2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.4　2.4.2　圆的一般方程

圆的一般方程第二章

2.4.2学习目标1.理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系.2.能对圆的一般方程和标准方程进行互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件.(重点)3.会求圆的一般方程.(重点)前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.导语内容索引0102求圆的一般方程圆的一般方程的辨析04随堂演练03课时对点练01圆的一般方程的辨析问题1

如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需要满足什么条件？角度1

探究圆的一般方程问题2

当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？1.圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，二元二次方程

叫做圆的一般方程.2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形知识梳理x2+y2+Dx+Ey+F=0条件图形D2+E2-4F<0不表示任何图形D2+E2-4F=0D2+E2-4F>0表示以

为圆心，以

为半径的圆

(1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.注意点

(1)若方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0表示圆，求实数m的取值范围.

例1方法一

由题意得(-4m)2

+(2m)2

-4(20m-20)>0，即16m2+4m2-80m

+

80=

20(m-2)2>0，解得m≠2.所以当m≠2

时，原方程表示圆.方法二

原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2，当m≠2时，原方程表示圆.解：

例1√

圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2+E2-4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.

反思感悟

跟踪训练1√

(2)已知点(1，m)在圆x2+y2-2mx+2m2-2=0内，则实数m的取值范围是

.

(1)设圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心为M，半径为r，则A.M(2，-1)，r=9B.M(-2，1)，r=9C.M(2，-1)，r=3D.M(-2，1)，r=3

例2角度2

求圆心和半径√解析：将x2+y2+4x-2y-4=0转化为(x+2)2+(y-1)2=9，可得圆心M(-2，1)，半径r=3.(2)当圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为A.4 B.3

C.2

D.1√解析：由圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0，得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4，从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以当m=1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小.

反思感悟

已知圆x2+y2-2ax+4a=0的圆心在x轴的正半轴上，则实数a的取值范围为A.(0，4) B.(-∞，0)C.(4，+∞) D.(-∞，0)∪(4，+∞)跟踪训练2

√02求圆的一般方程

(课本例4)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.

例3解：

(课本例4)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.

例3解：

(课本例4)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.

例3解：

在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，D(-2，-1)四个点能否在同一个圆上？

例3解：

求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程.(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列出关于D，E，F或a，b，r的方程组，解出系数得到圆的方程.

反思感悟

跟踪训练3解：

跟踪训练3解：

课堂小结1.知识清单：(1)圆的一般方程的辨析.(2)求圆的一般方程.2.方法归纳：待定系数法、几何法.3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.03随堂演练1234

√2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为A.4，-6 B.-4，-6C.-4，6 D.4，6

1234√12343.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴的交点分别为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是A.x2+y2+4x-3y=0 B.x2+y2-4x-3y=0C.x2+y2+4x+3y=0 D.x2+y2-4x+3y=0√

12344.若点P(1，2)在圆x2+y2-x+y+k=0外，则实数k的取值范围为

.

04课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案BAAAACCD题号9111213答案CABC10.答案123456789101112

131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

14.131415答案123456789101112

15.131415答案123456789101112

15.1314151.方程x2+y2+2ax-2y+a2+a=0表示圆，则实数a的取值范围是A.a≤1 B.a<1C.a>1 D.0<a<1答案123456789101112基础巩固131415解析：由D2+E2-4F>0，得(2a)2+(-2)2-4(a2+a)>0，即4-4a>0，解得a<1.√

√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415√

√

答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

√

答案123456789101112131415√

7.(多选)若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的可能取值为A.1 B.2

C.3

D.4答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415

9.若方程ax2+by2+bx-3y+a=0表示一个圆，则b的取值范围为

.答案123456789101112131415

10.已知圆的方程是x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0.(1)求此圆的圆心坐标和半径；答案123456789101112圆的方程x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0，可化为[x+(m-1)]2+(y-2m)2=9，∴圆心坐标为(1-m，2m)，半径为3.解：13141510.已知圆的方程是x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-2m-8=0.(2)求证：不论m为何实数，该方程表示圆心在同一直线上的等圆.答案123456789101112131415

证明：11.圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则a的值为A.0 B.1

C.2

D.3答案123456789101112131415综合运用√答案123456789101112131415

√答案123456789101112131415√√答案123456789101112131415

答案123456789101112131415解析：解得D=-4，E=8，F=4，C正确；由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误.13.已知点P(x，y)为圆x2+y2-4x-4y+7=0上一点，则x2+y2的最大值为

.答案123456789101112131415

14.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(-1，1)是函数y=x2图象上的三个点.(1)当x1=1时，线段AB的垂直平分线的方程为x+4y-22=0，求直线BC的方程；答案123456789101112131415

解：14.已知A(x1，y