山东省烟台市2025-2026学年高二下学期期末自主练习数学试卷（含解析）

山东省烟台市2025-2026学年高二下学期期末自主练习数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知,则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2．已知集合,若且,则实数a的取值范围为(

)A. B. C. D.3．曲线在处的切线方程为(

)A. B. C. D.4．在不考虑空气阻力的情况下,火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时,火箭的最大速度为,若使火箭的最大速度为,则此时火箭的燃料占比为(

)A. B. C. D.5．若定义在R上的函数的图象如图所示,其导函数为,且,则不等式的解集为(

)A. B.C. D.6．已知,则的大小关系为(

)A. B. C. D.7．已知函数,若存在最小值,则实数c的取值范围为(

)A. B.C C. D.8．已知函数的最大值为,则的最小值为(

)A. B. C. D.e二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数,则下列结论正确的有(

)A.是偶函数B.在区间上单调递增C.若,则D.当时,10．已知定义在R上的函数满足,且,则(

)A. B.C.的图象关于直线对称 D.11．已知函数,则下列结论正确的有(

)A.若是奇函数,则B.当时,函数的图象关于点对称C.若函数有两个极值点,则或D.若对任意实数,以为边长总能构成三角形,则三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知实数满足,且,则的值为_____________.13．已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数m的取值范围为________.14．定义个元素构成的实数集S的相伴数集,若T中所有元素的最小值为1,则称S为n元规范数集.若集合为4元规范数集,则m的取值范围为______________________；若S为6元规范数集,则S中所有元素的绝对值之和的最小值为___________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数.(1)求的最小值；(2)若对,,使得,求实数m的取值范围.16．（15分）已知函数.(1)当时,求过点且与曲线相切的直线的方程；(2)讨论的单调性.17．（15分）一小微企业生产某种产品.经验表明,当该产品每件的售价为x元时,日销售量为（单位：千件）,且.已知当售价为2元/件时,日销售量为8千件；当售价为6元/件时,日销售量为2.5千件.(1)求的值；(2)假设每件产品的成本为1元,求x为何值时,日利润最大？并求出最大日利润.18．（17分）已知函数，.(1)若在区间上单调递减，求a的取值范围；(2)已知函数存在极值点.(i)证明：；(ii)当时，证明：函数在上存在唯一零点，且.19．（17分）已知函数及其导函数的定义域均为D，对，定义集合.(1)设，求；(2)对，定义集合，证明：“对，有”是“为偶函数”的必要条件；(3)设，若对且，都有，求实数a的取值范围.参考答案1．答案：A解析：不等式解得或,时一定有,而时不一定成立,所以“”是“”的充分不必要条件.2．答案：C解析：,,由,得,由,得,所以.3．答案：A解析：,所以.,,过点,所以切线方程为.4．答案：B解析：由题意可知,即,当火箭的最大速度为时,,故此时火箭的燃料占比为.5．答案：D解析：由的图象可知,当时,；当时,；当或时,；当时,；当时,；当或时,；若不等式,则与同号,分情况讨论：①当且时,交集为；②当且时,交集为；因此,不等式的解集为,故D正确.6．答案：B解析：当时,在上单调递增,在上单调递减,所以,即,因为,,所以.7．答案：C解析：由题意,令,,当时,,函数在上单调递减,当时,,函数在上单调递增,所以,令,,在上单调递减,且值域为,分段函数存在最小值,则,所以.综上,实数c的取值范围为.8．答案：B解析：因为,所以,若,则恒成立,无最大值.,令,解得,所以在单调递增,在单调递减,所以.那么.,解得,所以在单调递减,单调递增,所以.9．答案：AD解析：对于A,的定义域为R,关于原点对称,,所以是偶函数,A正确；对于B,在上单调递减,在上单调递增,所以在上是先减后增,B错误；对于C,由,得,解得,C错误；对于D,当时,,,因为在上单调递增,且,所以,D正确.10．答案：BCD解析：已知定义在R上的函数满足,且,对于A,令,则,即,由于,解得,故A错误；对于B,已知,令,则,化简得,即,对任意,都可以令,则,故B正确；对于C,已知,,令,则,化简得,解得,再令,则,化简得,变形得,再令,则,化简得,所以是一个偶函数,结合,可得,所以,所以的图象关于直线对称,故C正确；对于D,已知,进一步可得,所以的周期是,已知,,,,所以每个周期内和为,前项可拆分为12个完整周期加剩余2项,所以,故D正确.11．答案：ABD解析：选项A,因为是奇函数,所以,解得,当时,,函数的定义域为R,,函数为奇函数,选项A正确；选项B,当时,,,所以函数的图象关于点对称,选项B正确；选项C,令,所以函数有两个极值点等价于有两个不相等的异号零点,因为,令得,,令,即,所以有两个不相同的正实数根,所以,解得或,且,,所以,所以有两个不相同的正实数根时,即函数有两个极值点时,选项C错误；选项D,,令,当,,,能构成三角形；当时,单调递增,所以单调递减,,由三角形三边关系有,所以；当时,,,任意的使得,当时,,,不满足成立条件,所以；当时,单调递减,,,,所以,即；当时,,不满足成立条件,综上所述,,选项D正确.12．答案：18解析：由,得,则,由,得,联立解得或,因此或,所以.13．答案：解析：当时，，当时，，，当时，，，当时，，由，得，由函数有4个不同的零点，得直线与函数的图象有4个交点，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图：观察图象知，当且仅当时，直线与函数的图象有4个交点，所以实数m的取值范围为.14．答案：;9解析：(1)集合为4元规范数集,中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1,所以解得取交集得.(2)设S中所有元素从小到大依次为：,若S为6元规范数集,则S中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1,即有,所以,,,,当时,,所以S中所有元素的绝对值之和的最小值为9.15．答案：(1)1(2)解析：(1)因为,所以,令,即,解得,所以当时,单调递减,当时,单调递增,所以当时,取得最小值,即最小值为.(2)因为,使得,即.由(1)知,,所以在上有解,当时,函数在上单调递增,所以,不合题意.当时,在上单调递减,在上单调递增,所以,则,解得或,又因为,所以实数m的取值范围为.16．答案：(1)(2)当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递减,无单调递增区间；当时,在上单调递减,在上单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增.解析：(1)当时,,所以.设切点为,则,即,解得,所以,又,所以切线方程为,即.(2)因为函数的定义域为,且当时,由,得,在上单调递增,,得,在上单调递减；当时,因为,当时,,在上单调递减；当时,因为,由,得或,在上单调递减,由,得,在上单调递增；当时,因为,由,得或,在上单调递减,由,得,在上单调递增；综上,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递减,无单调递增区间；当时,在上单调递减,在上单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增.17．答案：(1),(2),千元解析：(1)由题知,,即,解得.,即,解得.(2)设日利润为,则.由(1)知,当时,,,所以当和时,单调递增当时,单调递减,又,所以,当时,的最大值为12.当时,,因为,当且仅当时,等号成立,故.综上,当时,日利润的最大值为千元.18．答案：(1)(2)(i)见解析(ii)见解析解析：(1)由题知，，，若函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立.令，则，所以在上单调递增，所以.所以.(2)(i)对求导得，，当时，，在上单调递减，无极值点，不合题意.当时，令，则.由(1)知，，则对任意恒成立，则在单调递增，且当，，当，，所以当时，存在，使得.即当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以为函数的极大值点.又，令，，则，令，得，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即；(ii)由(i)知，当时，，故，且.因为在上单调递增，，所以在上无零点.又在上单调递减，且当时，，故函数在上存在唯一零点.因为在上单调递减，故要证，只需证，只需证因为，令，则且，故，令，则，令，则，因为，故，在上单调递减，故，即，故在上单调递减，所以.又因为，所以，结论得证.19．答案：(1)(2)见解析(3)解析：(1)由题知，函数的定义域为.因为，故.由，即