向量组的线性相关性教案

第四章向量组的线性相关性

1.教学目的和要求：

（1）理解n维向量、向量的线性表示的概念.

（2）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的

有关性质及判别法.

（3）广解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及

失.

（4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系.

（5）理解线性方程组解的性质.

（6）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解系和

通解的求法.

（7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念.

（8）会用初等行变换求解线性方程组.

2.教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构.

3.教学难点：

（1）向量组的线性相关性中相关定理的证明.

（2）求向量组的秩及最大线性无关组.

（3）线性方程组的解为结构定理及其应用.

4.教学内容：

§1向量组及其线性组合

定义1"个有次序的数%所组成的数组称为〃维向量，这〃个数称为该向最的〃

个分量，第i个数称为第i个分量.

定义2对〃维向量夕及…W%若有数组与，…，欠中,

试判断夕4可否由⑻⑸血

解设，比较两端的对应分量可得

0

2

求得一组解为Lh.

于是有，即可由线性表示.

［注］取另一组解时，有.

定理1向量匕能由向量组A：线性表示的充分必要条件是矩阵A=（“”…

的秩等于矩阵的秩B=（4,…

定义3设有两个向量组A：%，…，《"及8若6组中每个向量都能由向量组

A线性表示，则称向量组B能由向量组4线性表示.若向量组A与向量组B能互相线

性表示，则称这两个向最组等价.

定理2向量组B：2,…力/能由向量组4：叫，…，%线性表示的充分必要条件是矩阵

A=(卬，…的秩等于矩阵的秩=(%,…,《八瓦,…力J的秩，即

R(A)=R(AJS)

推论向量组A：%，…，品与向量组8：“，…，”等价的充分必要条件是

R(A)=R®=R(A,B)其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵

定理3设向量组8：加…，4能由向量蛆4:%，…，%线性表示，则

R(b1,…,b)<R(a”…MQ

课后作业：习题四1,2,3,4,5

§2向量组的线性相关性

定义4线性相关：对维向量组，若有数组不全为0,使得

3+.一+%〃，。”,二0

则称向量组线性相关，否则称为线性无关.

线性无关：对维向量组，仅当数组全为0时，才有

勺四十…十=0

则称向量组线性无关，否则称为线性相关.

［注］对于单个向量：若，则线性相关；

若，则线性无关.

对于两个向量的向量组,若对应分量成比例，则该向量组线性相关,否则线性无关.

例2判断例1中向量组的线性相关性.

解设々园+后夕2+砥63+左血=°,比较两端的对应分量可得

即.因为未知量的个数是4,而，所以

有非零解，由定义知线性相关.

例3已知向量组线性无关，证明向量组

,,线性无关.

证设“血+人262+2323=。，则有

(&+k3)«1+(M+k2)a2+(k2+k3)a3=0

因为囚皿2，。3线性无关，所以

系数行列式，该齐次方程组只有零解.

故线性无关.

例4判断向量组

6=(1,0,0,…,0)e2=(0,1,0,-,0)…c“=(0,0,…,0,1)

的线性相关性.‘‘‘

解设3+&/+-+%*〃=0则有

(勺,网,…,心)二0二只有匕=0,攵2=0,…,=0

故与'0，…，e”线性无关.

定理4

(1)向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

证必要性已知必'%，…，%，线性相关，则存在与也，…，心小全为零，

使得匕%+火2%二。

不妨设，则有.

充分性不妨设%=七。2+…+么”％,,则有

(一+k2a2+…+(必”=0

因为不全为零，所以线性相关.

(2)若向量组线性无关，线性相关，则可有线性表示，且表示式唯一.

证因为％线性相关，所以存在数组上”…水小"不全为零，

使得枳+•••+《/,”+3二0

若，则有.矛盾！

故，从而有.

下面证明表示式唯一：

则有(%-/,用+•••+(£”二。

因为％，见，…，。,”线性无关，所以

A]—=0,•••,—lm=。=k[=1[，…，k,n=Ln

即的表示式唯一.

(3)线性相关线性相关.

证因为名，…，见线性相关，所以存在数组，不全为零，使得

匕%+…+(%=0=>+…++0。川+…+0%〃=0

数组不全为零，故线性相关.

推论向量组线性无关任意的部分组线性无关.

定理5设%=…，。加)，1=12…加

⑴。1，。2，一.，%”线性相关例04<加；

(2)线性无关.

证设匕%+卜&+…+kmam=0

比较等式两端向量的对应分量可得

%

%.

(1)设0，位于A的心…必行，作矩阵,则有

线性无关.

%

(2)仟取A中，个行，设为。，…，)行，作矩阵

则有线性相关.

［注］称为的行向量组,为的列向量组.

§3向量组的秩

定义5向量组的秩：设向量组为，若

(1)在A中有/•个向量生皿2,…，巴线性无关；

(2)在中任意个向量线性相关(如果有个向量的话).

称为向量组为的一个最大线性无关组，称为向量组的秩，记作：秩

［注］(1)向量组中的向量都是零向量时，其秩为0.

(2)秩时，中任意个线性无关的向量都是的一个最大无关组.

例如，，，，的秩为2.

%"2线性无关=%，。2是一个最大无关组

%，4线性无关=%，%是一个最大无关组

［注］一个向显组的最大无关组一般不是唯一的.

定理7设R(A”x〃)=ci,则

(1)A的行向量组(列向量组)的秩为一

(2)4中某个0=°=A中。所在的，个行向量(列向量)是

的行向量组(列向量组)的最大无关组.

证只证“行的情形”：

(R)A=r=A中某个0工0,而A中所有。川=0

由定理6=A中&，所在的r个行向量线性无关

A中任意的r+1个行向量线性相关

由定义：的行向量组的秩为，且中所在的个行向量是

的向量组的最大无关组.

例5向量组：，，，

求的一个最大无关组.

13-22-

=02-13

解构造矩阵4=济尸263尸4】二2015_

求得H⑷=2n秩(A)=2

13

二2制

矩阵A中位于1,2行1,2列的二阶子式02

故是的一个最大无关组.

［注］为行向量组时.可以按行构造矩阵.

4

定8，Jmxn

行

(1)若则”A的c»7列”线性相关(线性无关)=

“3的,”~，内歹『，线性相关(线性无关);

列

(2)若Af—则“4的外行”线性相关(线性无关)<=>

“的行”线性相关(线性无关).

证⑴划分4心“=[4ai…an]8鹏"=以人…Pn\

由A,B可得k.ajf上…AJ

故方程组

k

与方程组

同解•.于是有

%，…，外线性相关

O存在修，…，“A•不全为0,使得与+…+与/*=0

O存在X”…，与不全为0,使得再…+”&万。=0

=4'…4*线性相关

同理可证(2).

[注]通常习惯于用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵B,当阶梯形

矩阵区的秩为「时，区的非零行中第一个非零元素所在的『个列

向量是线性无关的.

定义6等价向量组：设向量组，

若%(i=1,2,…,r)可由回应，…血线性表示，称.可由(线性表示;

若与可以互相线性表示，称与等价.

(1)自反性：与等价

(2)对称性：与等价与等价

⑶传递性：与等价，与等价与等价

定理9向量组与它的最大无关组等价.

证设向量组的秩为，的一个最大无关组为.

(1)式中的向量都是7中的向量=♦可由7线性表示；

(2)任意当时，。可由方线性表示；

当。右(时，%，%,3,%©线性相关，而%，％，…，氏线性无关

则可由线性表示.故可由线性表示.

因此，与等价.

推论向量组的任意两个最大无关组等价.

定理10向量组，向量组.

若线性尢关，且可由线性表不，则.

证不妨设见与小，都是列向量，考虑向量组

T:。1。2,…，巴，/1，62,…，民

易见，秩秩.构造矩阵

A=［%…ar…/?J

因为.可由右线性表示，所以

Af［。…0I…/J=rankA<s

于是可得秩.

推论1若可由线性表示，则秩秩.

证设秩(式)=。且方的最大无关组为四，…，生：

秩(72)=$,且3的最大无关组为四，…，A,则有

(可由72线性表示=％可由A线性表示

=>%，…，％可由夕I，…，氏线性表示

=r<s(定理10)

推论2设向量组与等价，则秩秩.

［注］由“秩秩”不能推出“与等价”！

正确的结论是：

7；可由A线性表列

秩与)=秩区)J1与4等价

心可由式线性表司

秩(空)=秩(4)J式与"等价

例6设，，则，“A，

B=AB=C=

久，I」，则

q=%/1+…+册瓦(i=1,2「/九)

即可由线性表示，故.

根据上述结果可得

R(C)=R(Cr)=R(BTAT)<R(AT)=R(A)

§4线性方程组解的结构

齐次方程组阻=°

非齐次方程组=b他¥0)

结论⑴，与同解•.

(2)有非零解

⑶有解.

(4)设KA)=R(A)=L则

「=〃时，Ar=〃有唯一解;

时，有无穷多解.

定义7(1)Ax=°的蚱空间：

解集合$=।AX=O,XGR"}

VGS,A(x+y)=Ax+Ay=O=*+ywS

VxGS,VA:GR,A(kx)=k(Ax)=0=AxwS

故构成向量空间，称为的解空间.

(2)心=°的基础解系

不妨设Ar=°的一般解为

工1=一3+内一3+242b】〃k"_r

X

2=—%/•+*[—，2,+242,一b?n-r

£=一却+/1一%+242

n-r(D《，右，…，⑥-reR)

442,…，羡-，线性无关

因为(1)

⑵VXGSx=k&+A2g2+…+七篇…

所以是解空间的一个基，称为的基础解系.

例7设,求的一个基础解系.

1024

行

A->012-2

解0000,同解方程组为

£0

X

依次取L4.0」，可求得基础解系为

（3）心=〃解的结构

①A?=b,4%=〃=A（72）=0n7-%wS

②A%=bAJ=O=4（7+4）=》=%+4是4x=b的解

设Ar=0的一个基础解系为41，乙，…，&n-r

4v=b的特解为？:一•般解为〃，则有

〃一〃*eS=〃一〃•=〃自+七々2+…+A，,一gI

=>'〃=〃*+&&++…+U（V号eR）

例8设，，求的通解.

F1220；5,10-24：3

行

[AIh]=134-2；6->012-2：1

；；

解02400000

同解方程组为

基础解系:特解:

通解：<>

例9设R（4X3）=2,Ax=bSxO）的3个解如〃2,小满足

,,求的通解.

解R（A）=2二°的基础解系中含有3—2=1个解向量

因为4（7+%）-，+%）］=0

-1

4=（7+小）-（%+%）=-1

所以1一1」是Ar=。的基础解系

F1

1〃*=彳（7+%）=0

又2=1-1」是加=〃的特解

故的通解为.

例10设，是的解，证明：

是的基础解系线性无关.

证⑴必要性设数组尢）内，…氏-，使得卜。小+用小+…+=。

左乘4,利用A/=方可得&+&+…+左“_/=°

因为力工0所以.+砥+・・・+-1=0=自=―（&+・・・+0“_r）

由此可得♦（%-%）+=+*（*一〃。）=0

因为7一〃0,…，一%是Ax=°的基础解系，所以线性无关，从而有

&=(),•,*.=0=A。=0

故线性无关.

(2)充分性4(7-〃。)=0=7一〃。是Ar=0的解向量

设数组占，…，A”.r使得A/%-〃0)+…+A"-r("i一〃0)=0

则一化+…+k)〃0+&。1+…+4“_力=。

因为九，7,…，乙线性无关，所以只有

一(41+…+A〃_r)=0A]=0,…，=0

故向量组线性无关.’

因此是的基础解系.

§5向量空间

定义8(1)向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合，若

对任意的以尸£丫，有。+夕£，；(加法封闭)

对任意的，，有.(数乘封闭)

称集合为向量空间.

例如R"={"I…看J点£又是向量空间

匕={xIX=(。/2,…,£),$€R}是向量空间

匕={xIx=(l/2，,-/“),多€K}不是向量空间

,即数乘运算不