2026-2027步步高人教数学选择性必修一第二章　§2.1　2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

两条直线平行和垂直的判定第二章

§2.1

2.1.2学习目标1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(重点)2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.(难点)过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下.导语内容索引01020503两条直线垂直的判定平行与垂直的综合应用随堂演练两条直线平行的判定04课时对点练01两条直线平行的判定问题1提示两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补.在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？问题2提示α1=α2，k1=k2.如图所示，设两条直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2.①当l1∥l2时，α1与α2，k1与k2满足什么关系？问题2提示l1∥l2.②当k1=k2时，两条直线l1与l2是什么关系？两条直线l1与l2平行关系的判定如下：知识梳理类型斜率存在斜率不存在前提条件α1≠90°，α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两条直线的斜率都不存在图示

(1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线；说“直线l1，l2”时，两直线的位置关系是任意的，可以重合.(2)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合.(3)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在).(4)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在.(5)若斜率存在的直线l1，l2重合，仍有k1=k2，可用来证明三点共线.注意点

(1)(课本例2)已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.

例1解：

(2)(课本例3)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

例1解：

判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)；

例1解：

(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)；解：

判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)；

例1解：

判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：(4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5)；

例1解：由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.(5)l1经过点A(-4，-3)，B(-2，-1)，l2经过点M(1，2)，N(3，4).解：

由斜率判断两条不重合的直线是否平行的方法(1)如果两条直线的斜率都不存在，则两直线平行.(2)如果一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两直线不平行.(3)如果两条直线的斜率都存在，若相等则平行，若不相等则不平行.

反思感悟

已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为

.跟踪训练10或1

02两条直线垂直的判定问题3提示k1·k2=-1.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a=(1，k1)，b=(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？两条直线l1与l2垂直关系的判定如下：知识梳理类型斜率存在l1(或l2)的斜率不存在前提条件α1≠90°，且α2≠90°α1=90°(或α2=90°)对应关系l1⊥l2⇔k1k2=-1l1⊥l2⇔l2(或l1)的斜率为0图示

注意点

(1)(课本例4)已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，-6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.

例2解：

(2)(课本例5)已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状.

例2解：

已知△ABC的顶点为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.解：

例2判断两条直线是否垂直的方法在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合，这两条直线也垂直.

反思感悟

跟踪训练2√√√

03平行与垂直的综合应用

已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状.

例3解：

利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤

反思感悟

已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).跟踪训练3解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB=3，kBC=0，∴kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰.(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，

已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).跟踪训练3解：

已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列).跟踪训练3解：

课堂小结1.知识清单：(1)两直线平行的判定.(2)两直线垂直的判定.(3)两直线平行、垂直的应用.2.方法归纳：分类讨论、数形结合.3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况.04随堂演练1234

√

√1234√

1234

√1234

12344.已知A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，D(2，3)，则四边形ABCD的形状为

.

矩形05课时对点练答案123456789101112对一对1314题号12345678答案BCDABDAC题号101112答案DBCD9.答案123456789101112

13149.答案123456789101112

13149.答案123456789101112

1314答案123456789101112

13.1314答案123456789101112

13.1314答案123456789101112

14.1314答案123456789101112

14.13141.下列说法正确的是A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等B.平行的两条直线的倾斜角一定相等C.垂直的两条直线的斜率之积为-1D.只有斜率相等的两条直线才一定平行√答案123456789101112基础巩固1314答案1234567891011121314解析：因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确；平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确；垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确；斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确.

√答案1234567891011121314

3.直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(-1，1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为A.(3，0) B.(-3，0)C.(0，-3) D.(0，3)√

答案1234567891011121314

√答案1234567891011121314√

5.已知点A(-2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的坐标为A.(6，-4) B.(-2，4)C.(-4，-2) D.(6，-2)答案1234567891011121314

√

答案1234567891011121314√√答案123456789101112

13147.若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=

；若l1∥l2，则b=

.答案12345678910111213142

8.直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)沿逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2与直线AB垂直，其中A(1，m-1)，B(m，2)，则m=

.答案1234567891011121314

答案1234567891011121314

9.已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).(1)求点D的坐标；答案1234567891011121314

解：9.已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).(1)求点D的坐标；答案1234567891011121314

解：9.已知在▱ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4).(2)试判定▱ABCD是否为菱形？答案1234567891011121314

解：10.小明同学喜欢折纸游戏，他将一张画了平面直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点M(2，0)与点N(-2，4)重合，点P(2025，2026)与Q(a，b)重合，则a+b等于A.4048 B.4049C.4050 D.4051答案1234567891011121314综合运用√答案1234567891011121314

11.(多选)如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是A.(-3，1)

B.(4，1)

C.(-2，1)

D.(2，-1)答案1234567891011121314√√√解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标.12.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|=5m，宽|AB|=3m，其中一条小路为AC，另一条小路为DM，M在BC上，若两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为

m