2026-2027步步高人教数学选择性必修一同课异构课件第三章　3.1.1　椭圆及其标准方程

3.1.1椭圆及其标准方程第三章§3.1椭圆<<<1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.(难点)学习目标椭圆是一种很美的数学曲线，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.例如，神舟十九号载人飞船在进入太空后，先以椭圆轨道运行，后经过变轨调整为圆形轨道.那么，椭圆上的点满足什么条件，如何精确地画出一个椭圆呢？今天我们来研究一番.导语一、椭圆的定义二、椭圆的标准方程三、椭圆的焦点三角形随堂演练内容索引椭圆的定义一取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？问题1提示椭圆，笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数.把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_______________的点的轨迹叫做椭圆，这_________叫做椭圆的焦点，_______________叫做椭圆的焦距，焦距的_____称为半焦距.常数(大于|F1F2|)两焦点间的距离两个定点一半(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.(2)定值必须大于两定点间的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.

注

意

点<<<

设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是A.椭圆 B.圆 C.线段

D.不存在√例

1因为|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆的定义知，动点M的轨迹为椭圆.解析

把例1中“|MF1|＋|MF2|＝10”改为“|MF1|＋|MF2|＝6”，则动点M的轨迹是A.椭圆

B.圆

C.线段

D.不存在延伸探究

1√因为|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段.解析

把例1中“|MF1|＋|MF2|＝10”改为“|MF1|＋|MF2|＝4”，则动点M的轨迹是A.椭圆

B.圆

C.线段

D.不存在延伸探究

2√因为|MF1|＋|MF2|＝4<|F1F2|，所以动点M的轨迹不存在.解析椭圆定义的理解(1)椭圆定义中包含一动点和两定点.(2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离.

反思感悟二椭圆的标准方程观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？问题2提示观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0).

如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？问题3

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__________________________________图形

焦点坐标_____________________________________a，b，c的关系____________

F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)b2＝a2－c2(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上.

注

意

点<<<

例

2

解

求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；例

2

解

解

解

解

解

解(4)a＝10，c＝6.

解(1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.(2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).

反思感悟三椭圆的焦点三角形

例

3

解

解

若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.延伸探究

3

解

延伸探究

4

解

反思感悟1.知识清单：(1)椭圆的定义及其应用.(2)椭圆的标准方程.(3)椭圆的焦点三角形.2.方法归纳：分类讨论、待定系数法.3.常见误区：(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系.(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.随堂演练四1234

√由已知得a＝4，|PF2|＝2a－|PF1|＝8－3＝5.解析1234

√

解析12343.若方程x2