线性变换的标准形思考题

线性变换的标准形思考题

1.下列结论是否对的

1)若阶矩阵的特性多项式有重根，则不能与对角矩阵相似。

错例如，的特性多项式有重根，与对角矩阵相似。

2)若两个同级矩阵的特性值都相同，并且与对角阵相似，则也

必与相似。

错例如的特性值都相同，并且与对角阵相似，但是与不

相似。

3)一个〃级兄-矩阵4(4)是可逆矩阵的充要条件是行列式

|A(2)|w0.

<2-12、。2+1、

错例如A(4)=,仇㈤=

01

\vA/,017

|A(2)|=A-1^0,|B(Z)|=1^0,

假定是可逆矩阵，

f/1-I2丫%(㈤和(诵<10)

A(A)CU)=

01人见。)%。”。V

则矛盾。所以不是可逆矩阵，是可逆矩阵,

4+1、Q-4-1、

8(2尸

1，、01)

4)设,则的初等因子是

错由于尤+l=(4+i)(/l—i),所以1+1不是A的初等因子。

，01Y0n

A2+E=0,AwO,

、一；—"

\X10v八八oV；\、0V-1A7；

所以是的最小多项式，是的初等因子。

5)设2阶方阵A的特性多项式为(％-1)z,Aw瓦则A的最小多项式

是(2-1)2.

对由于A的特性多项式为(A—1)2,(A—石)2=0,但A-石W0,

所以(4-是A的最小多项式。

6)设是复矩阵，为的最后一个不变因子，则与具有相

同的根集(即仅重数不同)。

对由于f(A)=\AE-A\=di(团《(X)・・・《(㈤,所以＜(2)的根

集包含在/(㈤的根集中。

设是的根，则

存在"，(㈤使(4—a)”。).

由于4(2)14。),n(%-W),

所以是的根，的根集包含在的根集中。

/(㈤与4(2)具有相同的根集。

2.求的最小多项式，并说明是否相似于对角阵？

解由于

'A0-2}(00尤-4、

ZE-A=02-20-02-20

2J1-2

「200Z,

2

D3(A)=(A-2)(A4-2),£>2(A)=2-2,&(/1)=(4-2)(4+2),

所以4的最小多项式“(4)=(2—2)(2+2).

由于的最小多项式无重根，相似于对角阵。

3.设，，则相似于主对角线上元素为3或・1的对角矩阵。

证由于，是的零化多项式。

的最小多项式只也许是中的某一个，因而的特性值为3.-1.

由于的最小多项式没有重根，则相似于对角矩阵，该对角矩阵主

对角线上元素为特性值，所以相似于主对角线上元素为3或・1的对角

矩阵。

4.设，的阶行列式因子是次多项式，则是一个数量矩阵。

证由于是级方阵，的阶行列式因子是次多项式，则的最

后一个不变因子是1次多项式。

设d(㈤=之一匕则A-攵E=0,A=是数量矩阵。

5.证明：任一个复方阵均可分解为：其中为幕零矩阵，相似

于对角矩阵，并且

证设是级方阵，相似于若当标准形其中

"E+E、

4区+s?

J.=IAtEI+S17,

4耳+SJ

令

3

4纥s

B=TT,C=T1T,

%

A=T]JT=B+C.

设是若当块矩阵的最大阶数，则为幕零矩阵,相似于对角矩

阵。

s

BC=T]2T=CB.

6.证明n阶方阵相似于对角矩阵相应的线性变换A关于所有不

同特性值的特性子空间的维数之和为

证设A在基下的矩阵为，的特性多项式是，

/（㈤=（%—4）“。—4）“・・・（；i—4）、其中44，・・・，4是A的互不

相同的特性值。

(n)假如A相似于对角矩阵。，

’3、

,大瓦

D=T-'AT=22.,

*

令(6,%…,%)=(与,G，…，J"，则

/(玛，…，际，…，*…，％)=9”，…，际，…，％…，％)3

/(%)=4%,i=l,2,・・・j,)=1,2,・・・，小

匕=L(%«2,dimV.=r,^dimV,=n.

/=1

(=>)若fdimV.=n,则dimV.二几

1=1

设则是的基，

M…，4)=(M，…，际,…,％…,

是对角矩阵，相似于对角矩阵。

7.设，是的特性值，，则

«=1,2,…/)是/(A)的特性值。

证是复矩阵，相似于若当标准形

设/(x)=a,*"++…+41+4,则

f(A)=aAm+a…+4A+4E

,，

=ajr'JTr+ara_1(rJTr+­••+«.(r7T)+a0(r'ET)

=T\f(J)T

/，)、

LfS

*

其中若当块

仅尤)

91]r

0",0.・.

J.—AE+5,S—.,A,E+5.=

/II17/.]J,1・・・尤

J

Ioj、

0；

\znt\

,n・

Jf(\J)/=amJ1+am-1ja1+••+”1/+4O£r

=(aZ+a.Am~'+…+a,A+aJE+U

=f("+Uj.

其中a是主对角线元素为零的上三角矩阵。

=|2E1-/(J,)|.|2E2-/(J2)|一…|2E-/(Jf)|

=——/(A)ru-/ujr-tA-"W・

所以/(A)(i=l,2,…J)是/")的特性值。

1)8.设为n阶方阵，证明的特性根全是零的充足必要条件是存在自然数m,使

2)9.已知三级矩阵的特性值是1,12,设矩阵，

3)求8的所有特性值；

4)是否与对角阵相似，为什么？

5)求|例及|A—5E|.

1)10.已知级方阵满足试问能否对角化？为什么？

2)11.设，且存在正整数使证明：与对角