2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.3　2.3.3　点到直线的距离公式　2.3.4　两条平行直线间的距离

点到直线的距离公式两条平行直线间的距离第二章

2.3.32.3.4学习目标1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用(重点).3.理解两条平行直线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离(重点).距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？本节课我们就来学习一下.导语内容索引01020503两条平行直线间的距离平行直线间的距离的最值问题随堂演练点到直线的距离公式04课时对点练01点到直线的距离公式问题1如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？

问题2向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？

点到直线的距离公式：d=

.知识梳理

(1)利用公式时直线的方程必须是一般式；(2)分子含有绝对值；(3)若直线方程为Ax+By+C=0，则当A=0或B=0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.(4)点P(x0，y0)到直线x=x1的距离为|x0-x1|，点P(x0，y0)到直线y=y1的距离为|y0-y1|.注意点

(1)(课本例5)求点P(-1，2)到直线l：3x=2的距离.

例1

解：

(2)(课本例6)已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积.

例1解：

已知点P(2，-1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.

例1解：

求过点P(2，-1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？延伸探究解：

解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的.

反思感悟02两条平行直线间的距离问题3已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？提示根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离.这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.问题4怎样求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离？

1.两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的

的长.2.公式：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d=

.知识梳理公垂线段

注意点(1)两平行直线间的距离与一条直线上的任一点到另一条直线的距离相等.(2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.

(课本例7)已知两条平行直线l1：2x-7y-8=0，l2：6x-21y-1=0，求l1与l2间的距离.

例2解：

(1)已知两条直线l1：2x-4y+7=0，l2：x-2y+5=0.求l1，l2间的距离.

例2解：

例2√

反思感悟

跟踪训练1√

03平行直线间的距离的最值问题

两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(1)d的变化范围；

例3解：

两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：(2)当d取最大值时，两条直线的方程.

例3解：

应用数形结合思想求最值(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.

反思感悟

已知P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任意一点，则|PQ|的最小值为

.跟踪训练3

课堂小结1.知识清单：(1)点到直线的距离公式.(2)两条平行线间的距离.(3)平行直线间的距离的最值问题.2.方法归纳：公式法、数形结合法、解方程(组)法.3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.04随堂演练1234

√

1234√√

1234

√12344.(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(-1，3)，Q(2，-1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能为A.1 B.3

C.5

D.7√√√

05课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案CBABABBCACx+y=0或x+y-10=0题号91112131516答案15°或75°ACC7x-7y+5=0D相交1610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112

14.13141516

√答案123456789101112基础巩固131415

16

√答案123456789101112131415

16

√答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

164.(多选)与直线3x-4y+1=0垂直，且与点(-1，-1)距离为2的直线方程为A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0√√

答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516答案123456789101112131415

166.点P(-2，-1)到直线l：mx+y-m-1=0(m∈R)的距离最大时，直线l的方程为A.2x-3y-2=0 B.3x+2y+8=0C.3x+2y-5=0 D.2x-3y+1=0答案12345678910111213141516√答案123456789101112

13141516

答案123456789101112131415√16√答案123456789101112131415

168.与三条直线l1：x-y+2=0，l2：x-y-3=0，l3：x+y-5=0可围成正方形的直线方程为

.答案123456789101112131415x+y=0或x+y-10=0

16

答案12345678910111213141515°或75°

1610.已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程.答案123456789101112

解：1314151610.已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程.答案123456789101112②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x=0，l2的方程为x=5，它们之间的距离为5，同样满足条件.综上，所求直线的方程为l1：12x-5y+5=0，l2：12x-5y-60=0或l1：x=0，l2：x=5.解：1314151611.(多选)经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且和原点距离为1的直线的方程为A.x-1=0 B.x+1=0C.4x-3y+5=0 D.4x-3y-5=0答案123456789101112131415综合运用√√16答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

16

√答案123456789101112131415

1613.已知△ABC的三边所在的直线方程分别是lAB：4x-3y+10=0，lBC：y=2，lAC：3x-4y-5=0，则∠BAC的平分线所在的直线方程为

.答案1234567891011121314157x-7y+5=016答案123456789101112

13141516

答案12345678910111213141516

解：

答案12345678910111213141516

解：

答案12345678910111213141