线性代数期末复习提纲

★线性代数基本内容、方法及要求

第一部分行列式

【主要内容】

1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用一一克莱姆法则

2、排列与逆序

3、方阵的行列式

4、几个重要公式：⑴同=卜［；（2）甲卜百；（3）M=〃［小

⑷|A*|=『；⑸/=|胭；（6）：.IJ，网

（7）"&=卢』；⑻

白JJ［0,"j£JJi^j

（其中A8为〃阶方阵，k为常数）

5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；

（2）利用行列式的展开定理降阶；

（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值

【要求】

1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。

2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。

3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。

4、会计算简单的〃阶行列式。

5、知道并会用克莱姆法贝J。

第二部分矩阵

【主要内容】

1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。

2、方阵的行列式

3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。

4、〃阶矩阵A可逆O网。0OA为非奇异（非退化）的矩阵。

oR（A）=〃oA为满秩矩阵

oAX=（）只有零解

<=>有唯一解

oA的行（列）向量组线性无关

oA的特征值全不为零。

o4可以经过初等变换化为单位矩阵。

oA可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。

6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。

7、矩阵的分块，分块矩降的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。

【要求】

1、了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对

称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。

2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。

3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。

4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。

5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。

第三部分向量组的线性相关性

【主要内容】

1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量。，向量组4：%,。21-，二〃，向量组3：

%分,...,以,则

（1）向量匕可被向量组A线性表示。…

（2）向量组8可被向量组A线性表示

<=>冬％,。2，...,％）=R（a、,a2,…,…，加）

（3）向量组A与向量组8等价的充分必要条件是:

尸2,…，4）=我（%,％，…，%，以，尸2,…，力”）

（4）基本题型：判断向量方或向量组B是否可由向量组A线性表示？如果能，写出表达

式。

解法：以向量组A：%,修，…。”以及向量匕或向量组3：川，区，…，应为列向量构成

矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。

2、向量组的线性相关性

判别向量组囚,。2,…，%的线性相关、线性无关的常用方法：

方法一；（1）向量方程勺,+力2a2+…+%%=0只有零解o向量组四，%，…，％

线性无关；

（2）向量方程匕%+%2a2+…+=0有非零解O向量组％«，…，4线

性相关。

方法二：求向量组的秩尺（四,

（1）秩氏（%,%，…，%）小于个数SO向量组%。2,・•.，巴线性相关

（2）秩尺（%,见，…,4）等于个数s。向量组&线性无关。

（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，

则向量组线性无关O以向量组%,鬼，…，巴为列向量的矩阵的行列式非零；

向量组线性相关O以向量组%,%，…，氏为列向量的矩阵的行列式为冬。

3、向量组的极大无关组的概念(与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系)

及其求法。

基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。

4、等价向量组的定义、性质、判定。

5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。

【要求】

1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。

2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。

3、知道向量组的秩与矩I住的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。

4、了解向量空间及其基和维数的概念。

第四部分线性方程组

【主要内容】

1、齐次线性方程组Ax=。只有零解o系数矩阵A的秩=未知量个数〃；

2、齐次线性方程组Ar=O有非零解o系数矩阵A的秩〈未知量个数比

3、非齐次线性方程组Ax=h无解o增广矩阵B=(A,b)秩工系数矩阵A的秩;

4、非齐次线性方程组有解O增广矩阵8=(4力秩=系数矩阵A的秩

特别地，1)增广矩阵8=(A6)的秩=系数矩阵A的秩=未知量个数〃o

非齐次线性方程组Ax=Z?有唯一解;

2)增广矩阵8=(Ab)的秩二系数矩阵4的秩＜未知量个数〃=非齐次

线性方程组Ax=h有无穷多解。

【要求】

1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，

2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。

3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。

4、会求解非齐次线性方程组。

第五部分相似矩阵及二次型

【主要内容】

1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。

2、向量的正交关系及正交向量组的含义。

3、施密特正交化方法。

4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。

(1)特征值求法：解特征方程|4-2目=0；

(2)特征向量的求法：求方程组(4-4E)X=0的基础解系。

5、相似矩阵的定义(/一"。=3)、性质(A,8相似fR(A)=R(B)、同=同、A.B

有相同的特征值)。

6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得PTAP为对角矩

阵。

7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤：（将实对称矩阵对角化）

（1）写出二次型的矩阵A.

（2）求出A的所有特征值4,办，…，4

（3）解方程组（儿氏一人）丫=0（1=1,2,…“）求对应于特征值乙，乙，…，乙的特

征向量一看2,・・・，清

（4）若特征向量组刍,与，…，,不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交

的向量组〃I，/，…，"〃，记尸=（7，%，…力”），对二次型做正交变换工=Py,

即得二次型的标准形/=4必2+4乂2+…

8、正定二次型的定义及其判定方法

常用判定二次型正定的方法：（1）定义法

（2）特征值全大于零

（3）顺序主子式全大于零

【要求】

1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线

性无关向量组为正交向量组。

2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，

3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。

4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。

5、知道正定二次型的概念及其判定方法。

★★线性代数练习题

一、单项选择题

120

1、行列式4-38中，元素。22的代数余子式是

0-12

10-1010-10

(A)(B)(C)-(D)

020-20202

2

2、二阶行列式“\的值为_____________

hh2

一〃

(A)。”?(B)ab(b-a)(CM'(D)a2-b2

k21

3、设行列式2k0=0,则女的取值为)

-11

(A)2(B)-2或3(C)0(D)-3或2

外%C2C3

4、若行列式b\“2/=1,则b\b2

C

2Q为%

(A)1(B)2(C)0(D)一1

5、设a，b,d为常数，则下列等式成立的是

ab1ba+b11b1

(A)(B)+

22a+c2b+dc+d11d1

2a2bbah11b1

(C)=2(D)

2dd11

6、设〃阶行列式%.是。中元素a,」•的代数余子式，则下列各式中

正确的是

(A)⑻2。八=0

/=17=1

(C)复血=。

(D)=D

j=li=l

7、设A3均为〃阶可逆矩阵，则下列各式成立的是

(A)(AB)7=B1A(B)(AB)T二A一力

(0AB=BA(D)|A+邳=网+恸

8、设A为3阶方阵，且行列式同=1,则|—2A|=

(A)-8(B)-2(C)2(D)8

9、设为〃阶方阵且满足则

(A)A=O或B=O(B)A+B=O

(C)同=0或恸=0(D)网+|同=0

1()、设A,Z?为〃阶可逆方阵，则下列各式必成立的是

(A)(AB)T=ATBT(B)q=M.

(C)(A+M-b(D)川=四

11、设矩阵A=(l23),B=0,则A4=

’1231

(A)000(B)0(C)(1,0,6)(D)7

1246；g

」2-P

12、设行矩阵4=(。］,。2，〃3)，5=(4也也)，且0-1-3

d-22)

贝AB1=_________

(A)1(B)-1(C)2(D)-2

13、下列命题正确的是B.

(A)若矩阵满足AB=O,则有A=O或6=0

(B)若矩阵4,8满足A3=£,则矩阵A,8都可逆。

(C)若A'是〃阶矩阵A的伴随矩阵，则=

(D)若AwO,则［A1WO

14、设A8为三阶矩阵，网=2,忸|=；,则|2(A4『=

(A)4(B)1(C)16(D)］

2

15、下列说法不正确的是

(A)相似矩阵有相同的特征值。

(B)〃阶矩阵可对角化的充要条件是它有〃个不同的特征值。

(C)n元齐次线性方程组Ar=()有非零解的充要条件是&A)<n。

(D)正交的向量组一定是线性无关的。

16、〃维向量组%,如，…%(3<5<〃)线性无关的充要条件是

(A)存在一组不全为零的数匕也，…右使匕%+k2a2+•••七％工0

(B)%,「2,…中任意两个向量线性无关

(C)%,^2，…中存在一个向量可由其它向量线性表出

(D)中任何一个都不能由其它向量线性表出

(1、，-1、，_2、

1_-3-6

17、向量组%=]的秩为

1()

3

(A)1(B)2(C)3(D)4

(()a、

、设均为〃阶可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵是

1813()J

0A」、

B~l0,I0A-J

0人、

A-10；0B-1

/、(1b}

、na-c

19、设A=,B=30且A=87，则

201

(A)a=l,b=2(B)a=3,b=0

(C)a=3,h=2(D)a=-l,b=O

2()、设A可逆，则X4=8的解是

(A)AB(B)BA(C)A~XB(D)BA-1

21、下列说法正确的是()o

(A)任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵，

(B)设方阵A是非奇异性的，4经过初等行变换得到阶梯阵3,则方阵3为奇异的。

(C)初等矩阵都是可逆的。

(D)矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。

22、设4,B都是可逆矩阵，则的逆是

(A)AB(B)BA(C)A-XB-X(D)A~}

100

23、设4=010则r(A)=___________

000

(A)3(B)2(C)1(D)0

24、设A是〃阶方阵，若R(A)=〃—2,则AX=O的基础解系所含向量的个数为

(A)0(B)1(C)2(D)n

的矩阵是.

25、二次型f=xf-2xyx2+X2

」-20、"1-10、

-2、1-1

(A)(B)(C)010(D)-110

1)(T1J

1°。°，(000,

二、填空题

1.五阶行列式的展开式共有项.

1-12

2.行列式540中元素的2的余子式“32=

-713

000I

3.四阶行列式0020的值是

0300

4000

2

4.矩阵中的元素c21=

-1

5.若A,8为〃阶矩阵，则(4+8)(A—B)=

6.设为3阶方阵，且网=4,闺=2,贝I」|2(B;4*)=

Q11、

7.设矩阵4=022,则

03,

%00、

8.设A=0b0,贝

、00%

9.若4是可逆矩阵，贝U(A尸=

」200)

0100

10.设矩阵A=,则

()033

(002*

’40Y1

11.设A,B是两个可逆矩阵，则分块知阵

J)B,

(k1ir

1kii

12.设矩阵A=]],的秩R(A)=3,则4=________

k1

J।1k,

13.若向量组。1,%，出线性无关，且匕%+Z3a3=0，则数匕，攵2/3=

T

14.向量组。=1£=2中不能由其余向量线性表示的是.

lb

15.向量组%=(1,0,7),%=(2,3,4),%=(1,0,0)的秩为

16.在线性方程组AX=O中，若未知量的个数〃=5,r(A)=3,则方程组的一般解中

自由未知量的个数为

17.设4元线性方程组AX=8的系数矩阵的秩为3,且7=为其两个解,

则AX=Z;的通解为

18.设向量组。］,。2，々3线性无关，则向量组%,/+%，/+%十%(填线

性相关，线性无关)。

19.设〃元线性方程组AX=b有解，则当R(A)—时，AX=Z;有无穷多解。

20.若3阶方阵A的特征值分别为1,-1,2,则3=4+£的特征值为

21.已知〃阶矩阵4的特征值4,4,••/“都不为零，则A"的特征值为

22.设向量组e=(1035),，。2=。213)/，a?：。126)"

。4=(1212),线性相关，则4=

,2、

2k

23.若向量。=3与向量P=0正交，贝|Jk=________

4<-3>

24.已知三阶矩阵A的特征值为4=0,4=1,4=-1,其对应的特征向量分别是

取尸=e3则尸一"尸=

fl3、

25.若方阵4与3=4-15相似，则A的特征值为

02)

2231、12、

26.若矩阵相似，则x=

-12X,34J

27.若二次型/（七,工2，工3）=2玉2+X；+考-2tX{X2+2.%3是正定的，则f应满足的条件

是

三、计算题

120

1、计算行列式24-1

-134

2、

(\23

2、设人=01,B=，求4

、0127

<0

(\0

3、已知XA=/且4=211,求矩阵X。

3,

1-11、

4、设A8=A+XX"其中X=-1,B=-11-1

-11

求矩阵A

12315

5、求A=240-1—3的秩。

-1-2328

’2-20、

6、求方阵A=-21-2的特征值与特征向量。

<0-20/

1--T-0---f

7、求向量组为=-1,0（2=2，臼=1，。4=3,的一个极大无关组。

_0_1_12

8、已知向量组4=(1,0,2-1)\%=（1,2,0』）/,%=（o,i-i,i）r,%=（U[，。）'，

%=(3,2,4,0)丁，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。

阳+42+=1

9、判断线性方程组(玉+2々+巧=3,当〃为何值是有解?

2%j+kxy=2

X]=2X+犬4+1

1()、设线性方程组AX=人的一般解为3天，无4为自由变量，

巧=2元4

求AX=Z?的通解。

11、设A为3X4矩阵，R(A)=2,若非齐次线性方程组Ax=b的三个解分别为:

'4

5

%=

J

求：(1)齐次线性方程组Ar=0的通解;

(2)非齐次线性方程组Ax=〃的通解.

12、求一个正交变换X=/>,把下面的二次型化为标准形

f(.r.,.r=2.r,2+3.r；++4.r,.r,

力'1'/'J/I/JLJ

四、证明题

1.设42=/,A#=7,证明：A是对称矩阵。

2.证明：若向量X是方际A的同时属于特征值4与;的特征向量，则有4=4

3.设4,打是〃阶方阵A的不同特征值，X],X2分别是A的对应于4，4的特征向量,

证明：X]+*2不是A的特征向量.

4.证明；若矩阵3相似于A,则卜七一.=卜上—川

线性代数模拟试题答案

一、单项选择题

kA2、B3、B4、D5、B6、C7、A8、

A9、C10>B11、A12.C13、B14、C15、

B16、D17、C18、C19、C20、D21、C22、

D23、B24、C25、B

二、填空题

1、5!2、-103、244、15、A2-AB+BA-B2

n11、700、

6、87、1558、A"二0bn09、(A-]y

00cn

U514,\/

1-20

00(A-

11、12、-3

1B-1

-3

2

00-1

3

13、k[=k)=k,y—015、316、2

（注：此题答案不唯一）18、线性无关19、小于〃20、

21、否［XT，…X；22、223、5

24、125、2,3,-326、-1727、-1<r<l

、化

三、计算题

120120120

1解：24-1=00-1=-054=5

-13405400-1

<12U47、

Vi2

2、解：AB=01012

101

<0、000,

3、解：・・・|HHO

.•.A”存在，用4一1右乘方程X4=/两边，得乂=4一］

101100-1004-1-1

又•・•211010--^010-521

1-130010()1-311

4-1-1

所以，A-1=-521

-311

1-11f1-11

4、解：・・・XX7=-1(1-11)=-11-1及3=-11-1

J-1।

’-1-11、

1

/.(B-E『存在,且(8-£)7-1-1-1

2

,1

将已知等式A8=A+XX，整理得：A=XXr(B-E)

(1-11

所以A=L-11-1

2

1-11

12315

5、解：对矩阵A施行初等行变换得A=240-1-3

-1-2328

12315

-00-6-3-13

00000

所以r(A)=2

1-A00

6、解：矩阵A的特征多项式为:|A-/IE|=-25-2-2=(3-2)(1-2)2

-24—1-A

令h—zl©—0,解得A的特征值为：4=3,%=4=1.

当4=3时，求解齐次线性方程组（A—3E）x=0的基础解系，由

’-200、’100、

A-3E=-22-2T--->01-1

<-24-4,、()00,

X,-X,=0一一

得对应的方程组为《3，从而解得基础解系p1

X1=0]

于是属于特征值4=3的全部特征向量为勿4,其中k为任意非零常数。

当4=4=1时，求解齐次线性方程组(A—石)工=0的基础解系，由

'000、ri-21、

A-E=-24-2---->000

L-24-2>e00;

12、

得对应的方程组为X,-2x2+x3=0从而解得基础解系Pl=1，〃3=0

⑼J

于是属于特征值4=4=1的全部特征向量为kpz+lp,，其中数攵,/是不同时为零的

任意常数。

7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得，

1-1o-r-1-10-1

（%,%,%，%）=一1213—>…—>0112

01120000

所以，所求向量组的极大无关组为：％,。2。

aa

8、解：记矩阵A=(囚a2%45)对其进行初等变换得

r11013）1013、

0211202112

A二T--->

20-11400000

1100?2000"

由最后一个矩阵可知R(A)=3

从而所求向量组的秩为3,

又因为非零行非零首元所在的列依次为1,2,5列

所以〃।,外,。5为其中一个极大无关组（4,由，〃5或4，。4，。5也对）

1111

9、解：己知方程组的增广矩阵为：X=213

20k2

1I11111

对A施行初等行变换得：A=12130102

20200k-24

所以当攵一2/0,即女工2时，方程组有解。

x=2X+x

10、解：已知方程组对应的齐次线性方程组AX=0的一般解为《}34

=2x4

（与，工4为自由变量）

「2、7

2

令巧=1，工4=。得：〃[二]；令巧=°，犬4=1得：%

0

J7

则小,%为齐次方程组AX=0的基础解系;

八1

0

再令巧=34=。，得非齐次方程组AX二〃的特解:X。二

0

所以AX=/?的通解为：X=攵访+攵2,72+X。。

11、解：（1）由已知条件可知，齐次方程组AX=0含基础解系个数为2个向量,

'1、2、4|

-115

因为/=%=%=,为非齐次方程组

0-1-3

47

AX=/的解,

所以（%一7），（%-彷）为齐次方程组4X=0的解

又因为（%—7），（%—7）线性无关

S2—7)+

所