平方根重难点专项练习【九大题型】

6.1?平方根?

重难点题型专项练习

考查题型一求一个数的算术平方根

典例1.4的算术平方根是()

A.2B.±2C./D.16

【答案】A

【分析】依据算术平方根的定义，进行求解即可.

【详解】解：4的算术平方根是〃=2；

应选A.

【点睛】此题考查算术平方根.娴熟把握算术平方根的定义：一个非负数X的平方为，，那么T叫做。的算

术平方根，是解题的关键.

变式11.式子卮表示()

A.-3的算术平方根B.6的算术平方根c.9的平方根D.9的算术平方根

【答案】D

【分析】依据实数的运算挨次，先算平方，再开方，由此即可求解.

【详解】解；再^二百，

回表示的是9的算术平方根，

应选：D.

【点睛】此题主要考查平方，开方的运算挨次.把握平方，开方的运算挨次，二次根式被开方数的特点是解

题的关键.

变式12.计算J证的结果为()

A.±4B.-4C.4D.8

【答案】C

【分析】依据算术平方根的定义求解即可.

【详解】解：屈

应选C.

【点睹】此题考查了算术平方根，娴熟把握算术平方根的定义是解答此题的关键，正数有一个正的算术平

方根，0的平方根是0,负数没有算术平方根.

变式13.(2022春•黑龙江哈尔滨•七班级校考阶段练习)场的算术平方根是()

A.5B.石C.一5D.i5

【答案】B

【分析】依据算术平方根的性质，首先得后=5,再通过计算.即可得到答案.

【详解】团后=5

团后的算术平方根是石

应选：B.

【点睛】此题考查了算术平方根的学问；解题的关键是娴熟把握算术平方根的性质，从而完成求解.

考查题型二算术平方根双重非负性的应用

典例2.(2022春•浙江宁波七班级校考期中)假设实数x、y、z满意4T^+(y-3)2+|z+6|=0,那么孑

的平方根是()

A.36B.±6C.6D.±76

【答案】B

【分析】利用非负性求各未知数的值，进一步计算即可求解.

【洋角隼】W：+2十()，-3)2十.十6|=0,

团工+2=0,—3=0,x+6=0,

0x=-2,y=3,z=-6,

=(-2)x3x(-6)=36,

团R'z的平方根是土质=±6，

应选：B.

【点睛】此题主要考查非负性的运用，平方根，能够利用非负性求出数值是解题关键.

变式21.(2022春•浙江•七班级期中)，^工+。+5)2+卜+1|=0,那么a+b-c的值是()

A.4B.—2C.-4D.2

【答案】B

【分析】先依据算术平方根的非负性、二次方的非负性和肯定值的非负性求出a、b、c的值，然后再代入

代数式求值即可.

【详解】解：0V^2+(Z;+5)2+|C+1|=O,

"2=0

0</?+5=0,

c+1=0

a=2

解得：6=-5,

c=-l

回a+〃-c=2+(—5)—(―1)=2—5+1=-2,故B正确.

应选:B.

【点睛】此题主要考查了求代数式的值，算术平方根的非负性，二次方的非负性和肯定值的非负性，依据

题意求出a、b、c的值，是解题的关键.

变式22.(2022秋•内蒙占巴彦淖尔•七班级校考阶段练习)|，〃-2|+而?=0,那么代数式2〃?+拉的值是

()

A.5B.3C.2D.-1

【答案】A

【分析】依据肯定值和算术平方根不行能为负数，得到m-2=0,〃-1=0,解得m、n的值，然后代入

2〃1+〃即可求解.

【详解】解:E|m-2|+7«-l=0

0/77-2=0,7?-1=0.

解得:m=2,n=\.

将"?=2,〃=1代入2"?+〃，得：2/«+/?=2x2+1=5

应选：A.

【点睛】此题考查了肯定值和算术平方根的非负性，代数式求值，解答此题的关键是依据肯定值和算术平

方根不行能为负数，解得m、n的值.

变式23.以下关于右的说法错误的选项是()

A.〃可以是负数B.。可以是0

C.右是。的算术平方根D.右不行能是负数

【答案】A

【分析】依据当〃NO时，m（），即可解答.

【详解】解：A、。是非负数，故A错误，符合题意；

B、。可以是0,故B正确，不符合题意；

C、&是”的算术平方根，故C正确，不符合题意；

D、而不行能是负数，故D正确，不符合题意：

应选:A.

【点睛】此题考查了实数，娴熟把握〃的双重非负性是解题的关键.

考查题型三估量算术平方根的取值范围

典例3.（2021秋•辽宁葫芦岛•七班级校考阶段练习）一个正方形的面积是19,它的边长a的值（）

A.3至I]4之间B.4至"5之问C.5至IJ6之间D.6至U7之间

【答案】B

【分析】依据算术平方根的意义，得到边长为晒，估算晒的大小即可求解.

【详解】解：团一个正方形的面积是19,它的边长为a,

团。=如，

□16＜19＜25,

团4＜晒＜5,

应选B

【点睛】此题考杳了算术平方根的应用，估算无理数的大小，估算业的大小是解题的关键.

变式31.（2022秋•安徽滁州•七班级校考期中）估量也*后的值在（）

A.7至IJ8之间B.6至IJ7之间C.5至IJ6之间D.4至ij5之间

【答案】B

【分析】估算回的大小即可.

【详解】解：由于血乂扃=依，而闻，即6＜屈＜7,

所以右x瓶的值在6和7之间，

应选：B.

【点睛】此题考查估算无理数的大小，二次根式的乘除法，把握算术平方根的定义，二次根式乘除法的计

算方法是正确解答的前提.

变式32.估算月+3的值是在（）之间

A.5和6B.6和7C.7和8D.8和9

【答案】C

【分析】依据题意可知推断后+3的值在5、6、7、8、9哪个数之间，即旧的值在2、3、4、5、6哪

个数之间，2、3、4、5、6可表示为8、®而、后、底,明显屈<历<后，即4<而<5,故

7<V24+3<8.

【详解】⑦屈〈后

（?]4<V24<5

团7〈后+3<8

应选:C.

【点睛】此题考查了算术平方根估量范围，将回+3先看作必进行比拟，再加上3是解题的关键.

变式33.（2021秋•大津•七班级统考期末J估量商的值应在（J.

A.7和8之间B.8和9之间

C.9和10之间D.10和11之间

【答案】A

【分析】依据算术平方根进行无理数的估算.

【详解】解：049<58<64

⑦屈<底<洞、

即屈的值在7和8之间，

应选:A.

【点睛】此题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念精确?????计算是解题关键.

考查题型四求算术平方根的整数局部和小数局部

典例4.假设痴的整数局部为。，小数局部为b,那么,b=.

【答案】3Vio-3

【分析】依据3<后<4首先确定"的值，那么小数局部即可确定.

【详解】解：・;3〈屈<4,

**.67=3»

那么〃=痴-3.

故答案是：3,V10-3.

【点睛】此题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数局部即可解决问题.

变式41.JTT的整数局部是.小数局部是.

【答案】3VH-3

【分析】依据算术平方根的整数局部和小数局部求解的方法直接进行求解即可.

【详解】解:09<11<16,

03<>/H<4.

团所的整数局部为3,

团JTT的小数局部为■-3；

故答案为3,Vn-3.

【点睛】此题主要考查算术平方根，娴熟把握求一个算术平方根的整数局部和小数局部是解题的关键.

变式42.6-JH的小数局部为a,7+JTT的小数局部为b,那么（〃十力）刈.

【答案】1

【分析】先分析而介于哪两个整数之间，再分别求出6-而和7+JFT介于哪两个整数之间，即可求出

6一日和7+JTT的整数局部，然后用它们分别减去它们的整数局部得到。和方，代入即可.

【详解】解：团3<而<4

01O<7+VH<1H-3>-Vn>M

团3>6-而>2

团7+而的整数局部为10，6-而的整数局部为2,

03=6-717-2=4-717

b=7+VTT-10=VH-3

代人得：

（。+）产=（4一万+而—3户8

=12018

=1

【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数局部和小数局部的求法.

变式43.a,b分别是JR的整数局部和小数局部，那么2a-b的值为.

【答案】9-V13.

【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数局部，再用减去它的整数局部求出它的

小数局部，再代入即可.

【详解】09<13<16,

03<V[3<4,

0a=3,b=x/l3-3»

02a-b=2x3-（V13-3）=6-x/13+3=9-V13.

故答案为9-JW.

【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数局部和小数局部的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此

题的关键.

考查题型五与算术平方根有关的规律探究

典例5.（2022秋•河北沧州•七班级校考期中）假设6=1.732,廊=5.477,那么疯而=（）

【答案】B

【分析】把0.03看成是3x卷结合题意即可求解.

【详解】解：回石=1.732,

07^03=0.1732,

应选B.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质，假如被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根也在扩

大，但只扩大为原来的10倍；同理，假如被开方数缩小为原来的击，其算术平方根也在缩G，但只缩小

为原来的

变式51.（2022春・浙江绍兴•七班级校联考期中）假设VI应所=10.1,那么士VT瓦丽=（）

A.1.01B.±1.01C.±0.101D.10.1

【答案】B

【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向

左）移动1位.

【详解】0V1O2.OI=10.1,

0±71.0201=±1.01

应选B.

【点睛】此题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，娴熟把握小数点移动的规律是解答此

题的关键.当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或

向左）移动1位.

变式52.（2022秋•重庆渝中•七班级重庆巴蜀中学校考阶段练习）假设府TU7.149,V5LM«22.608,

那么J511100的值约为（）

A.71.49B.226.08C.714.9D.2260.8

【答案】C

【分析】将有市面转化为J51.11x100（）（）,进而得出相ITxlOO即可.

【详解】解：V511100=751.11x1（X）00=751.11x10（）«7.149x100=714.9,

应选：C.

【点睛】此题考查算术平方根，理解“一个数扩大（或缩小）1（X）倍，10000倍，其算术平方根就随着扩大（

或缩小）10倍，100倍”是解决问题的关键.

变式53.（2021秋・广西河池•七班级统考期末）假设Vi两'=101,那么疝丽等于（）

C.101

【答案】B

【分析】依据被开方数向左或向右移动2n位，那么对应的算术平方根向左或向右移动n位解答即可.

【详解】解：团J10201=101

□Vl02.01=10.1.

应选B.

【点睛】此题主要考杳了算术平方根的规律探究，把握〃被开方数向左或向右移动2n位，那么对应的算术

平方根向左或向右移动n位”是解答此题的关键.

考查题型六平方根的概念的理解

典例6.（2021秋・重庆渝中•七班级重庆市求精中学校校考期中）16的平方根为（）.

A.4B.±4C.±2D.±72

【答案】B

【分析】依据平方根的定义,即可.

【详解】016=（±4）2,

016的平方根是±4，

应选：B.

【点睛】此题考查平方根的学问，解题的关键是理解平方根的定义.

变式61.（2022秋•天津宁河•七班级天津市宁河区芦台第一中学校考期中）一个正数的两个不同的平方根

是“一1与4+3,那么〃的值是（）

A.0B.-IC.1D.2

【答案】B

【分析】依据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答即可.

【详解】由题意得，a-l+a+3=0,

解得：tz=-l»

应选:B.

【点睛】此题考查的是平方根的概念，把握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关

键，

变式62.。-7和2a+l是一个正数x的平方根，那么这个正数（）

A.2B.2或一8C.25D.25或225

【答案】D

【分析】依据平方根的定义求出a的值，进而可得出结论.

【详解】解：M-7和2。+1是一个正数x的平方根,

当〃-7=加+1时，解得。=一8,

团一8-7=-15,

回（一15f=225；

当a-7和2.+1互为相反数时，

a-7++1=0,解得a=2,

团7-。=7-2=5,

0X:=52=25.

故1的值为25或225.

应选：D.

【点睛】此题考查的是平方根的定义，熟知•个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关

键.

变式63.以下语句正确的选项是()

42

A.10的平方根是100B.100的平方根是10C.一2是-4的平方根D.§的平方根是土§

【答案】D

【分析】依据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对A、B、D进行推断；依据负数没有平方根可对

C进行推断.

【详解】解：A.10的平方根土加，所以A选项错误；

B.100的平方根是±1(),所以B选项错误：

C.-4没有平方根，所以C选项错误；

42

D.§的平方根是±5,所以D选项正确；

应选：D.

【点睛】此题考查了平方根的定义：假设一个数的平方等于“，那么这个数叫。的平方根，记作

±yfa(a>0).

考查题型七求一个数的平方根

典例7.(2021秋•重庆渝中•七班级重庆市求精中学校校考期中)16的平方根为().

A.4B.±4C.±2D.±72

【答案】B

【分析】依据平方根的定义，即可.

【详解】016=(±4)2,

(316的平方根是±4,

应选:B.

【点睛】此题考查平方根的学问，解题的关键是理解平方根的定义.

变式71.64的平方根是()

A.±8B.±4C.±2D.8

【答案】A

【分析】依据平方根的意义，即可解答.

【详解】解：64的平方根是±8,

应选:A.

【点睛】此题考查了平方根，娴熟把握平方根的意义是解题的关键.

变式72.（-6f的平方根是（）

A.-6B.36C.±6D.±76

【答案】C

【分析】依据平方根的定义计算即可.

【详解】m=36

回±>/36=±6>

团（-6『的平方根是±6.

应选：C.

【点睛】此题考查了平方根即（a>0）,那么x叫做a的平方根，娴熟把握平方根的定义是解题的美

键.

变式73.J话的平方根是（）

A.72B.2C.±2D.±41

【答案】C

【分析】先计算J证=4,再计算4的平方根即可得到答案.

【详解】解：团瓶=4,

团4的平方根为±〃=±2，

即J语的平方根是±2,

应选C.

【点睛】此题考存了算术平方根和平方根，娴熟把握正数的平方根有两个，且互为相反数是解题关键.

考查题型八求代数式的平方根

典例8.关于x的多项式7^7l〃V-15x+9与多项式22/一5心-7相加后不含x的二次和一次项，那么

-（〃机+〃）平方根为（）

A.3B.-3C.±3D.±73

【答案】C

【分析】将两个多项式相加，依据相加后不含X的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算.

【详解】7/-1—15x+9+22X2-5ALV-7

=7X3+(22-1Imjx2-(15+5n)x+2

由题意知，22-1bzz=O,15+5/7=0,

0;n=2,n=-3,

0-(nui+n)=-(-3x2-3)=9,

9的平方根是±3,

团一(机〃+〃)平方根为±3,

应选:C.

【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，娴熟把握运算法那么是解此题的关键，同时考查了平方根的

定义，娴熟把握正数有两个平方根，0的平方根是0,负数没有平方根.

变式81.假设4^+|)，+7|+(z-7>=0,那么x-)，+z的平方根为()

A.±2B.4C.2D.±4

【答案】D

【分析】依据肯定值，平方，二次根式的非负性求出x,y,z,算出代数式的值计算即可；

【详解】ElH5+|)，+7|+(z-7)2=0,

,v-2=0

回，y+7=0,

z-7=0

x=2

解得•y=-7,

z=7

^x-y+z=2-(-7)+7=16,

回±-/i6=±4;

应选：D.

【点睛】此题主要考查了平方根的求解，结合肯定值、二次根式的非负性计算是解题的关键.

变式82.假设"1是169的算术平方根，"是121的负的平方根，那么(m+力2的平方根为()

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】c

【分析】求出m、n的值，求出m+n的值，再依据平方根定义求出即可.

［详解］解：0m是169的算术平方根，n是121的负的平方根，

0m=13,n=ll,

回m+n=2,

0（m+n）2的平方根是士后=±2,

故答案为C.

【点睛】此题主要考杳了平方根的定义和性质，以及依据平方根求被开方数：留意：一个正数有两个平方

根，它们互为相反数.

变式83.（4-a）?与小I互为相反数，那么。-〃的平方根是（）

A.VsB.73C.+&D.+百

【答案】C

【分析】依据非负数的性质可得关于a、b的方程，解方程求出a、b的值后再代入所求式子即可求出a-

b,然后依据平方根的定义解答即可.

【详解】解：由题意,得（4-a）?+J方+1=0,04—a=0,b+l=0»解得:a=4,b=-1,

0a-b=5,电一b的平方根土石.

应选：C.

【点睛】此题考查了非负数的性质和平方根的定义，属于根底题型，娴熟把握根本学问是解题关键.

考查题型九平方根的应用

典例9.（2022秋•云南昭通•七班级校考阶段练习）一个正数x的两平方根分别是2a-3和1-6a,求x的

值.

【答案】16

【分析】依据正数的两个平方根互为相反数列出方程，进而平方根的定义即可求解.

【详解】解：由题意得，

2a-3+l-6a=0.

解得，a=-2,

所以2a-3=-4,1-6a=4,

所以x=(±4)2=16,

答：x=16.

【点睛】此题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键.

变式91.（2022秋•江西南昌•