是，不论这个有多么大，这个数值与的距离我们想要多小它就就有多么小。让我们一起来看看在实践中应用时带来的快捷和便利性，设想我们所要求的是2的一个近似值，我们也不妨就随机地选择其初值（但是这是相当粗糙的一个近似值），不过要达到一个较为精确的近似值，还得考虑利用迭代法来计算近似值，而迭代法就是通过使用递推公式或者循环算法等方法来构造序列来进行求解近似解的一种理论方法，通过反复进行计算的过程，来逐次无限的逼近近似值，如此下去就可以得到一个非常理想的近似值，下面