期中测试卷01 新题型结构导数、计数原理、随机变量及其分布列、成对数据的统计分析（解析版）

高二数学下学期测试卷（新高考新题型）01

期中测试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

（考试内容：导数及其应用、计数原理、随机变量及其分布列、成对数据的统计分析）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（河北省唐山市第十一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题）下列各式中正确的是（）

/1

A.(3'j=3"n3B.(logaC.(3'j=3xD.(垣㈤=-

X

【答案】A

【分析】根据导数运算公式即可得出答案.

【详解】（3，）'=3Un3,A正确，C错误；

（logflx/,B、D错误.

xina

故选：A.

2.（河南名校联盟2022-2023年底二下学期期中联考数学试卷）某同学逛书店，发现3木喜欢的书，若决定

至少买其中的两本，则购买方案有（）

A.4种B.6种C.7种D.9种

【答案】A

【分析】分为买两本和买三本两种情况求解即可.

【详解】买两本，有.3种方案；买三本，有1种方案；

因此共有方案3+1=4（种）.

故选：A.

3.（河南名校联盟2022-2023年高二下学期期中联考数学试卷）若/（x）=ln（2-x）+V,则

【答案】B

【分析】先对函数求导，后利用导数的定义转化求值即可.

【详解】由题意得八幻=一二+3/,所以八1）=丁二+3=2,

x-21-2

/(1+Ax)-/(1)=⑴

所以lim

AITO32V3AIOAx

故选：B.

4.（山东省名校联盟2021-2022学年高二下学期质量检测联合调考数学（B1）试题）在某一次招聘中，主

考官要求应聘者从备选题中一次性随机抽取1（）道题，并独立完成所抽取的10道题，每道题答对得10分,

答错不得分.甲答对每道题的概率为:，且每道题答对与否互不影响.记甲最后的得分为X,则。"）=（）

20°20

A.—B.—

93

厂200c2000

C.—D.-----

99

【答案】D

【分析】根据二项分布方差公式求解。（丫），再由x=ioy结合方差的性质求解.

【详解】由题意甲答对的题目数y：

21?0

所以。（丫）=枕（1-。）=10）4.=d.

JJJ

%）00

因为x=ioy,所以D（x）=iooo（y）=一^一.

故选：D

5.（山东省滨州市2023年高二下学期期末数学试题）某学校一同学研究温差工（单位：°C）与本校当天新

增感冒人数）'（单位：人）的关系，该同学记录了5天的数据：

X568912

y1620252836

由上表中数据求得温差x与新增感冒人数），满足经验I可归方程），=加+2.6,则下列结论不正娜的是（）

A.x与），有正相关关系B.经验回归直线经过点（8,25）

C.b=2.4D.x=9时，残差为0.2

【答案】C

【分析】根据X和y的变化规律，即可判断A；计算（工中，即可判断B；将样本点中心代入回归直线方程,

即可求/；，即可判断C：根据回归直线方程计算x=9时的计算）」上即可判断D.

【详解】由表格可知，x越大，）越大，所以x与丁有正相关关系，故A正确；

试卷第2页，共16页

,5+6+8+9+12,16+20+25+28+36«

x=---------------=8o,y=------------------=25,

55

样本点中心为（8,25）,经验回归直线经过点（8,25）,故B正确：

将样本点中心代入直线方程，得25=筋+2.6,所以8=2.8,故C错误；

£=2.8x+2.6,当x=9时，$=27.8,y-y=28-27.8=0.2,故D正确.

故选:C

6.（2023下•河南•高二校联考期中）将“5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实

习，要求每个班至少一名，最多两名，其中。不去甲班，则不同的分配方案有（）

A.180种B.150种C.90种D.60种

【答案】D

【分析】本着排列组合混合的题型要“先分类，后分步，先组合，后排列”的原则分析解决问题.

【详解】根据题意，去甲班实习的教师可以是1人或2人.

有I人去甲班时，因为。不去甲班，可从另外4人中选1人去甲班，有C：种选法，

再选2人去乙班，有C；种选法，剩下2人去丙班，有C；种方法，

这是分3步完成的，故有C：C：C”4x6xl=24种方案；

有2人去甲班时，因为。不去甲班，可从另外4人中选2人去甲班，有C：种选法，

再剩余3人分配到2个班的分法有C；A；种方法，

所以这类办法有=6x3x2=36种.

故不同的分配方案有：24+36=60.

故选：D

7.（2023下•浙江温州•高二校联考期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测晶体温的,

有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为36.9C的人时,显示体温X服从正态分布N069等）

若X的值在（36.6,37.2）内的概率约为0.9973,则〃的值约为（）

参考数据：若5liJP（|X-//|<3o-）«0.9973.

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根据体温X服从正态分布N［36.9,一［J,结合X的值在(36.6,37.2)内的概率约为0.9973,且

P(|X-//|<3b)h0.9973,得到Pi36.9-3<T<X<36.9+30)b0.9973求解.

【详解】解：因为体温X服从正态分布N，6.9,竿)，

所以〃=36.9,。2=幽，

n

因为X的值在(36.6,37.2)内的概率约为0.9973,且P(|X<3a)«0.9973,

则P(36.9-3<T<X<36.9+3<r)«0.9973,

所以?(36.9-3a<X<36.9+3b)=尸(36.9-0.3<X<36.9+0.3),

则3b=0.3,解得。=0.1,

所以些=0.『，解得〃=5,

11

故选：c

8.(2022下•重庆北陪•高二重庆市朝阳中学校考期中)拉格朗口中值定理是微分学中的基本定理之一，定理

内容是：如果函数在闭区间［。封上的图象连续不间断，在开区间(。,。)内的导数为了'(X),那么在区间

包力)内至少存在一点。，使得伍-。)成立，其中c叫做/(幻在［&目上的“拉格朗日中值

点”.根据这个定理，可得函数/㈤=d-3x在［-2,2］上的“拉格朗日中值点”的个数为()

A.3B.2C.ID.0

【答案】B

【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可.

【详解】函数解x)=d-3x,

则“2)=2,/(-2)=-2,/(力=3f-3,

由f⑵一」(-2)=r©(2+2),

得f'(c)=l,即3/_3=l,

解得.士手式一2,2］,

所以/(“)在［-2,2］上的“拉格朗日中值点”的个数为2.

故选：B.

试卷第4页，共16次

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.（2023下•江苏宿迁•高二统考期中）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）.

A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法

B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法

C.5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法

D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法

【答案】BCD

【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根

据分步计数原理：先排两端，再神中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况.

【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有A；=6种排法，丁、戌站后排，有A；=2种排法，

共有6x2=12种排法，故A错误；

对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，

若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有A：=24种排法，故B正确；

对C：5人站成一排，甲不在两端，共有A；A；=12x6=72种排法，故C正确；

对D：5人站成一排，有A；=120种排法，

则甲在最左端，乙不在最右端，共有C；A；=3x6=18种排法；

甲不在最左端，乙在最右端，共有C；A；=3x6=18种排法；

甲在最左端，乙在最右端，共有A；=6种排法；

则甲不在最左端，乙不在最右端，共有120-（18+18+6）=78种排法，故D正确.

故选：BCD.

10.（202?下.浙江嘉兴.高一校联考期中）已知〃司==，则（）

e

A.曲线y=/（x）在x=l处的切线平行于x轴

B./（”的单调递减区间为（。,1）

C./（力的极大值为，

e

D.方程=没有实数解

【答案】AC

【分析】利用导数的几何意义可判断A选项：利用函数的单调性与导数的关系可•判断B选项；利用函数的

极值与导数的关系可判断C选项；令g(x)=/(x)+l,利用零点存在定理可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为“％)==,则/(、•)==：，所以，r⑴=0，

ee

又因为J'(i)=F故曲线y=/(x)在x=i处的切线方程为y=；，

所以，曲线)，=/(力在x=i处的切线平行于x轴，A对；

对于B选项，函数/(X)的定义域为R,由r(K)=r<°，可得4>1，

e

所以，函数“X)的单调递减区间为(1,位)，B错；

对于C选项，由/<勺>0可得x<l,

所以，函数/(力的增区间为(f/)，减区间为(1,+00),

所以,函数“力的极大值为"i)=Lc对；

e

对于D选项，令g(x)=/(x)+l=W+l,则函数g(x)在区间(TO,1)上单调递增，

e

又因为g(—l)=l-e<0,g(0)=l>0,贝iJg(-l)g(0)<0,

由零点存在定理可知，函数g(x)在区间(TO)存在零点，即方程/(6=-1有解，D错.

故选：AC.

11.(2023下•湖南•高二校联考期中)有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为

6%,5%,4%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数的比为5:6:9,现任取一个

零件，记事件4="零件为第，・台车床加工“(i=l,2,3),事件8="零件为次品“，则()

A.P(/\)=0.25B.P(B|A)=i

C.。⑺=0.048D.P(A⑻=得

【答案】ACD

【分析】AB选项，根据题意可得到?(4)二不为=；，P(B|A)=5%,判断AB：C选项，根据全概率

公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算.

【详解】AB选项，事件A="零件为第i台车床加工”(，=1,2,3),事件8="零件为次品”，

试卷第6页，共16页

则P（A）=---------=—,P（A,）=----------=—,P（A^）=----------=—

S5+6+94,15+6+910',5+6+920

P（B|A）=6%,P（⑶Aj=5%,P（叫4）=4%,故A正确，B错误;

C选项,P（8）=P（AB）+P（45）+P（AB）

=P（A）P（8⑷+P（Az）P（8%）-P（4）P（M4）

13Q

=-x6%+—x5%+—x4%=0.048,故C正确;

41020

P（AB）_P.IA）P（A）_0.25x6%_5

D选项,P（A|B）=故D正确.

P（B）~P（B）-0.048-16

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

/\

12.（江西省重点中学协作体2024届高三一模数学试题）2--（x+W*的展开式中的系数为________

ky）

【答案】24

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.

【详解】二项式（x+y）6的展开式通项公式为7；川=为产,匕「46,-2,

当r=4时，7；=C>2/=I5X2/,当r=5时,7；=C^'y5=6xy5,

因此展开式中含的项为2x15工2）N+6式产（-3=24.?>'4,故所求系数为24.

y

故答案为：24.

13.（四川省射洪中学校2022-2023学年高二强基班下学期第二次半月考文科数学试题）某池塘中水生植物

的覆盖水塘面积x（单位：dm2）与水生植物的株数y（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用

模型>去拟合x与），的关系，设z=lny,工与z的数据如表格所示：

【分析】根据已知条件，求得£=5,5=4,进而代入回归方程可求得&=-2,从而得出2=1.21-2,联立

z=lny,即可求得本题答案.

【详解】由己知可得，元=弋空=5,7=2+2.5+4.5+7,

-----------;----------=4,

4

所以，有4=1.2x5+&,角单得&=-2,

所以，z=\.2x-2,

由z=InV,得1”=1.2X一2,

所以，y=eL2T=e-2.e3,则c=e-

故答案为：C2

14.(江西省重点中学协作体2024届高三一模数学试题)斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割

数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，

指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式

定义：/MLqnLquaM+KTSNZ/wN'AuMi，%,•・,〃2g且8H0中，则B中所有元素之和

为奇数的概率为一.

【分析】记A中所有偶数组成的臾合为C,所有奇数组成的集合为D,集合。的子集为E,集合。中含有

奇数个元素的子集为立则所有元素之和为奇数的集合8可看成Eu”,然后可解.

【详解】由斐波那契数列规律可知，集合A={4，a”，生02J中的元素有674个偶数，1350个奇数，

记A中所有偶数组成的集合为C,所有奇数组成的集合为。，集合。的子集为£集合。中含有奇数个元

素的子集为产，

则所有元素之和为奇数的集合8可看成石。尸，

显然集合£共有2674个，集合〃共有C；35O+C［。+C%+…+C黑=个，

所以所有元素之和为奇数的集合B共有2674x2.9=2的个,

2023

又集合A的非空子集共有*一个，所以“中所有元素之和为奇数的概率0为加

72023

故答案为：/h

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将集合A分拆成所有偶数组成的集合及所有奇数组成的集合，利用

二项式系数的性质求出含有奇数个奇数组成的集合个数.

试卷第8页，共16文

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.（13分）（甘肃省武威市天祝藏族自治县第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）已知

n

A：=56C：,且(1-2x)“=a()+a^x+a2JC+-••+anx.

⑴求〃的值;

(2)求4+生+。3+…+4的值;

(3)求+…+的值.

【答案】（1）〃=15

(2)-2

315-1

2

【分析】由排列数和组合数公式求出〃的值，再通过赋值法,求4+%+4+…+q和％+/+/+…+%的

值即可.

【详解】（1）・・・A：=56C：,・・・〃A7,

L

・・〃(〃T(，L2)(“-3)(〃-4)=56X——------——----————，

'八八八77x6x5x4x3x2xl

("5)(〃-6)

■•I=-----------------，

90

n2-lln-60=0>解得〃=一4(舍)或〃=15,

An=15.

（2）由第（1）问，〃=15,

/.(1-2x)'5=%+qx+a,x2+…+抬彳”①,

令①式中x=l，则(1-21=4+4+%+…+%,

15

aQ+q+a2+•••+a15=(-l)=-l,

令①式中x=0,则产=%,即4=1,

；・q+生+%+…+6,=+%+/+…+°15=_]_1=_2.

(3)令第(2)问①式中x=T,则(1+2『=%-q+〃2-4+…

%％-%-----44-4s=35②,

由第(2)问，％+q+%+%+…+。14+。15=-1③，

②，③两式相加，得

2（%）+/■*---%）=3"-1,

,315-1

a+a+a+，+a++，+6,

，024''n-\=«o+^2^4"14=----

16.（15分）（2023下•辽宁大连•高二校联考期中）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全

国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）

班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.

（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率：

（2）汜参加活动的女生人数为X,求X的分布列及期望£（%）；

（3）若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动,

且选择参加1项或2项的可能性均为方；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的

可能性也均为g.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为V,求丫的期望

%）.

【答案】

,、2

⑵分布列见解析，E（X）=）

⑶E（y）=i3

【分析】（1）根据条件概率公式可求出结果；

（2）根据超几何分布概率公式可求出结果；

（3）先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果.

【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件4”恰有一名女生参加活动”为事件

则2解8）=罟=尚,尸（A）=^^=[,

所以P（B|A人瑞二号4.

5

（2）依题意知X服从超几何分布，且P（X=«）=-cTa=0,1,2),

试卷第10页，共16页

P(X=O)=m，P(X=l)=等$P(X=2)=|1q

所以X的分布列为:

（3）设一名女生参加活动可获得工时数为%,一名男生参加活动可获得工时数为X?,

则X的所有可能取值为3,6,X2为所有可能取值为6.9,

1119

P（K=3）=P（X=6）=Q,E（X,）=3X-+6X-=-,

P（X,=6）=尸（X,=9）=-,E（X,）=6x，+9x，=U,

''2222

有X名女生参加活动，则男生有2-X名参加活动.

ois,

r=-X+y（2-X）=15-3X,

2

所以E（zy）=E（l5-3X）=15-3E（X）=15-3x]=13.

即两人工时之和的期望为13个工时.

17.（15分）（2024年普通高等学校招生全国统一考试。信息卷文科数学（七））直播带货是一种直播和电商

相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，

直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：

月份X12345

带货金额）'/万元350440580700880

⑴计算变量x，的相关系数〃（结果精确到0.01）.

⑵求变量K，）'之间的线性问归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额.

（3）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：

参加过直播带货未参加过直播带货总计

女性2530

男性10

总计

请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.

参考数据：7=590,4.T，10,i(^-y)2=176400,

1=1f=I

£(巧7)(其一),)一1320,7441(X)0^664.

/=1

£(1)(二)-tkT(y—5)

参考公式：相关系数，.二J“E,线性回归方程的斜率........-,截距

-

a=y-bx.

,,2n(ad-bc)2,

附：K--------―—―,其中〃=a+Z?+c+”♦

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

*淮)0.150.100.050.025

k。2.0722.7063.8415.024

【答案】(1)0.99

(2)y=132x+194,1118万元

(3)表格见解析，有

【分析】(I)直接代入求相关系数即可;

(2)根据线性回归方程求解回归方程即可;

(3)零假设之后计算K?,再比较大小判断零假设是否成立即可.

13201320

才0.99

【详解】(1)一5/l0xVl76400-2x7441000

⑵因为x=(x(l+2+3+4+5)=3,亍=590,=10,欧%一-y)=1320,

5r=i；=i

.ZkTaT1320

所以8------------；—=4r=132,<7=590-132X3=194,

Z")10

r=1

试卷第12页，共16页

所以变量X,)'之间的线性回归方程为3=132.1+194,

当工=7时，y=132x7+194=1118(万元).

所以预测2023年7月份该公司的直播带货金额为1118万元.

(3)补全完整的列联表如下.

参加过直播带货未参加过直播带货总计

女性25530

男性151025

总计401555

零假设”。：参加直播带货与性别无关,

2

根据以上数据，经计算得到K=S5x(25xlO—5xL5)・°>2706

30x25x40x15

根据小概率值a=0.1的独立性检验我们推断，。不成立，即参加直播带货与性别有关，该判断犯错误的概率

不超过10%.

18.(17分)(山东省潍坊市2024届高三上学期期末数学试题)已知函数/(x)=a(e'+々)-2mMa>0),“X)

的导函数为了'(".

(1)当a=l时，解不等式/(x)>e'；

(2)判断了'(X)的零点个数;

(3)证明:/(x)24+/+lnf.

【答案】⑴倒，闷

(2)1个

(3)证明见解析

【分析】(1)化简不等式，利用对数函数的单调性解出不等式即可;

(2)利用导数考查/'(X)的单调性，结合零点存在性定理即可判断;

⑶根据函数〃㈤的单调性，可得/⑴的最小值43),其中广(个)=0,利用.“％)“+『+］口cr_

~4即可

证明.

【详解】(1)当4=1时，

/(x)=e'+l-21nx>ev,

所以所以0<xv6，

所以不等式的解集为(0,瓶).

(2)函数/("的定义域为(0,+8),广(力=优'-2=竺£二.

XX

令g(x)=orc'-2,则g'(x)=a(x+l)e'>0,

所以g(x)在区间(0,w)上单调递增.

又因为g(0)=-2<0,七J=2e=2=2,”1「0,

所以存在义w。。)使得g(叶)=0,

所以r(“在区间(0,y)上有且只有一个零点七.

(3)证明：由(2)知,当x«Q/)时,r(x)<0,

/⑴在((),％)上单调递减，

当了«%,+8)时，r(x)>o,

/⑴在(玉,+8)上单调递增，

所以f(x)N/(3)=a(e"+«)-21nx0.

2

flr

因为a%e‘-2=0,所以〃e'=一,\na+x0=\n2-\nx0,

xo

2

所以/(x(>)=a(e"+«)-21nx0=—+a-2(ln2-ln«-x0)

%