高考数学一轮复习（培优版） 第五章　5.3　奔驰定理与四心问题

§5.3奔驰定理与四心问题重点解读奔驰定理将三角形的四心与向量完美地融合到一起，揭示了平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律，同时也加强了对三角形的认识，加深了对数学的理解.题型一奔驰定理1.奔驰定理：O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOA+SBOB+SCOC=0.2.奔驰定理的推论：O是△ABC所在平面内一点，且xOA+yOB+zOC=0，则(1)S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=x∶y∶z；(2)S△BOCS△ABC=xx+y+由于这个定理对应的图象和“奔驰”的图标很相似，故我们把它称为奔驰定理.例1已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA·OA+SB·OB+SC·OC=0.证明方法一如图，延长AO与BC边相交于点D，则BDDC=S△=S△ABD∴OD=DCBCOB=SBSB∵ODOA=S△BODS△AOB∴OD=-S∴-SASB+∴SA·OA+SB·OB+SC·OC=0.方法二延长OA到OA1，OB到OB1，OC到OC1，使得OA1=xOA，OB1=yOB，OC1=zOC，且O则S△AOBS△S△AOCS△所以S△A1OB1=xyS△AOB又O为△A1B1C1的重心，则S△A则xyS△AOB=xzS△AOC，即S△AOBS△AOC同理可得SASB=xy，则SA∶SB∶SC=x因为O为△A1B1C1的重心，所以OA1+OB1+即xOA+yOB+zOC=0，所以SA·OA+SB·OB+SC·OC=0.思维升华利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格遵循定理成立的条件，注意定理中的点O为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.跟踪训练1(2025·安庆模拟)设点O在△ABC内部，且3OA+2OB+OC=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为()A.2 B.3 C.2 D.3答案A解析方法一∵3OA+2OB+OC=0，∴由奔驰定理知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=3∶2∶1，∴S△AOC∶SAOB=2∶1=2.方法二不妨设OA1=3OA，OB1根据题意得OA1+OB1+即点O是△A1B1C1的重心，所以S△A即S△O同理可得S△OS△O设S△OA1B1=又因为S△AOBS△S△AOCS△所以S△AOB=16k，S△AOC=13故△AOC的面积与△AOB的面积的比值为13k题型二奔驰定理与三角形四心问题命题点1奔驰定理与重心常见重心向量式：设O是△ABC的重心，P为平面内的一个动点，则(1)OA+OB+OC=0.(2)PO=13(PA+PB+(3)若AP=λ(AB+AC)，λ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹一定经过三角形的重心.(4)若AP=λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC，λ∈例2已知G是△ABC的重心，求证：GA+GB+GC=0.证明∵G是△ABC的重心，记△BGC，△AGC，△AGB的面积分别为SA，SB，SC，∴SA=SB=SC，由奔驰定理得GA+GB+GC=0.命题点2奔驰定理与外心常用外心向量式：O是△ABC的外心，则(1)|OA|=|OB|=|OC|⇔OA2=OB2=(2)(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OA+OC)·AC=0.(3)动点P满足OP=OB+OC2+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，λ∈(4)已知点O在△ABC所在平面内，若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0，则O是△ABC的外心.例3已知O是锐角△ABC的外心，求证：OAsin2A+OBsin2B+OCsin2C=0.证明由O是锐角△ABC的外心，得|OA|=|OB|=|OC|，则∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，∠COA=2∠ABC，于是S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=sin2A∶sin2B∶sin2C，则根据奔驰定理得OAsin2A+OBsin2B+OCsin2C=0.命题点3奔驰定理与内心常见内心向量式：O是△ABC的内心，则(1)|AB|OC+|BC|OA+|CA|OB=0(或aOA+bOB+cOC=0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长).(2)动点P满足AP=λAB|AB|+AC|AC|，λ∈(0例4已知O是△ABC的内心，求证：aOA+bOB+cOC=0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)证明设△ABC的内切圆半径为r，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，因为O是△ABC的内心，则SA∶SB∶SC=ar2∶br2∶cr2=a∶b所以根据奔驰定理得，aOA+bOB+cOC=0.命题点4奔驰定理与垂心常见垂心向量式：O是△ABC的垂心，则(1)OA·OB=OB·(2)|OA|2+|BC|2=|OB(3)动点P满足AP=λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，λ∈(0，(4)奔驰定理推论：S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tanA∶tanB∶tanC，tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0(△ABC不是直角三角形).例5已知O是△ABC(非直角三角形)的垂心，求证：OAtanA+OBtanB+OCtanC=0.证明∵O是△ABC(非直角三角形)的垂心，∴OA·OB=OB∴|OA|·|OB|cos(π-C)=|OB|·|OC|cos(π-A)=|OC|·|OA|cos(π-B)，∴|OA|∶|OB|∶|OC|=cosA∶cosB∶cosC，∴SA∶SB∶SC=tanA∶tanB∶tanC，∴由奔驰定理得，OAtanA+OBtanB+OCtanC=0.命题点5向量四心的轨迹问题例6O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈(0，+∞)，A.外心 B.内心C.重心 D.垂心答案B解析∵OP-OA=AP∴AP=λAB|AB|+AC|AC|，令AB|AB|+则AM是以A为起点，单位向量AB|AB|与即AM在∠BAC的平分线上，∵AP=λAM，λ∈(0，+∞)，∴AP，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心.思维升华推论1：P是△ABC所在平面内任意一点，PG=13(PA+PB+PC)⇔G是推论2：P是锐角△ABC所在平面内任意一点，PO=PAsin2A+PBsin2B推论3：P是△ABC所在平面内任意一点(其中a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)，O是△ABC的内心⇔PO=aPA推论4：P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔PO=PAtan跟踪训练2(1)已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一动点，若OP-OA=λAB+12BC，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定过△A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心答案B解析如图，取BC的中点D，连接AD，则AB+12BC=AB+BD=AD.又OP-OA=∴OP-OA=λAD，即AP=λAD又λ∈[0，+∞)，∴点P在射线AD上.故P的轨迹过△ABC的重心.(2)(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有()A.若O为△ABC的外心，且3OA+4OB+5OC=0，则OA⊥OBB.若O为△ABC的内心，AB=AC=5，BC=8，AO=mAB+nBC(m，n∈R)，则m+n=C.若O为△ABC的重心，aOA+bOB+33cOC=0，则AD.若O为△ABC的外心，且O到a，b，c三边的距离分别为k，m，n，则k∶m∶n=sinA∶sinB∶sinC答案AB解析因为O为△ABC的外心，所以|OA|=|OB|=|OC|，因为3OA+4OB+5OC=0，所以3OA+4OB=-5OC所以(3OA+4OB)2=25OC所以9OA2+16OB2+24OA所以OA·OB=0，所以OA⊥OB因为O为△ABC的内心，且AB=AC=5，BC=8，AO=mAB+nBC(m，n∈R)，又S△BOC∶S△AOC∶S△AOB∶=a∶b∶c⇒aOA+bOB+cOC=0所以8OA+5OB+5OC=0，则8AO=5OB+5OC=5(AB-AO)+5(AC-AO)，18AO=5AB+5AC=5AB+5(AB+BC)=10AB+5BC所以AO=1018AB+518BC=m所以m+n=56，因为O为△ABC的重心，所以OA+OB+OC=0，因为aOA+bOB+33cOC=0所以a∶b∶33c=1∶1∶1即a=b=33c，A≠60°，C因为S△OBC=12ak=12R2sin2A=R2sinAcosS△OAC=12bm=12R2sin2B=R2sinBcos所以S△OBCS△OAC=所以km=同理mn=故k∶m∶n=cosA∶cosB∶cosC，D错误.(3)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+OB2+λCA|CA|cosA+CB|CB|cosB，λ∈(0，+∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的.(答案外心解析如图所示，取AB的中点D，连接CD，则OP-OA+OB2=OP-又CA|CA|cosA+CB|CB|cosB·BA=CA故DP·BA=λCA所以DP⊥BA，故P的轨迹一定经过△ABC的外心课时精练[分值：62分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.点P在△ABC内部，满足PA+2PB+3PC=0，则S△ABC∶S△APC为()A.2∶1 B.3∶2 C.3∶1 D.5∶3答案C解析根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC=3∶1.2.已知O是△ABC内部一点，满足OA+2OB+mOC=0，且S△AOBS△ABC=47A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析由奔驰定理得S△BOC·OA+S△AOC·OB+S△AOB·OC=0，又OA+2OB+mOC=0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.∴S△AOBS△解得m=4.3.已知点G，O，H在△ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=0，|OA|=|OB|=|OC|，AH·BH=BH·CH=CH·AH，则点G，O，A.重心、外心、内心 B.重心、内心、外心C.重心、外心、垂心 D.外心、重心、垂心答案C解析因为GA+GB+GC=0，所以GA+GB=-GC设AB的中点为D，则GA+GB=2GD，所以-GC=2所以C，G，D三点共线，即G为△ABC的中线CD上的点，且GC=2GD，所以G为△ABC的重心；因为|OA|=|OB|=|OC|，所以OA=OB=OC，所以O为△ABC的外心；因为AH·BH=BH所以BH·(AH-CH)=0，即HB·AC所以HB⊥AC，同理可得HA⊥BC，所以H为△ABC的垂心.4.已知G是△ABC的重心，若GC=xAB+yAC，x，y∈R，则x+y等于(A.-1 B.1 C.13 D.-答案C解析由GC=xAB+yAC可得GC=x(GB-GA)+y(GC-GA)，即(x+y)GA-xGB+(1-y)GC=0.因为G是△ABC的重心，所以x+y=-x=1-y，解得x=-13，y则x+y=135.点P在△ABC内部，若sin∠BAC·PA+sin∠ABC·PB+sin∠ACB·PC=0，则点P是△ABC的()A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心答案B解析过点P分别作BC，CA，AB的垂线PD，PE，PF，其垂足依次为D，E，F，如图所示，由于sin∠BAC·PA+sin∠ABC·PB+sin∠ACB·PC=0，根据奔驰定理得，S△BPC∶S△CPA∶S△APB=sin∠BAC∶sin∠ABC∶sin∠ACB=BC∶AC∶AB，即12BC·PD∶12AC·PE∶因此PD=PE=PF，故点P是△ABC的内心.6.若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cos∠AMB等于()A.-63 B.-66 C.66答案B解析如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E.设△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，且SA·MA+SB·MB+SC·MC=0，得SA∶SB∶SC=3∶4∶5，所以SB=43SA，SC=53S又S△ABC=SA+SB+SC，则S△ABCSA=4，同理可得S△ABCSB设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos∠AMF=y3x，即3x2=2所以cos∠BMD=x2y所以cos∠AMB=cos(π-∠BMD)=-cos∠BMD=-667.如图，已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，A.14∶3 B.19∶4C.24∶5 D.29∶6答案B解析由QR=13QB可得PR=13(PB-整理可得PR=13PB+23PQ由RP=13RC可得RP=13(整理可得PR=-1所以-12PC=1整理得4PA+6PB+9PC=0，由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4.8.已知点O在△ABC内，且OA·AB|AB|-OA·AC|AC|2+OBA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心答案D解析由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.∵OA·AB+OC·CA∴OA·AB|ABOB·BA|BAOC·CA|CA当OA·AB|AB|OA·AB如图所示，延长OA至点D，即|=|∴∠DAB=∠DAC，∴∠OAB=∠OAC，∴点O在△ABC的内角A的角平分线上.同理，点O在△ABC的内角B的角平分线上，点O在△ABC的内角C的角平分线上.∴点O是△ABC的内心.二、多项选择题(每小题6分，共12分)9.若O，P是锐角△ABC内的点，A，B，C是△ABC的三个内角，且满足PA+PB+PC=13CA，OA·OB=OBA.S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶3∶2B.∠A+∠BOC=πC.|OA|∶|OB|∶|OC|=cosA∶cosB∶cosCD.tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0答案BCD解析因为PA+PB+PC=13CA，所以PA+PB+PC=13(PA-PC)，即23又由奔驰定理S△PBCPA+S△PCAPB+S△PABPC=0，所以S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶2∶3，故A错误；延长AO，BO，CO分别与角A，B，C的对边交于点D，E，F，如图，由OA·OB=OB·OC，得OB·(OA-OC)=OB·CA=0，所以OB⊥AC，同理OC⊥AB，OA⊥BC，在四边形AEOF中，∠AFO=∠AEO=π2，所以∠A+∠EOF=π，∠EOF=∠BOC，所以∠A+∠BOC=π，故由OA·OB=OB·OC=OC·OA，得|OA||OB|cos∠AOB=|=|OC||OA|cos∠AOC，所以|OA|∶|OB|∶|OC|=cos∠BOC∶cos∠AOC∶cos∠AOB，由选项B得cos∠BOC=-cosA，同理，cos∠AOC=-cosB，cos∠AOB=-cosC，所以|OA|∶|OB|∶|OC|=cosA∶cosB∶cosC，故C正确；由上述解析知，S△OBC=12OB·OCsin∠BOC=12OB·OCsinS△OAC=12OA·OCsin∠AOC=12OA·OCsinS△OAB=12OA·OBsin∠AOB=12OA·OBsin所以S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=sinAOA∶sin又|OA|∶|OB|∶|OC|=cosA∶cosB∶cosC，得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=sinAcosA∶sinBcosB∶sinCcosC=tanA由奔驰定理S△OBC·OA+S△OAC·OB+S△OAB·OC=0，得tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0，故D正确.10.设锐角△ABC内部的一点O满足OA=OB=OC，角A，B，C是△ABC的三个内角，且12cosAOA+cosBsinCAB+cosCsinA.π12 B.π6 C.π3答案AD解析锐角△ABC内部的一点O满足OA=OB=OC，则O为△ABC的外接圆的圆心，设外接圆的半径为R，因为12cosAOA+cosBsin所以12cosAOA+cosBsinC(OB-OA)从而12cosAOA2+cosBsinC(OB·即12