苏科版九年级上册数学期末试卷含答案

苏科版九年级上册数学期末试题

一、单选题

1.下列关于X的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=OB.（x+2）（x-3）=（x-l）2

C.x24-1=0D.-+x=\

x

2.已知一组数据2,3,5,x,5,3有唯一的众数3,则x的值是（）

A.3B.5C.2D.无法确定

3.若一元二次方程a?+2x+i=o有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A.<1B.a<1C.且。W0D.av1且。。0

4.。。的直径为10cm,点A到圆心O的距离OA=6cni,则点A与。O的位置关系为（）

A.点A在圆上B.点A在圆外C.点A在圆内D.无法确定

5.二次函数y=X?—2工的顶点坐标是（）

A.（2,-4）B.（2,4）C.（L-1）D.（U）

6.将半径为16cm的半圆形纸片围成•个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

7.如图，在YABCQ中，E为BC边上的点，若BE:EC=2:3,AE交BD于F,则

等于（）

A.4：5B.2：5C.5：9D.4：9

8.抛物线y=Y+汝+3的对称轴为直线x=i.若关于X的一元二次方程

X2+bx+3-t=0（t为实数）在一1VXV3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）

A.2<r<11B.t>2C.6<r<11D.2</<6

9.二次函数丁=以2+&+。（4。（））的图象如图所示，对称轴是直线人=一1,下列结论:

①〃仇>0；@b2-4ac>0：③4a+2^+c、v0；@b=2a.其中正确的是（）

A.③④B.①②③C.®@@D.①②③④

10.如图，点A,B,C在0。上，ZAOC=90°,AB=母,BC=1,则。。的半径为（）

二、填空题

11.四边形A8C。内接于©O,若N8=85。，则NO=

12.已知彳=§=:,则叶上=____.

234z

13.已知点40M）,倒4,勿是抛物线》=12一2工+2022上的两点，则a,b的大小关系是

14.甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过三轮的初赛，他们成绩的方差分别是

2

Z甲=0.2,一乙=0.3/2丙=o.25,.VT=0.4，你认为成绩更稳定的是.

15.已知为，X9是一元二次方程“2一4工+3=。的两根，则玉+工2—2玉%2=.

16.已知圆心角为135。的扇形面积为24万，则扇形的半径为.

17.如图，在中，0/1=3,ZC=45°,则图中阴影部分的面积是.（结果保留

冗）

2

c

18.在平面直角坐标系中，二次函数了=以2+法+«〃£（））的图象如图所示，现给出以

下结论：®abc<0；②。+2。<0：③9a-38+c=0；®a-h>m（am-vb）（m为实

数），其中正确的结论有（只填序号）

19.如图，在Rt~48C中，44圆=90。）。=8,4。=6,点P是平面内一个动点，且42=4,

Q为社的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m,则m的取值范围是.

三、解答题

20.计算：

(DX2-2X-3=0

2

(a-4112

(2)先化简，再求值：—―丁，其中a满足a?+3〃—3=0.

\a~-4«+42-aJa~-la

21.关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+2k-2=0.

（1）求证：方程总有两个实数根;

3

(2)若方程有一根小于2,求k的取值范围.

22.将4张印有“梅”“兰州竹”“菊”字样的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在一个

不透明的盒子中，将卡片搅匀.

(I)从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为一.

(2)先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取

出的两张卡片中，至少有1张印有“兰''字的概率(请用画树状图或列表等方法求解).

23.如图，在RjAAC中，NC=90。,AE平分ZBAC交8C于点E,点D在48上，OE_LAE.。

。是用△4DE的外接圆，交AC于点F.

(1)求证：8c是。。的切线：

(2)若。。的半径为10,AC=\6,求S/DE，

24.某校利用课外活动时间，开设了书法、健美操、兵兵球和朗诵四个社团活动，每个学生

选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，将巡查结

果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

条形统计图扇形统计图

(1)请直接填写抽取的学生有人，〃=

(2)补全条形统计图；

(3)若该校有学生4000人，估计参加书法社团活动的学生人数.

4

25.如图，河对岸有一路灯杆A4,在灯光下，小明在点D处，自己的影长叱=4m,沿BD

方向到达点F处再测自己的影长尸G=5m,如果小明的身高为1.6m,求路灯杆A8的高度.

26.老李在驻村干部的帮助下，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，

且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满

足一次函数关系，部分数据如表所示.

销售单价X（元）304045

销售数量y（件）1008070

（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？

（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是

多少元？

27.如图①，AABC和是有公共顶点的等腰直角三角形，N8AC=ND4E=90。，点P

为射线的交点.

（1）如图②，将VAOE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接5。、BE,求证:

BD=CER.BDtCE.

（2）若A3=8.AO=4.把WVDE绕点A旋转.

5

①当NE4C=90。时，求心的长；

②旋转过程中线段4P长的最小值是_______.

28.如图，在平面直角坐标系内，抛物线丁=加+法-8["0)与x轴交于点A、点B,与y

轴交于点C,且08=204.过点A的直线y=x+4与抛物线交于点E.点P为第四象限内

抛物线上的一个动点，过点P作尸〃_LA石于点H.

(1)抛物线的表达式中，,b=；

(2)在点P的运动过程中，若P”取得最大值，求这个最大值和点P的坐标；

⑶在(2)的条件F,在x轴上求点Q,使以A,P,Q为顶点的三角形与△ABE相似.

参考答案

1.C

【分析】本题根据元二次方程的定义解答.元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数

的最高次数是2；(2)二次项系数不为0：(3)是整式方程；(4)含有一个未知数.由这四

个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.

【详解】解：A、a=。时，不是一元二次方程，选项错误；

B、原式可化为：x-7=0,是一元一次方程，故选项错误；

C、符合一元二次方程的定义，正确；

D、是分式方程，选项错误.

6

故选：c.

【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否

是整式方程，然后看化简后是否是只含有-一个未知数且未知数的最高次数是2.

2.A

【分析】根据众数的定义，结合这组数据的具体情况进行判断即可.

【详解】解：在这组已知的数据中，“3”出现2次,“5”出现2次，“2”出现I次，

要使这组数据有唯一的众数3,因此x所表示的数一定是3.

故选：A.

【点睛】本题考查众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据是这这组数据的众数是

正确判断的关键.

3.D

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a#）FI.A=22-4a>0,然后求出两不

等式的公共部分即可.

【详解】解：根据题意得存0且△=22-4a>0,

解得aVl且a#0.

故选：D.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a视）的根与△=bZ4ac有如下

关系：当A»0时，方程有两个不相等的实数根：当△-0时，方程有两个相等的实数根：当

△<（）时，方程无实数根.

4.B

【分析】根据题意得。O的半径为5cm,则点A到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点

与圆的位置关系可判断点A在。O外.

【详解】解：•・•00的直径为10cm,

AOO的半径为5cin,

而点A到圆心0的距离OA=6cm>5cm,

・••点A在00外.

故选B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为I■，点P到圆心的距离OP=d，则

有点P在圆外，则d>r；点P在圆上，则d=r；点P在圆内，则dVr.

5.C

7

【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解.

【详解】解：：J=x2-2r=(x-l)2-1,

・•・二次函数)，=的顶点坐标为(1,-1),

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握将抛物线解析式化为顶点式的方法.

6.C

【分析】易得圆锥的母线长为16cm,以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周

长，除以2江即为圆锥的底面半径.

【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2兀x16+2=167i(cm),

・•・圆锥的底面半径为167r-2兀=8(cm),

故选：C.

【点睛】本题考查了圆锥的计算.用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长.

7.B

【分析［通过证明△ADFsaEBF,可求解.

【详解】解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAD/7BC,AD=BC,

VBE：EC=2：3,

/.BE：AD=2：5,

VAD/7BC,

•••△ADFS/XEBF,

ABF：FD=BE：AD=2：5,

故选：B.

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形

的性质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.

8.D

【分析】由抛物线的对称轴可得抛物线解析式，将x2+bx+3-t=0转化为抛物线y=x2+bx+3

与直线y=t在-1VXV3的范围内有交点的问题，进而求解.

【详解】解：•・•抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=-g=l,

/.b=-2,

8

/.y=x2-2x+3,

Vy=x2-2x+3=（x-1）2+2,

・•・抛物线开口向上，顶点坐标为（1，2）,

将x2+bx+3-t=0整理为x2-2x+3=t,

・•.当t=2时，抛物线顶点落在直线y=2上，满足题意，

把（-1,I）代入y=x2-2x+3得t=6,

把（3,t）代入y=x?-2x+3得1=6,

・・・20V6满足题意，

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数

图像与系数的关系.

9.D

【分析】根据二次函数的图象和性质逐个判断求解即可.

【详解】•・•对称轴是直线尸-1,

・,・一二=一1，即8二2。，故④正确;

2a

•・•抛物线开口向下，

:.〃<0,

b<0,

•・•抛物线与y轴交于正半轴，

••c>0,

:•abc>0,故①正确；

•・•抛物线与x轴有两个交点，

・•・ax2+/>+c=0有两个不相等的实数根，

**•b2-4ac>0»故②正确;

当x=2时，y=4a+2b+c<0,故③正确；

综上所述，正确的有①②③④.

故选：D.

【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数），=◎?+瓜+。（。工0）系

数符号与抛物线开II方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系

9

是解题的关键.

10.C

【分析】作AOJ.C8交CB的延长线于点D,连结AC,OB.只要证明是等腰直角

三角形，即可推出">=OB=1,再利用勾股定理即可求出AC,进而求出。。的半径.

【详解】解：如图，作AD_LC8交C8的延长线于点D,连结4C.

•;OB=OC,OB=OA,

：.4OBC=4OCB,4)BA=4OAB,

又,:ZAOC=90°,

・•・ZABC=NOBA+Z.OBC=；(360°-ZAOC)=135°,

・•・/BAD=ZABC-ABDA=135°-90°=45°,

••・△4)3是等腰直角三角形.

**-AD2+DB2=2AD2=AB2，

AD=DB=—AB=—X42=\,

22

/.0c=03+80=1+1=2,

:、AC=>]AD2+DC2=Vl2+22=5

'：OC=OAfZAOC=9C°,

-nr-Ar-^一屈

••0C=----AC=-----x\Jj=------,

222

・・・。。的半径为画.

2

故选C.

【点睛】本题考查圆的基本认识，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质

等，解题的关键是证明△4)8是等腰直角三角形.

11.95

【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算即可.

10

【详解】解：•・•四边形ABCD内接于。O,

/.ZB+ZD=180°,

VZB=85°,

.*.ZD=180o-85o=95°,

故答案为：95.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

12.-

4

【分析】利用设k法进行计算即可解答.

【详解】解：设=3

.*.x=2k,y=3k,z=4k,

.x+y_2k+3k_5

z~4k-4,

故答案为：7.

4

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键.

13.a<b

【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴与开口方向，根据点A,B到抛物线对称轴的

距离求解.

【详解】解：Vy=x2-2x+2022=(x-1)2+2021,

・••抛物线的对称轴为直线x=l,旦开口向上，

Vl-O<4-1,

・••点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，

:.a<b,

故答案为：a<b

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，

14.甲

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解.

【详解】解：・・・/甲=02§2乙=0.3,S2闪=0.25,/丁=0.4,

，方差最小的为甲，

・•・成绩更稳定的是甲.

11

故答案为：甲.

【点睛】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明

这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定：反之，方差越小，表明这组数据分

布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

15.-2

【分析】根据根与系数的关系得到X|+X2=4,XIX2=3,然后利用整体代入的方法计算X1+X2

-2X1X2的值.

【详解】解：根据题意得XI+X2=4,xtx2=3,

xi+xz-2XIX2=4-2x3=-2.

故答案为・2.

【点睛】本题考杳了一元二次方程根与系数的关系：若XI,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0

(a/O)的两根时，xi1x2=xx>=-,掌握根与系数的关系是解题的关键.

a(a

16.8

【分析】根据扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案.

【详解】解：根据

360

-TZRr,1351产

可得：24兀=------

360

解得：r=8.

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行计算是解决本

题的关键.

17.也」

42

【分析】由NC=45。，根据圆周角定理得出4404=90。，根据S阴影二SM形A0B一1人神可得

出结论.

【详解】解：・・・NC=45。,

JZAOB=90°,

••S阴影=S吊形AOB-S

12

90x7x32

--x3x3

2

919

T-2

97r9

故答案为：—.

42

【点睛】本题主要考杳圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面枳是

解答此题的关键.

18.®®@>

【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴交点判断c的正负，由抛物线

对称轴判断a与b的关系.根据抛物线的图象的性质对结论进行判断.

【详解】由图象可得a>0,c<0,一=<0,

・・・b>0,

・・・abc<0,故①止确，符合题意.

由抛物线对称轴-3二*1可得b=2a,

2a

Vx=1时,y=a+b+c=0,

a+2a+c=0,

即c+3a=0,

c+2a=-a<0,

故②正确，符合题意.

;图象对称轴为直线x=-l,且经过点(1,0)

・•・抛物线与x轴另一个交点坐标为(・3,0),

x=-3时,y=9a-3b+c=0,

故③正确，符合题意.

当x=-l时，函数有最小隹.为a-b+c,

当x=m时，y=am2+bm+c,

:.am2+bm+c>a-b+c,

整理得a-b<m(am+b),

故④错误，故不符合题意.

所以正确的有：①②③

故答案为：①②③.

13

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次

函数与不等式的关系，二次函数与方程的关系.

19.3<m<7

【分析】取AB的中点M,连接QM、CM,得到QM是乙APB的中位线，CM是斜

边上的中线，求得QM、CM的长，在仆QMC中利用三角形三边关系得到CQ的范围即可.

【详解】取AB的中点M,连接QM、CM,

AQM是^APB的中位线，CM是RkABC斜边上的中线，

=-AP=2CM=-AB,

2f2

在RSA8C中，ZACfi=90°MC=8,BC=6,

,,AB=+8?=10，

/.CM=5,

点P是平面内一个动点，

，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，

，C、Q、M可以三点共线，

ACM-MQ<CQ<CM+MQ,

5</n<7,

故答案为：3<m<7.

【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，中位线定理、三角形三边关系等

知识，分析点Q的运动是解题的关键.

20.(I)x,=-l,x,=3

【分析】(1)利用因式分解法求解可得：

(2)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，求出a2+3a=3,

14

最后把a?+3a=3代入化简的结果，即可求出答案.

(1)解：x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,可得x-3=0或x+l=0,解得：xi=3,X2

(^7+2)167-2)|

(2)解：原式=.〜十

(«-2)-2

3

-0=4凸,由a2+3a-3=0得a?+3a=3,原式=5

a-22

【点睛】本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21.(1)见解析.

⑵Zv3.

【分析】(I)利用根的判别式，求出△?()恒成立，即可得出结论.

(2)利用因式分解法得到该方程的两个根，一个是2,一个是攵-1,根据方程有一根小十

-3,即可求出k的取值范围.

(1)Va=l,b=-(k+l),c=2k-2,AA=b2-4ac=[-(k+1)]2-4xlx(2k-2)=k2

-6k+9=(k-3)2大，.••方程总有两个实数根.

2

(2)Vx-(k+1)x+2k-2=0,即[x-(k-1)1(x-2)=0,Axi=2,x2=k-1,又，:

方程有一个根小于2,，k-1V2,・・・kV3,即k的取值范围为kV3.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键

是熟练运用这些知以点进行求解.

I7

22.(1)一；(2)—

416

【分析】(1)直接利用概率公式求解可得：

(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可

得.

【详解】(1)从盒子中任意取出I张卡片，恰好取出印有“兰''字的卡片的概率为:，

4

故答案为：:；

4

(2)画树状图如下:

15

开始

八八H八

梅兰竹菊梅兰竹菊梅兰竹菊梅兰竹菊

由树状图知，共有16种等可能结果，其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果，

7

・•・至少有1张印有“兰''字的概率为77.

16

【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题时需要注意是放I可试验还

是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.⑴见解析

(2)80

【分析】(1)连接OE,利用角平分线的性质和等腰三角分的性质证明AC〃OE,即可解答：

(2)先证明△ACEsaAED,求出AE的长，再利用勾股定理求出DE的长，进行计算即

可解答.

(1)证明：连接OE,VOA=OE,AZ1=ZOEA,YAE平分NBAC，N1=N2,Z.Z2

=ZOEA,・・・AC〃OE,；.NC=NOEB=90。TOE是。O的半径,...BC是。O的切线；

(2)・；AD是。O的直径，AZAED=90°,AZC=ZAED=90°,VZ1=Z2,

ArApAp_

**•AACE^AAED,AACES扒ED,：.——=——,即=•**AE=8>/5(负值舍

AEADAE20

去),JDE=《AD?-4炉=同_(8可=4逐，ASAADE=|AE-DE=x8>/5x4^=80.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，三角形外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握角平

分线的性质和等腰三角形的性质证明平行线是解题的关键.

24.(1)20(),54,25

(2)见解析

(3)约1000人

16

【分析】（I）根据参加乒乓球社团的人数为80人，占抽取的总人数的40%,可求得推取的

总人数，从而求得n与a的值.

（2）根据（1）问中求得的抽取的总人数，计算其中参加朗诵社团的人数，从而补全条形统

计图.

（3）根据参加书法社团的人数占抽取的总人数的25%,估算全校参加书法社团的学生人数.

（1）

解：•.•参加乒乓球社团的人数为80人，占抽取的总人数的40%,

，抽取的总人数为80・40%=2（X）（人），

•・•参加健美操社团的人数为30人，抽取的总人数为200人，

3（）

，参加健美操社团的人数占抽取的总人数的芸x100%=15%,

在扇形统计图中，〃。=360。、15%=54。，即n=54,

•・•参加书法社团的人数为50人，抽取的总人数为200人，

・•・参加书法社团的人数占抽取的人数的骂;xl（X）%=25%,即a=25,

200

故答案为：200；54；25；

（2）

解：•••抽取的总人数为200人，

又•・•参加健美操社团的人数为30人，参加书法社团的人数为50人，参加乒乓球社团的人数

为80人,

••・参加朗诵社团的人数为，200-30-50-80=40（人）

••・条形统计图如下：

书法健美操乒乓球朗诵社团

(3)

解:4000x25%=1000(人)

17

答：估计参加书法社团活动的学生人数为1000人.

【点睛】本题考查了数据的整理和分析，熟练掌握各社团人数及其所占百分比是解题的关键.

25.8m

【分析】在同•时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答.

【详解】解：•：CD〃EF〃AB,

，可以得到△48/7^6尸，AABG-AEFG,

.ABBFABBG

'''CD~~DF'~EF~~FG'

又,：CD=EF,

.BFBG

''~DF~~FG

VDF=4,FG=5,BF=BD+DF=BD+4,BG=BD+DF+FG=BD+9,

.4+8。9+8。

・・------=------,

45

/.fiD=16,BF=16+4=20,

.AB20

..—=—,

1.64

解得A3=8.

答：路灯杆A3的高度为8米.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，

利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果.

26.（l）y=-2x+160

⑵销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元

⑶销售单价定为50元时，每天的利润最大，最大利润是1200元

【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，门〃，

用待定系数法求解即可；

（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成

本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；

（3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根

据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案.

（30〃+8=100

（1）解：设丫=1^+1）把（30,100）,（40,80）代入得“解得：k=-2b

402+人L=80

18

=l60.*.y=—2x+160当x=45,y=70时也适合.所以y与x的一次函数关系式是y=-2x

+160；

(2)解：根据题意，得800=(x-30)(-2x+160)整理，得V71。工+2800=0解得

XI=40,X2=70V30<X<50々=7。(不合题意，舍去)，销售单价定为40元时，每天的

销售利润为800元：

(3)解：由题意，得\丫=(、-30)(—2*+160)=-2/+22(次一48(勘=-2(x-55)2+1250Va

=-2V(),・••卬有最大值.•••3OWXW5O,当XV55时，卬随工的增大而增大，，当x=50

时.，卬有最大值，此时，w=-2(50-55)2+1250=120()答：销售单价定为50元时，

每天的利润最大，最大利润是1200元.

【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基

本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

27.⑴见解析

⑵①=：行或胃石；②46-4

JJ

【分析】(I)证明AAB屋△ACE,可得BD=CE,ZABD=ZACE,再由NCAB=90。，

可得NACE+NA尸8=90。.再根据三角形的内角和定理，即可求证；

(2)①分两种情况讨论：当点E在AB上时；当点E在川延长线上时，即可求解：②以A

为圆心八Z)为半径画圆，当CE在。A下方与相切时，/中的值最小.根据勾股定理可得

BD=CE=46再证得四边形AEPO是矩形，可得尸O=AE=4,即可求解.

(I)解：如图，和VAOE是等腰直角三角形，・・・AB=AC,AD=AE,♦:

ABAC=/LDAE=9()°,/.ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,HPZBAD=ZCAE.在△A6。和

AD=AE

△ACE中，/BAD=/CAE,：.AABD04ACE(SAS),BD=CE,ZABD=ZACE,V

AB=AC

19

ZC4B=90°,AZABD+ZAFB=90°,AZACE+ZAFB=90Q..:力FC=ZAFB,：,

ZACE+ZDFC=90°,：.ZFDC=90°,:・BDLCE；

20

（2）解：①如图，当点E在A8上时，BE=AB-AE=S-4=4.VZE4C=90°,AE=4,

AC=8,/.CE=\lAE2+AC2=V82+42=4>/5»同（I）可证△AQBgAAEC.工

.PB_BEPB4

ADBA=/ECA.'：4PEB=NAEC,:•丛PEBs^AEC.'~AC~~CE8~4x/5

™=|>/5.如图，当点E在小延长线上时，BE=ABi-AE=\2.VZ£4C=90°,/.

CE=y]AE2+AC2=A/42+82=4>/5»同（1）可证：AADB也AAEC，；・NDBA=/ECA,

•:/BEP=NCEA,APEBs^AEC,:・冬=叁，：,2=3，：,PB="亚•综

ACCE84j55

上.=或个石.②如图，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在0A下方与。人相

JJ

切时，M的值最小.理由：设AB交PC于点M,〈NBAC二NDAE=90A・・・NBAD:BCAE,

VAB=AC,AD=AE,/.AABD^AACE,AZABD=ZACE,ZADP=ZAEC=ZAEP=90°,

BD=CE,〈/BMP:/AMC,・・・NBPM二NCAB=90。，「•△PBC是直角三角形，•・•斜边6。为

定值，・•・N8CE最小，因此即最小，：AE1EC,：,EC=^AC2-AE2=^82-42=4>/3，

:・BD=CE=4拒,VZ4D^=Z4EC=90°,AZADP=ZD/IE=ZAEP=90°,工四边形

AEPD是矩形，；・包>=4?=4,・••尸8=3。-尸。=4/一4.综上所述，依长的最小值是

21

46一4

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，解直角三角形，全