2026-2027步步高人教数学选择性必修一第一章　§1.3　空间向量及其运算的坐标表示

空间向量及其运算的坐标表示第一章

§1.3学习目标1.通过类比平面直角坐标系建立空间直角坐标系并了解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点和向量，会写一些简单几何体的有关坐标.2.掌握向量运算的坐标表示和平行、垂直、两点间距离、夹角的坐标表示.(重点)3.通过空间向量的坐标运算解决与夹角和距离有关的几何问题.(难点)在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.导语内容索引01020503空间向量的坐标及坐标运算空间向量平行、垂直的坐标表示及应用空间直角坐标系及点的坐标0406课时对点练随堂演练夹角和距离的计算01空间直角坐标系及点的坐标问题1提示在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系.利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：

，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个

.2.相关概念：

叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过____________的平面叫做坐标平面，分别称为

平面，

平面，

平面，它们把空间分成八个部分.知识梳理x轴、y轴、z轴空间直角坐标系OxyzO每两条坐标轴OxyOyzOzx

xi+yj+zk(x，y，z)横坐标纵坐标竖坐标4.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点点的位置x轴上y轴上z轴上坐标的形式(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内坐标的形式(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)(1)基向量：|i|=|j|=|k|=1，i·j=i·k=j·k=0.(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.(3)让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，建立的坐标系一般为右手直角坐标系.注意点

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1)顶点A，C的坐标分别为

；(2)棱C1C中点的坐标为

；(3)正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为

.

例1A(0，0，0)，C(1，1，0)

试写出例1中点C1分别关于Azx平面、y轴、坐标原点的对称点.延伸探究点C1关于Azx平面的对称点为(1，-1，1)，点C1关于y轴的对称点为(-1，1，-1)，点C1关于坐标原点的对称点为(-1，-1，-1).解：(1)建立空间直角坐标系的原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.②充分利用几何图形的对称性.③一般用右手直角坐标系.(2)求某点M的坐标的方法作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z).(3)空间坐标系中求已知点的对称点，一般遵循“谁不存在谁变号”原则.

反思感悟02空间向量的坐标及坐标运算

(x，y，z)向量运算向量表示坐标表示加法a+b_____________________减法a-b___________________数乘λa_______________数量积a·b______________(a1+b1，a2+b2，a3+b3)(a1-b1，a2-b2，a3-b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1+a2b2+a3b3

(x2-x1，y2-y1，z2-z1)减去注意点(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示相比，只是多出了竖坐标的运算，横纵坐标的运算规则一致.(2)向量线性运算的结果仍是向量，可以用坐标表示；数量积的结果为数量.

例2解：

例2解：所以点A'的坐标是(3，0，2).点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B'的坐标是(3，4，2).

例2解：

例2

(2)已知向量a，b，c满足2a+b=(0，-5，10)，c=(1，-2，-2)，且a·c=4，则b·c=

.-18解析：b·c=((0，-5，10)-2a)·c=(0，-5，10)·(1，-2，-2)-2a·c=10-20-2×4=-18.空间向量坐标运算的规律(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定(终点坐标减去起点坐标).(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.

反思感悟

跟踪训练1√

4

03空间向量平行、垂直的坐标表示及应用设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则有(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a=λb⇔

，

，

(λ∈R)；(2)垂直关系：当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b=0⇔

.a1=λb1a2=λb2a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0

注意点

(课本例2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1.

例3证明：

例3解：

例3解：

(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.

反思感悟

已知a=(x，1，-1)，b=(-2，y，1)，c=(2，-3，z)，若a∥b，b⊥c，求a，b，c.跟踪训练2解：

04夹角和距离的计算问题2你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？

知识梳理

例4解：

例4解：

例4解：

例4解：

例4解：

利用空间向量的坐标运算求夹角和空间两点间的距离的一般步骤(1)建系(有坐标系的此步省略)：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标或运用待定系数法设出向量的坐标，通过条件列方程(组)把坐标解出来.(3)代入公式进行计算.(4)写出答案.

反思感悟

已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB=2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；跟踪训练3解：

跟踪训练3解：

课堂小结1.知识清单：(1)空间直角坐标系及空间点的坐标.(2)空间向量的坐标表示及坐标运算.(3)空间向量的坐标表示及应用.2.方法归纳：数形结合、类比联想.3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念；求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角时忽略向量共线的情况.05随堂演练1234

√2.设向量a=(1，2，m)，b=(2，0，-1)，若a⊥b，则m等于A.-2 B.-1 C.1

D.2解析：由a⊥b，得a·b=1×2+2×0+m×(-1)=0，解得m=2.1234√12343.已知点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点为P1，点P1关于Oyz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则P1，P3的距离为

.6解析：点P(2，3，-1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于Oyz平面的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标为(2，-3，1)，故P1P3=6.1234

06课时对点练答案123456789101112对一对131415题号12345678答案BCDDBAAAABD题号91112131516答案DBC1610.答案123456789101112

1314151610.答案123456789101112

13141516答案123456789101112

14.13141516答案123456789101112

14.131415161.(多选)下列命题中正确的是

A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c)√答案123456789101112基础巩固131415√√解析：空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误，B，C，D正确.16

答案12345678910111213141516√

3.若空间向量a=(-2，1，0)，b=(1，0，1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是A.(4，-1，0) B.(-1，0，-1)C.(-2，1，0) D.(2，0，2)√

答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516√

√答案123456789101112131415

166.如果三点A(1，5，-2)，B(2，4，1)，C(a，3，b+2)在同一条直线上，则A.a=3，b=2 B.a=6，b=-1C.a=3，b=-3 D.a=-2，b=1答案12345678910111213141516√

答案123456789101112131415√16√√答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415

169.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a与b的夹角为120°，则实数k的值为

.答案12345678910111213141516

答案123456789101112解：13141516

答案123456789101112解：13141516

解：

答案12345678910111213141516

答案123456789101112131415综合运用√16答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516√答案123456789101112131415

16答案123456789101112131415

16

答案123456789101112131415

16

14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？答案123456789101112131415解：16

14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱B