第七章线性变换

第七章线性变换(小结)

本章的重点：线性变爽的矩阵以及它们对角化的条件和方法.

本章的难点：不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.

线性变换是线性代数的中心内容之一，它对于研究线性空间的整体结构以及

向量之间的内在联系起着重要作用。线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、

数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广，它的理论和方法，(特别是与之相适

应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科，都有极为广

泛的应用。

本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示，在方法上则充分利用了线性变

换与矩阵对应和相互转换。

一、线性变换及其运算

10基本概念：线性变换，可逆线性变换与逆变换；线性变换的值域与核,

秩与零度；线性变换的和与差，乘积和数量乘法，哥及多项式。

2。基本结论

(1)线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变；线性变换把负向量

变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组

(2)线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性

变换。

(3)线性变换的基本运算规律(略)。

(4)•个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成-

个线性空间。

(5)线性空间V的线性变换」/的象Im(「/)=「/V与核kerJ/="一(0)

(a).「他象Im(.")=./V与核ker"="一(0)是一的(.")子空间.

(b)若dim(丫尸〃，则Im(")由V的一组基的象生成:即设V的一组基

Im(.v)=./V=L(.'6],'62，={.r/d|aGV}o

kerzAz/-'(0)={aeVl，々二0}。

(c)「/fit)秩(dim)+」/的零度(dimker.z/)-n.

（d）.7是双射是单射OKer（.力二｛0｝。，/是满射。

（e）像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V的一组

基：

取Im/Gj一组基尸”2,…瓦，存在，使得=力，i=l,2,

再取ker」邓基仁,...%,则%,就是V的一组基.

二、线性变换与矩阵

1.基本概念：

（1）线性变换在基下的矩阵：

设.%L（V）,取定n维线性空间V的一组基?,a2，…,。〃，则.汝”/出,••，

.6、可由四,加,…，a线性表示，即

矩阵A称为线性变换./在此基下的矩阵。

（2）一个线性变换在不同基下的矩阵相似：

设%%.四，…,凡是线性空间V的两组基，

（片，夕2,…，片）二（%,。2­，。〃）P，

（•~々1,•久力…,」/dn）=（0],。？,…,a〃）A,

则

（小，.不，…，"）=（凡A…⑸）LAP。

2.基本结论

（1）若%,%，…,%是线性空间丫的一个基，V%/?2,…,?”川，则存在

唯一使得.「/（%）=氏,”1,2,…

（2）在取定〃维线性空间丫的一个基之后，将丫的每一线性变换与它在这

个基下的矩阵相对应，则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分

别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积;可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换

对应逆矩阵.

（3）同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的：反之，若两个矩阵相似，

则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.

（4）若在线性空间V的一个基”下,线性变换."对应的矩阵为A,

向量a的坐标为（再,电，…，£），则•办秩二秩（4；,7（。）的坐标

乃工2

三、特征值与特征向量

1.基本概念

（1）特征多项式

设线性变换」/在V的一组基％,下的矩阵为A,则

,-1n

fW=12E-A|=矛一（a”+a22H---Fann）Z+•••+（-l）\A\

称为."KJ特征多项式（的根就是./的全部特征根）.

设箱，K…，猫是/（九）的全部根，则

,~|

/（4）=（2—4）（尤一石）…（九一儿）=''一（4+4—F2M）ZH—F（―1）"44…•

由大多项式相等，得

Tr(A)-q]十ci22十•••十ann=4+4---1■4“，

|A|=44…储

（2）线性变换（或矩阵）的特征值与特征向量：

若./tx=Aa,axO,则脱;为.一/fi勺特征根（特征值），a称为「诩属于特征值义

的特征向量.

（3）化零多项式

设g（4）是一个多项式，使得g（「/）=O（g（A）=O）,则g（4）称为.,/（A）的

化零多项式.

（4）最小多项式----化零多项式中次数最低者。

（5）特征子空间-----:/I的属于某一个特征，直的全部特征向量作成的集合:

匕，={a£V|a=Aa]

2O基本结论：

(1)线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特征子空间的关系(略)

(2)属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

(3)相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，反之不然。

(4)定理:设线性变换某个基下的矩阵为A,

/(4)=|花-4，则/(田=0,f(「/=0.

四、对角化问题

lo基本概念：

(1)不变子空间----设卬是V的子空间，「左L"),若，/WqW,则称

W是勺不变子空间简称为」二子空间。

(2)历Ma〃标准形-----设/%L(V),则必存在V的一组基，使得.，/

在此基下的矩阵为而〃标准形。

2o基本结论：

设A是数域P上〃维向量空间V的一个线性变换，则

(1)「/fi勺矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵有〃个线性无关的特征

向量.

。V可以分解为八个一维不变子空间的直和

O.vtKj所有不同的特征子空间的维数之和等于〃

OVTKJ最小多项式没有重根

0V可以分解为特征子空间的直和.

因而，当./有〃个不同特征值时，必在某个基下的矩阵是对角形式.

(2)设A为〃阶矩阵，则A必与一个/ads?标准形矩阵相似,且在不计若当

块的排列次序的意义下，这个标准形是唯一的；而A与对角矩阵相似

OA的最小多项式无重根.于是,当A的特征多项式无重根时，A必与一个对角

矩阵相似.

第八章4-矩阵(小结)

一、基本概念

1.2-矩阵A(2)--矩阵A(4)的兀素是丸的多项式.

2.可逆的丸-矩阵——AQ)可逆的充要条件是|44)I=cM(是一个非零常

数).

30秩一一44)的秩为r,若4(4)有一个r阶子式非零，任一个r+1阶子式均为

零.

4o2-矩阵的初等变换---…办cw(cwO),,;一。⑷小(列变换类似)

5o任一个4-矩阵都可以经过初等变换化为标准形

2。)、

drw

0，

<0>

其中4(4)14+0),i=1,2,,.,一I.

6o%-矩阵AW与8(，)的等价当且仅当AW经过初等变换变为BWo

7oAW的k阶行列式因子------4(Q的所有k阶子式的最大公因式.

8。A(X)的不变囚子-一把A(⑷经过初等变换化为标准形后，主对角线上次数大

于零的多项式为A(z)的不变因子.

9o4㈤的初等因子——把&制的标准形的主对角线上次数大于零的多项式

分解成一次因式的方事，这些一次因式的方次就是4⑷的全部初等因子。

%、

10oJordan块------Jo=.

<1A)>

N、

11.若尔当标准形----J=".,其中Ji均为Jordan块.

’0…0-凡、

10…0-

12.伴侣阵---矩阵8=010-atl_2称为多项式d（人）的伴侣阵，其中

0…1—6,

"（4）=，'+q/i+…十an_iA-十citl.

13o矩阵A的有理标准形——把A的特征矩阵化为标准形

U、

1

4⑷’

<4（孙

则A的有理标准形为

飞、

B二名.,

■

其中Bi为4（九）的伴侣阵,i=l,2,…,s.

二、主要结论

lo一个“X〃的％-矩阵AQ）是可逆的充要条件为行列式|AQ）|是一个

非零的数.

2.任意一个非零的sx〃的2—矩阵A（㈤都等价于其唯一的标准形矩阵：

’4⑷、

d2W

drW,

0

、0>

其中厂21，4（为"=1,2产・/）是首项系数为1的多项式，且

4(4)1九⑷(i=l,2,…，I).

3。两个4-矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有

相同的不变因子.

4.矩阵44)是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。

5o两个“〃的4-矩阵AQ)与8(2)等价的充要条件为，有一个sxs可逆

矩阵P(4)与一个〃x〃可逆矩阵QQ),使

B(4)=P⑷A⑷Q(Ro

6.设A,B是数域P上两个〃x〃矩阵.A与8相似的充要条件是它们的特

征矩阵花—A和ZE—B等价。

7。两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.

8。首先用初等变换化特征矩阵在-A为对角形式，然后将主对角线上的元

素分解成互不相同的一次因式方察的乘积，则所有这些一次因式的方室(相同的

按出现的次数计算)就是A的全部初等因子.

9。每个几级的复数矩阵4都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除

去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准

形。

10.设"是复数域上〃维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基,

使，在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块

的排列次序外是被依畦一决定的。

11.复数矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A的初等因子全为--次的(或

A的不变因子都没有重根)。

12o数域P上〃x〃方阵A在上相似于唯一的一个有理标准形，称为A的有理

标准形。

130设口是数域产上〃维线性空间V的线性变换，则在丫中存在一组基，

使“在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由3隹一决定的，称为

WT向有理标准形.

第八章主要结论:

IoA与B相似=4石一4与/1七一8等价

o它们有相同的各阶行列式因子

o它们有相同的不变因子

O它们有相同的初等因子。

2.A的每一个初等因子决定一个Jordan块，全体初等因子决定了A的Jordan标

准形。

3。矩阵A可以对角化。它的Jordan块都是一阶的

。它的初等因子都是一次的

。它的最小多项式无重根.

。它的不变因子无重根。

4.矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子。

第七章和第八章主要掌握的计算

1.求线性变换在某基下的矩阵。

(l)n维向量空间;

(2)n维多项式空间；

(3)2x2矩阵空间.

例1.设V=IV,V(r/,b,c)eR\求.年基q=(l,0,0),6=(。/，。),.=(0,0,1)和

%=(1,1,1),%=(U，0)，%=(1,0，。)下的矩阵，其中

」/(a,b,c)=(2a—b,a+b,c+a).

「2-10、

解：(「卷,「怎，/念)=(e],e2,e3)110=(e,,e2>e3)Ao

J()b

qin

(a1,%，%)=("2，%)。，P=110.

100

（「/必，「/%，」/%）=（”6，.次2，.力3）片沁，02,C3）A片（4,%,%）〃

~'AP.

例2。V=P[x]n-\,C/GL(V),£//(x)=f(x),求C/在基l,x,…，尸下的矩阵。

(12、

例3.V=p2x2,,^L(v),Q=，对任意的XEV,./X=QX,求」/ft基

(54

昂，昂,。之下的矩阵

’10、9P

解：由于，出产=E”+5%,.>Ei2==E12+5E22,

、50,e5,

匕0、’02、

2昂+40，二2耳2+4E22,

/0,<04,

所以••/在基昂出2,3，圆下的矩阵为

20、

002

540

4;

2。判断一个变换是否为线性变换。

3.求线性变换.•/的值域与核

4。求线性变换（矩阵）的特征值和特征向量，判断矩阵是否可以对角化.

（I）求出」/在V的一组基四，的，…，%下的矩阵A.

（2）求出特征多项式/（2）=|4E—A|,在求出其全部根即为全部的特征值

（3）对每一个特征值儿，求解齐次线性方程组

（\E—A）X—0,

得到基础解系，nk=（%,%,...,Ck〃）,k=1,2,...,4o则（Gi，%,•••,%）,k=1,2,...,/;就

是.刘勺属于特征值4的特征向量4在基%，%，…，。〃下的坐标，于是特征

向量为《=%%+q2a2+…+%%,k=1,2,...,r.。

(4)当n个线性无关的特征向量。&，…七时"/在此基。&，…心下的矩阵

为对角形

此时设阿二％因+q2a2+…攵=1,2,…,〃，令

J、

T=32

g^cnn/

则T^AT为对角形，主对角线上的元素为相应的特征值，顺序与T中特征向量

的顺序相同.

例4.求例3中线性变换.及矩阵A的特征值特征向量，判断是否可以对角化.并

求./(A)的最小多项式。

2-10-20-202-10

0A-10-2c—c.04—10-2

解：fW=3

-50/1-40=%-，40-50

0-50几—40-502-4

-202-10

勺+g(%-4)40A—10-2

=a+i)2(2-6)2.

00-(22-52-6)0

0-50•1-4

当九二--1时，求解线性方程组(一E—A)X=0,

,-20-20)’1010、

0-20-20101

—>

-50-500000

k0-50-5；、0000,

基础解系为口=(—1,0,1,0),r)2=(0,-1,0,1).

当九二6时，求解线性方程组(6E-A)X=0,

'50-20)「50-20、

050-2050-2

—

-50200000

1°-502J<0000,

基础解系为甲=(2,0,5,0),中二(0,2,0,5).

所以属于特征值-1的特征向量为4=-£“+%,A2=-E12+E22.属于特征

值6的特征向量为4=2昂+5%,A=2昂+5与2-

基A，A，4,4下的矩阵为对角形D=diag(・l,—1,6,6)o

「1020

0-102

令丁二则TiAT=f)=diagJI,—1,6,6).

1050

、0105

A的最小多项式为m(X)=(x+1)Q—6).

一些相关题目

U11、

1.设4%)=o11则R(A(X))=.A(X)是否可逆，为什么？

W°I

U尤+51、

2.设A(/l)=013/1,则R(A(入))=—.AG)是否可逆，为什么？

\001

笠+100、

3.设4(2)=0万+30,则其不变因子是?

<°02+1,

4。设A的全部初等因子为九(几-2尸,(2+1)3,(1)A是一个几阶矩阵？(2)A

的Jordan标准形是？(3)A的不变因子是？

「3、

5.A=1:\的初等因子是？最小多项式是？不变因子的？

03

<13,

6.判断命题是否正确，不正确者请改正：

(1)若n阶矩阵A可以对角化，则A必有n个互不相同的特征值。

(2)若两个n阶矩阵A和B的特征值相同，则它们相似。

(3)若矩阵A与B相似,则它们有相同的特征向量。

(4)n阶矩阵A不可逆的充要条件是A至少有一个特征值为零。

(5)设L/^L(V),czpcr5eV,若./tu,…线性无关，则

见线性无关。

(6)设.v^L(V),«pa2«5eV,若囚,见,《线’性相关，则…,

.Vtts线性相关。

(7)设，%L(V),%,%.••.,巴wV,若囚,见，4线性无关，则.4u，“

a2,...»

.vds线性无关。

(8)若P/AQM&P可逆，则A与B相似.

(9)若对任意的(a,b,c)GR\./(a,b,c)=(a2,b+c,a+c),则./是R’上

的线性变换。

门],1

(10)矩阵2与2相似.

、12)、2J

(11)设.，%L(V),dimV二n,则可逆的充要条件是

(a)//有n个线性无关的特征向量;

(b)「/有n个互不相同的特征值;

(c)「/在V的某一组基下的矩阵为对角形;

(d)；/的特征值均非零;

(e)./V=V;

(f)“",(0)={0}o

(12)设A的初等因子为九一1和(X—2)3则A的Jordan标准形为:

2

222

2)1V12,12,

(\

2

(e)1(°

2

2J<VI12J12,

7.填空

(I)设药,%，・♦••，U线性无关,(0\、人,.…,月)二(%,％”…，a、)A,则0、、4，•…、人可

逆的充要条件是

⑵设三阶矩阵A的特征多项式是〃/1)=/13-3/12-2/1+3,则|A|二一.设A的

主对角线上的元素之和卬